人教版数学八年级上册期末综合检测试卷含解析(一).doc

人教版数学八年级上册期末综合检测试卷含解析（一）
一、选择题
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   　   ）
A． B． C． D．
2．2021年11月3日揭晓的2020年度国家自然科学奖，共评出了两项一等奖，其中一项是“有序介孔高分子和碳材料的创制应用”．有序介孔材料是上世纪90年代迅速兴起的新型纳米材料，孔径在0.000000002米～0.000000005米范围内．数据0.000000005用科学记数法可表示为（       ）
A．5×10-9 B．5×10-8 C．5×10-7 D．0.5×10-7
3．下列运算正确的是（       ）
A． B．
C． D．
4．若有意义，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
5．下列各式中，从左到右因式分解正确的是（       ）
A． B．
C． D．
6．下列等式成立的是（       ）
A． B． C． D．
7．如图，已知∠ABC＝∠BAD，再添加一个条件，仍不能判定△ABC≌△BAD的是（       ）

A．AC＝BD B．∠C＝∠D C．AD＝BC D．∠ABD＝∠BAC
8．如果关于x的分式方程的解为整数，且关于y的不等式组无解，则符合条件的所有负整数m的和为（　　　）
A．﹣12 B．﹣3 C．﹣7 D．﹣2
9．将一副三角板如图放置，若//，则的度数为（　　）

A．85° B．75° C．45° D．15°
10．如图， 为线段上一动点(不与点、重合)，在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接，以下五个结论：①，②，③，④，⑤，一定成立的是(        )

A．①②③④
B．①②④⑤
C．①②③⑤
D．①③④⑤
二、填空题
11．若分式的值为0，则x的值为____________．
12．点与点关于y轴对称，则___________．
13．若，则______．
14．已知3m＝6，9n＝2，则32m－4n＋1的值为_________．
15．如图，在等边中，是的平分线，点是的中点，点是上的一个动点，连接，，当的值最小时，的度数为__________．

16．若是完全平方式，则______．
17．已知，则______．
18．如图， 中， ．点 从点A 出发沿 路径向终点 运动；点 从 点出发沿 路径向终点A   运动．点和分别以1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过 和 作 于 ， 于 ．则点 运动时间等于_____时，与 全等．

三、解答题
19．按要求完成下列各题：
(1)因式分解：
(2)．
20．按要求完成下列各题：
(1)化简：
(2)解分式方程：
21．如图：，，和相交于点，求证：．

22．（1）如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，试说明：∠E∠A；

【拓展应用】
（2）如图2，在四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC．
①若∠ACD＝130°，∠BCD＝50°，∠CBA＝40°，求∠CDA的度数；
②若∠ABD+∠CBD＝180°，∠ACB＝82°，写出∠CBD与∠CAD之间的数量关系．
23．某社区拟建，两类摊位以搞活“地摊经济”，每个类摊位的占地面积比每个类摊位的占地面积多2平方米．用60平方米建类摊位的个数恰好是用同样面积建类摊位个数的？
(1)求每个，类摊位占地面积各为多少平方米；
(2)该社区拟建，两类摊位共90个，且类摊位的数量不少于类摊位数量的3倍．求最多建多少个类摊位．
24．阅读下列材料，然后解答问题：
问题：分解因式：.
解答：把代入多项式，发现此多项式的值为0，由此确定多项式中有因式，于是可设，分别求出，的值.再代入，就容易分解多项式，这种分解因式的方法叫做“试根法”.
（1）求上述式子中，的值；
（2）请你用“试根法”分解因式：.
25．如图1，在平面直角坐标系中，点A（a，0）、点B（b，0）为x轴上两点，点C在y轴的正半轴上，且a，b满足等式．

(1)________；
(2)如图2，若M，N是OC上的点，且，延长BN交AC于P，判断△APN的形状并说明理由；
(3)如图3，若，点D为线段BC上的动点（不与B，C重合），过点D作于E，BG平分∠ABC交线段DE于点G，连AD，F为AD的中点，连接CG，CF，FG．试说明，CG与FG的数量关系．
26．△ABC、△DPC都是等边三角形．

(1)如图1，求证：AP＝BD；
(2)如图2，点P在△ABC内，M为AC的中点，连PM、PA、PB，若PA⊥PM，且PB＝2PM．
①求证：BP⊥BD；
②判断PC与PA的数量关系并证明．
【参考答案】
一、选择题
2．B
解析：B
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误；
B.是轴对称图形，也是中心对称图形，故B正确；
C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故D错误．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
3．A
解析：A
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：数据0.000000005用科学记数法表示为5×10-9．
故选：A．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．C
解析：C
【分析】利用合并同类项的法则，积的乘方的法则，同底数幂的除法的法则对各项进行运算即可．
【详解】解：A、a3+a3=2a3，故A不符合题意；
B、（a2b）2=a4b2，故B不符合题意；
C、（-a）6÷（-a）2=a4，故C符合题意；
D、（-2a）3=-8a3，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5．A
解析：A
【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：a-2≠0，
∴a≠2，
故选：A．
【点睛】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题型．
6．D
解析：D
【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式进而得出答案．
【详解】解：A、，故原式分解因式错误，不合题意；
B、故原式分解因式错误，不合题意；
C、，不是因式分解，不合题意；
D．，正确．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确运用公式是解题关键．
7．D
解析：D
【分析】利用分式的基本性质化简即可．
【详解】A.原式约分，，原变形错误，故此选项不符合题意；
B.原式约分，，原变形错误，故此选项不符合题意；
C.原式约分，，原变形错误，故此选项不符合题意；
D.原式变形后可以约分，原等式成立，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查分式的基本性质，解题的关键是掌握分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
8．A
解析：A
【分析】根据已知可以得到∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，然后再分别判断各个选项中的条件能否使得△ABC≌△BAD即可．
【详解】解：∵∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，
∴若添加条件AC＝BD，无法判定△ABC≌△BAD，故选项A符合题意；
若添加∠C＝∠D，则△ABC≌△BAD（AAS），故选项B不符合题意；
若添加AD＝BC，则△ABC≌△BAD（SAS），故选项C不符合题意；
若添加∠ABD＝∠BAC，则△ABC≌△BAD（ASA），故选项D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
9．B
解析：B
【分析】根据分式方程的解为整数确定出m的范围，再由不等式组无解确定出满足条件所有负整数m的和即可．
【详解】解：分式方程去分母得：mx=m-1-3x，
解得：x=（m≠-3），
不等式组整理得：，
由不等式组无解得到2m+4≥，
解得：m≥，即负整数m=-3，-2，-1，
∵为整数，得到m=-1，-2，之和为-3，
故选：B．
【点睛】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．B
解析：B
【分析】先根据两直线平行，求出的度数，再根据三角板，求出的度数，有三角板得知，进而根据三角形外角和定理求得的度数．
【详解】
（两直线平行，同旁内角互补）
又

（三角形外角和定理）
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的性质，三角形外角和定理，解决本题的关键是性质和定理的合理应用．
11．B
解析：B
【分析】根据等边三角形的性质可以得出E△ACE≌△DCB，就可以得出∠CAE=∠CDB，∠AEC=∠DBC，通过证明△CEG≌△CBH就可以得出CG=CH，GE=HB，可以得出△GCH是等边三角形，就可以得出∠GHC=60°，就可以得出GH//AB，由∠DCH≠∠DHC就可以得出CD≠DH，就可以得出AD≠DH，根据∠AFD=∠EAB+∠CBD=∠CDB+∠CBD=∠ACD=60°，进而得出结论．
【详解】解：∵△ACD和△BCE是等边三角形， 
∴AD=AC=CD，CE=CB=BE，∠ACD=∠BCE=60°．
∵∠ACB=180°， 
∴∠DCE=60°．
∴∠DCE=∠BCE．
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE， 
∴∠ACE=∠DCB．
在△ACE和△DCB中， 
， 
∴△ACE≌△DCB(SAS)， 
∴AE=BD，∠CAE=∠CDB，∠AEC=∠DBC．
在△CEG和△CBH中， 
， 
∴△CEG≌△CBH(ASA)， 
∴CG=CH，GE=HB， 
∴△CGH为等边三角形， 
∴∠GHC=60°， 
∴∠GHC=∠BCH， 
∴GH//AB．
∵∠AFD=∠EAB+∠CBD， 
∴∠AFD=∠CDB+∠CBD=∠ACD=60°．
∵∠DHC=∠HCB+∠HBC=60°+∠HBC，∠DCH=60° 
∴∠DCH≠∠DHC， 
∴CD≠DH， 
∴AD≠DH．
综上所述，正确的有：①②④⑤．
故选B．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的外角与内角之间的关系的运用，平行线的判定的运用，解答时证明三角形全等是关键．
二、填空题
12．4
【分析】根据分式的值为0的条件直接进行求解即可．
【详解】解：由分式的值为0，则有：
，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查分式的值为0，熟练掌握分式的值为0的条件是解题的关键．
13．7
【分析】关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；求得a，b的值，再代入求值即可．
【详解】解：∵点与点关于y轴对称，
∴a=-(-3)=3，b=-4，
∴a-b=3-(-4)=7，
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标．解题的关键是掌握关于坐标轴对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
14．
【分析】根据条件，可得出，所以．将式子展开化简可得：．将代入，则原式，故答案为．
【详解】解：，
，
，
，
把代入得：原式，
故答案为．
【点睛】．
本题主要考查知识点为：分式的加减，完全平方公式．熟练掌握分式的加减方法和完全平方公式是解决此题的关键．
15．27
【分析】先根据同底数幂乘除法法则的逆运算将原式化为，然后利用幂的乘方逆运算化为，再代入数值计算即可．
【详解】解：∵3m＝6，9n＝2，
∴32n=2，
∴32m－4n＋1
=
=
=
=，
故答案为：．
【点睛】此题考查了整式的计算公式：同底数幂乘除法法则，幂的乘方运算法则，正确掌握各计算法则是解题的关键．
16．60°##60度
【分析】由题意可知点A、点C关于BD对称，连接AE交BD于点P，由对称的性质可得，PA＝PC，由两点之间线段最短可知，AE即为PE+PC的最小值，然后根据等边三角形的性质求出∠E
解析：60°##60度
【分析】由题意可知点A、点C关于BD对称，连接AE交BD于点P，由对称的性质可得，PA＝PC，由两点之间线段最短可知，AE即为PE+PC的最小值，然后根据等边三角形的性质求出∠EPB＝60°，再通过△BPE≌△CPE得出∠EPC＝∠EPB＝60°．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，BD是∠ABC的平分线，
∴点D为AC的中点，BD⊥AC，
∴点A、点C关于BD对称，
如图，连接AE，交BD于P，线段AE的长即为PE+PC最小值，

∵点E是边BC的中点，
∴AE⊥BC，
∵∠ABC＝60°，BD是∠ABC的平分线，
∴∠PBE＝30°，
∴∠BPE＝60°，
∵在△BPE和△CPE中，
，
∴△BPE≌△CPE（SAS），
∴∠EPC＝∠BPE＝60°．
故答案为：60°．
【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等边三角形的性质是解答此题的关键．
17．【分析】利用完全平方公式判断即可确定出的值．
【详解】解：由题意知，，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查完全平方公式，根据两平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项求解．
解析：
【分析】利用完全平方公式判断即可确定出的值．
【详解】解：由题意知，，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查完全平方公式，根据两平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项求解．
18．－1
【分析】根据代入计算，继而求得结果．
【详解】解：∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，理解是解题关键．
解析：－1
【分析】根据代入计算，继而求得结果．
【详解】解：∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，理解是解题关键．
19．1或3.5或12秒．
【分析】根据题意分为五种情况，设运动时间为t秒时，根据全等三角形的性质得出CP＝CQ，代入得出关于t的方程，解方程即可．
【详解】解：分为五种情况：①如图1，P在AC上，Q
解析：1或3.5或12秒．
【分析】根据题意分为五种情况，设运动时间为t秒时，根据全等三角形的性质得出CP＝CQ，代入得出关于t的方程，解方程即可．
【详解】解：分为五种情况：①如图1，P在AC上，Q在BC上，则PC＝6﹣t，QC＝8﹣3t，
∵PE⊥l，QF⊥l，
∴∠PEC＝∠QFC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠EPC+∠PCE＝90°，∠PCE+∠QCF＝90°，
∴∠EPC＝∠QCF，
∵△PCE≌△CQF，
∴PC＝CQ，
即6﹣t＝8﹣3t，
t＝1；
②如图2，P在BC上，Q在AC上，则PC＝t﹣6，QC＝3t﹣8，
∵由①知：PC＝CQ，
∴t﹣6＝3t﹣8，
t＝1；
t﹣6＜0，即此种情况不符合题意；
③当P、Q都在AC上时，如图3，
CP＝6﹣t＝3t﹣8，
t＝3.5；
④当Q到A点停止，P在BC上时，AC＝PC，t﹣6＝6时，解得t＝12．
⑤P和Q都在BC上的情况不存在，因为P的速度是每秒1cm，Q的速度是每秒3cm；
答：点P运动1或3.5或12秒时，与 全等．
故答案为：1或3.5或12．

【点睛】本题主要考查对全等三角形的性质，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据题意得出方程是解此题的关键．
三、解答题
20．(1)
(2)
【分析】（1）先提公因式，然后根据平方差公式进行因式根据即可；
（2）先求积的乘方，同底数幂的乘法，然后合并同类项即可．
(1)
解：原式
；
(2)
解：原式
．
解析：(1)
(2)
【分析】（1）先提公因式，然后根据平方差公式进行因式根据即可；
（2）先求积的乘方，同底数幂的乘法，然后合并同类项即可．
(1)
解：原式
；
(2)
解：原式
．
【点睛】本题考查了综合提公因式与公式法进行因式分解，积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
21．(1)1
(2)分式方程无解
【分析】（1）先因式分解，然后进行除法运算，最后进行加法运算即可；
（2）先通分，去分母，然后移项合并求得，最后进行检验即可．
(1)
解：原式
(
解析：(1)1
(2)分式方程无解
【分析】（1）先因式分解，然后进行除法运算，最后进行加法运算即可；
（2）先通分，去分母，然后移项合并求得，最后进行检验即可．
(1)
解：原式

(2)
解：
通分得：
去分母得：
移项合并得：
检验，将代入得，故不是原分式方程的解，是增根
∴分式方程无解．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解分式方程．解题的关键在于正确的计算求解．未进行检验是解分式方程的易错点．
22．见解析
【分析】由全等三角形的判定证明，即可得出．
【详解】证明：∵，，（对顶角相等），
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键．
解析：见解析
【分析】由全等三角形的判定证明，即可得出．
【详解】证明：∵，，（对顶角相等），
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键．
23．（1）见解析；（2）①∠CDA＝20°；②∠CAD+41°＝∠CBD．
【分析】（1）由三角形外角的性质可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠ECD＝∠E+∠EBC；由角平分线的性质可得，，利用等量代换
解析：（1）见解析；（2）①∠CDA＝20°；②∠CAD+41°＝∠CBD．
【分析】（1）由三角形外角的性质可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠ECD＝∠E+∠EBC；由角平分线的性质可得，，利用等量代换，即可求得∠A与∠E的关系；
（2）①根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可解答；②设∠CBD=a，根据已知条件得到∠ABC=180°-2a，根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可解答．
【详解】（1）证明：∵∠ACD是△ABC的外角
∴∠ACD＝∠A+∠ABC
∵CE平分∠ACD
∴
又∵∠ECD＝∠E+∠EBC
∴
∵BE平分∠ABC
∴
∴
∴；
（2）①∵∠ACD＝130°，∠BCD＝50°
∴∠ACB＝∠ACD﹣∠BCD＝130°﹣50°＝80°
∵∠CBA＝40°
∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣80°﹣40°＝60°
∵AD平分∠BAC
∴
∴∠CDA＝180°﹣∠CAD﹣∠ACD＝20°；
②∠CAD+41°＝∠CBD
设∠CBD＝α
∵∠ABD+∠CBD＝180°
∴∠ABC＝180°﹣2α
∵∠ACB＝82°
∴∠CAB＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣（180°﹣2α）﹣82°＝2α﹣82°
∵AD平分∠BAC
∴∠CAD＝∠CAB＝α﹣41°
∴∠CAD+41°＝∠CBD．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角与外角、三角形内角和定理、角平分线等知识点，掌握三角形内角和是180°是解答本题的关键．
24．(1)每个类摊位占地面积为5平方米，每个类摊位占地面积为3平方米
(2)最多建22个类摊位
【分析】（1）设每个类摊位占地面积为平方米，则每个类摊位占地面积为平方米，由题意：用60平方米建类摊位
解析：(1)每个类摊位占地面积为5平方米，每个类摊位占地面积为3平方米
(2)最多建22个类摊位
【分析】（1）设每个类摊位占地面积为平方米，则每个类摊位占地面积为平方米，由题意：用60平方米建类摊位的个数恰好是用同样面积建类摊位个数的，列出分式方程，然后解方程即可；
（2）设类摊位的数量为个，则类摊位的数量为个，由题意：建造类摊位的数量不少于类摊位数量的3倍，列出一元一次不等式，然后解不等式即可．
（1）解：设每个类摊位占地面积为平方米，则每个类摊位占地面积为平方米，依题意，得：，解得：，经检验，是原分式方程的解，且符合题意，则．答：每个类摊位占地面积为5平方米，每个类摊位占地面积为3平方米．
（2）设类摊位的数量为个，则类摊位的数量为个，依题意，得：，解得：，因为取整数，所以的最大值为22．答：最多建22个类摊位．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用．解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程：（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
25．（1），；（2）
【分析】（1）先找出一个x的值，进而找出一个因式，再将多项式设成分解因式的形式，即可得出结论；
（2）先找出x=-1时，得出多项式的值，进而找出一个因式，再将多项式设成分解因式
解析：（1），；（2）
【分析】（1）先找出一个x的值，进而找出一个因式，再将多项式设成分解因式的形式，即可得出结论；
（2）先找出x=-1时，得出多项式的值，进而找出一个因式，再将多项式设成分解因式的形式，即可得出结论．
【详解】解：（1）把带入多项式，发现此多项式的值为0，
∴多项式中有因式，
于是可设，
得出：，
∴，，
∴，，
（2）把代入，多项式的值为0，
∴多项式中有因式，
于是可设，
∴，，
∴，，
∴
【点睛】此题是分解因式，主要考查了试根法分解因式的理解和掌握，解本题的关键是理解试根法分解因式．
26．(1)0
(2)等腰三角形，见解析
(3)CG=2FG
【分析】（1）由可得，得出a、b的值即可求解；
（2）由OC垂直平分AB可得，再由外角可得 ，结合已知条件，等量代换即可得到结论；
解析：(1)0
(2)等腰三角形，见解析
(3)CG=2FG
【分析】（1）由可得，得出a、b的值即可求解；
（2）由OC垂直平分AB可得，再由外角可得 ，结合已知条件，等量代换即可得到结论；
（3）先延长GF至点M，使FM=FG，连接CG、CM、AM，可证，得到，再结合已知条件得到，可得是等腰三角形，利用等腰三角形的性质得出，最后证明 为等边三角形，即可得到结论．
(1)

解得

(2)
是等腰三角形，理由如下：
由点A（a，0）、点B（b，0）为x轴上两点，且
可得，OA=OB
OC垂直平分AB

，

是等腰三角形
(3)
，理由如下：
如图，延长GF至点M，使FM=FG，连接CG、CM、AM

F为AD的中点

在和中

垂直平分

，BG平分
为等边三角形，

在和中   

即是等腰三角形

为等边三角形   

在 中， ．
【点睛】本题是三角形的综合题目，考查了非负性求和、线段垂直平分线的性质、外角的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质及直角三角形的性质，涉及知识点多，能够合理添加辅助线并综合运用知识点是解题的关键．
27．(1)证明过程见解析；
(2)①证明过程见解析；②PC=2PA，理由见解析．
【分析】（1）证明△BCD≌△ACP（SAS），可得结论；
（2）①如图2中，延长PM到K，使得MK=PM，连接C
解析：(1)证明过程见解析；
(2)①证明过程见解析；②PC=2PA，理由见解析．
【分析】（1）证明△BCD≌△ACP（SAS），可得结论；
（2）①如图2中，延长PM到K，使得MK=PM，连接CK．证明△AMP≌△CMK（SAS），推出MP=MK，AP=CK，∠APM=∠K=90°，再证明△PDB≌△PCK（SSS），可得结论；
②结论：PC=2PA．想办法证明∠DPB=30°，可得结论．
（1）证明：如图1中，∵△ABC，△CDP都是等边三角形，∴CB=CA，CD=CP，∠ACB=∠DCP=60°，∴∠BCD=∠ACP，在△BCD和△ACP中，，∴△BCD≌△ACP（SAS），∴BD=AP；
（2）证明：如图2中，延长PM到K，使得MK=PM，连接CK．∵AP⊥PM，∴∠APM=90°，在△AMP和△CMK中，，∴△AMP≌△CMK（SAS），∴MP=MK，AP=CK，∠APM=∠K=90°，同法可证△BCD≌△ACP，∴BD=PA=CK，∵PB=2PM，∴PB=PK，∵PD=PC，∴△PDB≌△PCK（SSS），∴∠PBD=∠K=90°，∴PB⊥BD．②解：结论：PC=2PA．∵△PDB≌△PCK，∴∠DPB=∠CPK，设∠DPB=∠CPK=x，则∠BDP=90°-x，∵∠APC=∠CDB，∴90°+x=60°+90°-x，∴x=30°，∴∠DPB=30°，∵∠PBD=90°，∴PD=2BD，∵PC=PD，BD=PA，∴PC=2PA．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形30°角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，关注全等三角形解决问题．