2016届高考数学第二轮复习限时训练题18.doc

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限时规范训练十[单独成册]
(建议用时45分钟)
1．(2016·山西省四校高三联考)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，已知acos2＋ccos2＝b.
(1)求证：a、b、c成等差数列；
(2)若B＝，S＝4，求b.
(1)证明：由正弦定理得：sin Acos2＋sin Ccos2
＝sin B，
∴＋＝sin B
∴sin A＋sin C＋sin(A＋C)＝sin B
∴sin A＋sin C＝2sin B
∴a＋c＝2b，∴a、b、c成等差数列
(2)解：∵S＝acsin B＝ac＝4，∴ac＝16.
又b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac，
由(1)得：a＋c＝2b，∴b2＝4b2－48，
∴b2＝16，即b＝4.
2．(2015·高考全国卷Ⅱ)△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．
(1)求；
(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．
解：(1)S△ABD＝AB·ADsin∠BAD，S△ADC＝AC·ADsin∠CAD.
因为S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，所以AB＝2AC.
由正弦定理，得＝＝.
(2)因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝.
在△ABD和△ADC中，由余弦定理，知
AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，
AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC.
故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6.
由(1)，知AB＝2AC，所以AC＝1.
3．(2015·高考浙江卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知A＝，b2－a2＝c2.
(1)求tan C的值；
(2)若△ABC的面积为3，求b的值．
解：(1)由b2－a2＝c2及正弦定理得
sin2B－＝sin2C，
所以－cos 2B＝sin2C.
又由A＝，即B＋C＝π，得
－cos 2B＝sin 2C＝2sin Ccos C，
∴2sin C·cos C＝sin2 C
解得tan C＝2.
(2)由tan C＝2，C∈(0，π)，得
sin C＝，cos C＝.
因为sin B＝sin(A＋C)＝sin，
所以sin B＝.
由正弦定理得c＝，
又因为A＝，bcsin A＝3，所以bc＝6，故b＝3.
4．(2015·高考调研卷)已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tan A＝.
(1)求角A的大小；
(2)当a＝时，求c2＋b2的最大值，并判断此时△ABC的形状．
解：(1)由已知及余弦定理，得＝，
sin A＝，
因为A为锐角，所以A＝60°.
(2)法一　由正弦定理，得＝＝＝＝2，
所以b＝2sin B，c＝2sin C＝2sin(120°－B)．
c2＋b2＝4[sin2B＋sin2(120°－B)]
＝4
＝4
＝4－cos 2B＋sin 2B
＝4＋2sin(2B－30°)．
由得30°<B<90°，所以30°<2B－30°<150°，
当sin(2B－30°)＝1，即B＝60°时，(c2＋b2)max＝6，
此时C＝60°，△ABC为等边三角形．
法二　由余弦定理得()2＝b2＋c2－2bccos 60°＝b2＋c2－bc＝3.
而bc≤(当且仅当b＝c时取等号)，
则3≥，即b2＋c2≤6(当且仅当b＝c时取等号)．
故c2＋b2的最大值为6，此时△ABC为等边三角形．
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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