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焦半径公式的证明
【寻根】 椭圆的根在哪里？自然想到椭圆的定义：到两定点F1，F2（|F1F2|=2c）距离之和为定值2a（2a>2c）的动点轨迹（图形）.
这里，从椭圆的“根上”找到了两个参数c和a.
第一个参数c，就确定了椭圆的位置；再加上另一个参数a，就确定了椭圆的形状和大小.比较它们的“身份”来，c比a更“显贵”.
遗憾的是，在椭圆的方程里，却看不到c的踪影，故有人开玩笑地说：椭圆方程有“忘本”之嫌.
为了“正本”，我们回到椭圆的焦点处，寻找c，并寻找关于c的“题根”.

一、 用椭圆方程求椭圆的焦点半径公式
数学题的题根不等同数学教学的根基，数学教学的根基是数学概念，如椭圆教学的根基是椭圆的定义.但是在具体数学解题时，不一定每次都是从定义出发，而是从由数学定义引出来的某些已知结论（定理或公式）出发，如解答椭圆问题时，经常从椭圆的方程出发.

【例1】 已知点P（x，y）是椭圆上任意一点，F1（-c,0）和F2(c,0)是椭圆的两个焦点.求证：|PF1|=a+；|PF2|=a -.
【分析】 可用距离公式先将|PF1|和|PF2|分别表示出来.然后利用椭圆的方程“消y”即可.
【解答】 由两点间距离公式，可知
|PF1|= (1)
从椭圆方程解出
(2)
代（2）于（1）并化简，得
|PF1|= (-a≤x≤a)
同理有 |PF2|= (-a≤x≤a)
【说明】 通过例1，得出了椭圆的焦半径公式
r1=a+ex r2=a-ex (e=)
从公式看到，椭圆的焦半径的长度是点P（x,y）横坐标的一次函数. r1是x的增函数，r2是x的减函数，它们都有最大值a+c,最小值a-c.从焦半径公式，还可得椭圆的对称性质（关于x,y轴，关于原点）.

二、用椭圆的定义求椭圆的焦点半径
用椭圆方程推导焦半径公式，虽然过程简便，但容易使人误解，以为焦半径公式的成立是以椭圆方程为其依赖的.为了看清焦半径公式的基础性，我们考虑从椭圆定义直接导出公式来.
椭圆的焦半径公式，是椭圆“坐标化”后的产物,按椭圆定义，对焦半径直接用距离公式即可.
【例2】 P (x,y)是平面上的一点，P到两定点F1（-c，0），F2（c，0）的距离的和为2a（a>c>0）.试用x，y的解析式来表示r1=|PF1|和r2=|PF2|.
【分析】 问题是求r1=f（x）和r2=g（x）.先可视x为参数列出关于r1和r2的方程组，然后从中得出r1和r2.
【解答】 依题意，有方程组

②-③得
代①于④并整理得r1-r2= ⑤
联立①，⑤得
【说明】 椭圆的焦半径公式可由椭圆的定义直接导出，对椭圆的方程有自己的独立性.由于公式中含c而无b，其基础性显然.

三、 焦半径公式与准线的关系
用椭圆的第二定义，也很容易推出椭圆的焦半径公式.
如图右，点P（x，y）是以F1（-c,0）为焦点，以l1：
x=-为准线的椭圆上任意一点.PD⊥l1于D.按椭圆
的第二定义，则有

即r1=a+ex,同理有r2=a-ex.
对中学生来讲，椭圆的这个第二定义有很大的“人为性”.准线缺乏定义的“客观性”.因此，把椭圆的第二定义视作椭圆的一条性质定理更符合逻辑性.

【例3】 P（x，y）是以F1（-c，0），F2（c，0）为焦点，以距离之和为2a的椭圆上任意一点.直线l为x=-，PD1⊥l交l于D1.
求证：.
【解答】 由椭圆的焦半径公式 |PF1|=a+ex.
对|PD1|用距离公式 |PD1|=x-=x+.
故有.
【说明】 此性质即是：该椭圆上任意一点，到定点F1（-c,0）（F2（c,0））与定直线l1:x=-(l2：x=)的距离之比为定值e（0<e<1）.

四、用椭圆的焦半径公式证明椭圆的方程
现行教材在椭圆部分，只完成了“从曲线到方程”的单向推导，实际上这只完成了任务的一半.而另一半，从“方程到曲线”，却留给了学生（关于这一点，被许多学生所忽略了可逆推导过程并不简单,特别是逆过程中的两次求平方根）.
其实，有了焦半径公式，“证明椭圆方程为所求”的过程显得很简明.
【例4】 设点P（x，y）适合方程.求证：点P（x，y）到两定点F1（-c,0）和F2（c，0）的距离之和为2a（c2=a2-b2）.
【分析】 这题目是为了完成“从方程到曲线”的这一逆向过程.利用例2导出的焦点半径公式，很快可推出结果.
【解答】 P（x，y）到F1（-c,0）的距离设作r1=|PF1|.由椭圆的焦点半径公式可知
r1=a+ex ①
同理还有
r2=a-ex ②
①+② 得 r1+r2=2a
即 |PF1|+|PF2|=2a.
即P（x，y）到两定点F1（-c，0）和F2（c,0）的距离之和为2a.
【说明】 椭圆方程是二元二次方程，而椭圆的焦半径公式是一元一次函数.因此，围绕着椭圆焦半径的问题，运用焦半径公式比运用椭圆方程要显得简便.

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