空间直线与平面.doc

一对一vip辅导讲义

年 级： 高二 辅导科目： 数学
课 题
空间直线与平面（一）
教学目的
1. 熟练掌握平面基本性质；
2. 理解空间中的线线关系；
3. 锻炼初步的空间想象能力，体会数学空间中的抽象美。
教学内容
【知识讲解】
（一）平面
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内。
注意：（1）关于公理1可以使用集合的符号把它简明准确地表达.A∈L，B∈L，A∈α，B∈αÞLÌα。
（2）公理1 判定直线在平面内的依据，进一步可判定图形共面。
（3）公理1说明平面具有无限延展性。

公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。
如图：

注意：
1. “有且只有一条”的含义是：“有”说明直线是存在的，“只有”说明直线是唯一的。
2. 如果两个平面α和β有一条公共直线，就说平面α和β相交，交线是a，则可记作
α∩β＝a
3. 公理2可表示成如下形式：若A∈α，A∈β，则α∩β＝a，且A∈a。
4. 两个平面如果有一个公共点，那么就有无穷多个公共点，所有公共点在公共直线上，即它们的交线上；交线的每一个点都是两个平面的公共点。
5. 公理2是作出两个平面交线的依据。
6. 在公理指导下画出两个相交平面的一般步骤如下：
①先画表示两个平面的平行四边形的相交两边，如图（1）
②再画出表示两个平面交线的线段，如图（2）
③过图（1）中线段的端点分别引线段，使它平行且等于（2）中表示交线的线段，如图（3）。
④画图中表示两个平面的平行四边形的第四边（被遮住的线，可以用虚线，也可以不画，如图（4））

（1） （2） （3） （4）
公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
注意：
①公理3实际上是给出了确定平面的条件。讲解是应突出“不在同一直线上”和“三点”几个字
②“有且只有”的理解： “有”说明直线是存在的；“只有”说明直线是唯一的。
公理3推论
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面
（二）空间直线

(即公理4的数学意义)
3. 定理1：若一个角的两边分别与另一角的两边平行，则这两个角相等或互补(注意互补的情况).
4. 异面直线的判定定理：经过平面外一点和平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线是异面直线。

5. 异面直线所成角：
过空间任意一点O，分别作异面直线a与b的平行线a’、b’，则a’与b’所成的锐角或直角叫做a与b的（夹角）所成角。
6. 异面直线所成角求法：
（1）作角：平移a或b，使a与b相交，得到所求角。
（2）以该角为一可解三角形一内角，解三角形、求角的大小。
注意：若cosα<0，则所求角为π-α。
【例题分析 】
例1、画出经过已知直线AB的三个平面。
例2. 三个不同平面可能把空间分成几部分？画图说明可能分成4，6，7，8个部分。

练习1. 已知：延长⊿ABC三边，AB＝D，BC＝E，AC＝F，求证：D、E、F共线。

例3. 三个平面两两相交有三条直线，求证这三条直线交于一点或互相平行。
已知：平面αβγ两两相交且α∩β＝a，β∩γ＝b，α∩γ＝c
求证：a、b、c相交于一点或互相平行
分析：两种情况（1）交线相交（2）交线不相交

证明：（1）设a∩b＝P则PÎa， PÎb
∵α∩β＝a，β∩γ＝b ∴PÎα，PÎβ，PÎγ
∵pÎα ∩β而α∩γ ＝c
∴pÎc ∴a.b.c相交于一点P
（2）若a.b.c不相交，在α内必有a∥c
同理 b∥c ∴a∥b∥c
练习2. 在正方体AC1中，M、N分别是A1B1、B1B的中点，求
（1）AM和CN所成角的大小；
（2）AM和BD1所成角的大小。
（3）AM和BD所成角的大小；

练习3. 如图正方体中：
（1）与对角线AC1成异面的直线的棱有多少条？
（2）与AB成异面直线的棱有多少条？
（3）与BD成异面直线的棱有多少条？
（4）正方体12条棱中异面直线共有多少对？

练习4、 正方体棱长为，对角线长为。
① 异面直线与所成的角。
② 异面直线与的距离。
③ 异面直线与所成的角。
④ 异面直线与所成的角。
⑤ M、N为、中点，MN与AC所成角。
⑥ H为BC中点，与所成角。

练习5、 四面体ABCD，棱长均为（正四面体）
① 求异面直线AD、BC的距离。
② 求AC、BD所成的角。
③ E、F为BC、AD中点，求AE、CF所成角。

练习6、 P为所在平面外一点，E为PA中点，且，，，（）。求异面直线BE、PC的距离。

练习6、 正方体中，E、F为AB、中点，求、所成的角。

【随堂练习及课后作业】
1、 已知E，F，G，H是空间的四个点 。 命题甲：点E，F，G，H 不共面 ；
命题乙：点E，F，G，H 中任何三点不共线 。那么甲是乙成立的( )条件。
A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 非充分非必要
2、 、异面，、异面，则、的关系为（ ）
A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 以上均有可能
3、分别与两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是（ ）
A. 平行或相交 B. 相交或异面 C. 平行或异面 D. 均有可能
4、 、为异面直线，，，，则有（ ）
A. 、同时与相交 B. 至少与、中一条相交
C. 至多与、中一条相交 D. 与、中一条平行，一条相交
5、 AB、CD分别是两条异面上线段，M、N分别是它的中点，则有（ ）
A. B.
C. D. 与无法比较
6、 若a、b为异面直线，直线c//a，则c与b的位置关系是（ ）
A. 相交 B. 异面 C. 平行 D. 异面或相交
7、 两两相交的四条直线确定平面的个数最多的是（ ）
A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 8个
8、 正方体ABCD-A1B1C1D1中，所有各面的对角线能与AB1成60°角的异面直线的条数有（ ）
A. 2条 B. 4条 C. 5条 D. 6条
9、 在空间四点中，三点共线是四点共面的（ ）
A. 充分必要条件B. 必要非充分条件C. 充分非必要条件D. 既非充分又非必要条件
10、 教室内有一把尺子，无论怎样放置，地面上总有这样的直线与该直尺所在直线（ ）
A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 异面
11、 如图所示，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是（ ）

12、 在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF与HG交于点M，则（ ）
A. M一定在直线AC上 B. M一定在直线BD上
C. M可能在AC上，也可能在BD上 D. M不在AC上，也不在BD上
13、 如图所示是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题：
（1）AB与CD所在直线垂直；（2）CD与EF所在直线平行；
（3）AB与MN所在直线成60°角； （4）MN与EF所在直线异面。
其中正确命题的序号是（ ）

（二）填空题
1、，、与、均垂直，则、的关系为_____________________
2、已知异面直线、成角，P为空间一点，则过P且与、所成角均为的直线有_________条
3、空间直线满足（1）与异面；（2）与成角；（3）与距离为10cm；则这样的有_________条
4、空间四边形ABCD棱长为，对角线也为，E为AD中点，AB与CE所成角为__________________
5、若a、b、l是两两异面的直线，a与b所成的角是，所成的角都是α，则α的取值范围是
6、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G分别为AB、BC、CC1的中点，则EF与BG所成角的余弦值为_______
(三) 解答题
1、 已知：四边形ABCD中，AB//CD，AB、BC、DC、AD（或其延长线）分别与平面α相交于E、F、G、H四点，求证：E、F、G、H四点共线。

2、 空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点。求证：EF和AD为异面直线。

3、 △ABC是边长为2的正三角形，在△ABC所在平面外有一点P，，，延长BP至D，使，E是BC的中点，求AE和CD所成角的大小。