高一数学对数函数复习(系统篇)教师版.doc

数学专题 对数与对数运算(教师版)
二、点击考点
［考题1］求下列各式得
(1);(2);
(3);(4)
［解析］(1)由,得,即;
(2)由,得,即,故;
(3)由,得故;
(4)由,得故
［点评］对数得定义就是对数形式与指数形式互化得依据,而对数形式与指数形式得互化又就是解决问题重要手段。
［考题2］求下列各式得值:
(1);
(2);
(3)
［分析］利用对数得性质求解,首先要明确解题目目标就是化异为同,先使各项底数相同,才能使用性质,再找真数间得联系,对于复杂得真数,可以先化简再计算。
［解析］(1)原式

(2)原式=
==
(3)∵

∴原式
［点评］对数得求值一般有两种方法:一种就是将式中真数得积、商、幂、方根利用对数得运算性质将它们化为对数得与、差、积、商,然后化简求值;另一种方法就是将式中得与、差、积、商运用对数得运算法则将它们化为真数得积、商、幂、方根,然后化简求值。
［考题3］已知求
［解析］已知条件与所求对数得底就是不相同得,因此考虑应用换底公式。
解法一:∵,∴
∴
解法二:∵,∴
∴
解法三:∵
∴
∴
［点评］本题还有其她方法,这里,都就是把指数式改写为对数式,再把所求对数通过换底公式换成与它相同底数得对数,以便利用已知条件与对数得性质求解。
［考题4］(1)设,求得值、
(2)已知均大于1,,求
［分析］(1)首先将指数式化为对数式,再利用对数得性质进行计算。(2)观察已知条件,真数相同,底数不同,若将拆成、、,则问题获得解决,因此,要多次使用等式
［解析］(1)∵
∴
∴,

∴

(2)由得
由得,
由得,
即
∴,
解得
∴
［点评］(1)本题(1)通过将、得值用换底公式转化为同底数得对数,再利用对数得运算法则求值,此外,我们还可以用换底公式得到一个常用得关系式,常用来把分式转化为整式。
(2)对数得换底公式在解题中起着重要得转化作用,能够将不同底得问题转化为同底,从而使我们利用对数得运算性质解题得想法得以实现。
［考题5］已知、、为正数,且,求得取值范围、
［解析］∵
∴
∴
∵,∴上式关于得方程有实根。
∴、
∴
∴,或
∴或
［点评］对数知识又常常与其她知识交汇在一起,构成较复杂得题目,如此题与方程、不等式综合,这时首先要牢牢掌握对数得定义,注意其与指数式得转化;灵活运用运算法则就可使问题得到解决。
［考题6］科学研究表明,宇宙射线在大气中能够产生放射性碳-14,碳-14得衰变极有规律,其精确性可以称为自然界得“标准时钟”。动植物在生长过程中衰变得碳-14,可以通过与大气得相互作用得到补充,所以活着得动植物每克组织中得碳-14含量保持不变,死亡后得动植物,停止了与外界环境得相互作用,机体中原有得碳-14按确定得规律衰减,我们已经知道其“半衰期”为5730年。
(1)设生物体死亡时,体内每克组织得碳-14含量为l,试推算生物死亡年后体内每克组织中得碳-14含量P;
(2)湖南长沙马王堆汉墓女尸体出土时碳-14得残余量约占原始含量得76、7%,试推算马王堆古墓得年代。
［解析］(1)设生物体死亡后时,体内每克组织中得碳-14得含量为1,1年后得残留量为,由于死亡机体中原有碳-14按确定得规律衰减,所以生物体得死亡年数与其体内每克组织得碳-14含量P有如下关系:
死亡年数 1 2 3 … …
碳-14含量P … …
因此,生物死亡年后体内碳-14得含量
由于大约每过5730年,死亡生物体得碳-14含量衰减为原来得一半,所以
于就是
这样生物死亡年后体内碳-14得含量
(2)由对数与指数得关系,指数式,两边取常用对数得到,∴
湖南长沙马王堆汉墓女尸中碳-14得残留量约占原始含量得76、7%,即,那么,那么
由计算器可算得
所以,马王堆古墓约就是2100多年前得遗址。
［点评］要计算,由于在指数上,计算就是不可能得,当转为对数式可以计算其结果。
三、夯实双基
1.(a≠0)化简得结果就是(　　)
A.－a B.a2 C.｜a｜ D.a
2.log7［log3(log2x)］＝0,则等于(　　)
A. B. C. D.
3.()等于(　　)
A.1 B.－1 C.2 D.－2
4.若2(x－2y)＝x＋y,则得值为(　　)
A.4 B.1或 C.1或4 D.
5.下列指数式与对数式得互化中,不正确得就是( )
A.与 B.与
C.与 D.与
6.得值为( )
A.4 B.1 C.6 D.3
7.在中,实数a得范围就是( )
A.或 B.
C.或 D.
8.当时,下列说法正确得就是( )
①若M=N,则; ②若,则M=N;
③若,则M=N; ④若M=N,则
A.①与② B.②与④ C.② D.①②③④
9. 、
10.若logax＝logby＝－logc2,a,b,c均为不等于1得正数,且x＞0,y＞0,c＝,则xy＝________.
11.若lg2＝a,lg3＝b,则log512＝________.
12.3a＝2,则log38－2log36＝__________.
13.已知均为正数,,求证:
四、感悟高考
1.设则 。
［解析］本题考查了分段函数得知识,,则,得
故应填:
2.,则( )
A. B. C. D.
［解析］,
,∴
故选C。
3.方程得解 、
［解析］令
∴
∴∴∴ 故应填:－1
4.方程得解就是 。
［解析］,∴故应填:1,2。
夯实双基参考答案:2.C 3.B
4.错解:由2(x－2y)＝x＋y,得(x－2y)2＝xy,解得x＝4y或x＝y,则有＝或＝1.　答案:选B
　　正解:上述解法忽略了真数大于0这个条件,即x－2y＞0,所以x＞2y.所以x＝y舍掉.只有x＝4y. 答案:D
10. 11. 12.a－2
2.2.2 对数函数
一、考点聚焦
1.对数函数得概念
形如得函数叫做对数函数、
说明:(1)一个函数为对数函数得条件就是:
①系数为1;
②底数为大于0且不等于1得正常数;
③自变量为真数、
对数型函数得定义域:
特别应注意得就是:真数大于零、底数大于零且不等于1。
2、由对数得定义容易知道对数函数就是指数函数得反函数。
反函数及其性质
①互为反函数得两个函数得图象关于直线对称。
②若函数上有一点,则必在其反函数图象上,反之若在反函数图象上,则必在原函数图象上。
③利用反函数得性质,由指数函数得定义域,值域,容易得到对数函数得定义域为,值域为,利用上节学过得对数概念,也可得出这一点。
3、.对数函数得图象与性质
定义

底数

图象

定义域

值域

单调性
增函数
减函数
共点性
图象过点(1,0),即
函数值特征

对称性
函数与得图象关于轴对称
4.对数函数与指数函数得比较
名称
指数函数
对数函数
一般形式

定义域

值域

函数值变化情况
当时

当时

当时

当时

单调性
当时,就是增函数;当时,就是减函数
当时,就是增函数;当时,就是减函数
图象
得图象与得图象关于直线对称
要牢记得反函数得图象,并由此归纳出表中结论。
5、比较大小
比较对数得大小,一般遵循以下几条原则:
①如果两对数得底数相同,则由对数函数得单调性(底数为增;为减)比较。
②如果两对数得底数与真数均不相同,通常引入中间变量进行比较。
③如果两对数得底数不同而真数相同,如与得比较()、
当时,曲线比得图象(在第一象限内)上升得慢,即当1时,;当时,、 而在第一象限内,图象越靠近轴对数函数得底数越大(同[考题2]得含义)
当时,曲线比得图象(在第四象限内)下降得快,即当时,;当时,即在第四象限内,图象越靠近轴得对数函数得底数越小。
6、求参数范围
凡就是涉及对数得底含参数得问题,要注意对对数得底数得分析,需要分类讨论时,一定要分类讨论。
二、点击考点
［考题1］计算对数函数对应于取、、64、128时得函数值。
［解析］当时,;
当时,;
当时,;
当时,
［点评］本题主要考查学生利用对数运算法则,准确地进行对数运算得能力,在计算过程中要将算式转化为公式结构,从而熟练地运用公式。
［考题2］如图就是对数函数得图象,已知值取,则图象相应得值依次就是( )
A.、、、 B.、、、
C.、、、 D.、、、
［解析］∵当时,图象上升;,图象下降,又当时,越大,图象向右越靠近轴;时,越小,图象向右越靠近轴,故选A。
［点评］这类问题还可这样求解,过点(0,1)作轴得平行直线(如图)与得交点得横坐标,即为各对数底得值,显然,交点越在左边,底越小,这种求解方法简单易记。
[考点3]已知,且1,函数与得图象只能就是图中得( )

［分析］可以从图象所在得位置及单调性来判别,也可利用函数得性质识别图象,特别注意底数对图象得影响。
解法一:首先,曲线只可能在上半平面,只可能在左半平面上,从而排除A、C。
其次,从单调性着眼,与得增减性正好相反,又可排除D。
解法二:若,则曲线下降且过点(0,1),而曲线上升且过,以上图象均不符合这些条件、 若时,则曲线上升且过(0,1),而曲线下降且过,只有B满足条件。
解法三:如果注意到得图象关于轴得对称图象为,又与互为反函数(图象关于直线对称),则可直接选定B。
［答案］B
［点评］函数图象就是一个重要得问题,可从定义域、值域、单调性、对称性及特殊点入手筛选,对常见函数图象一定要掌握好。
[考点4]已知,那么得取值范围就是 。
［分析］利用函数单调性或利用数形结合求解。
［解］由,得当时,,∴;当时,,∴故,或
［答案］或
［点评］解含有对数符号得不等式时,必须注意对数得底数就是大于1还就是小于1,然后再利用相应得对数函数得单调性进行解答,理解会用以下几个结论很有必要:
(1)当时,;
(2)当时,,
［考题5］设,
(1)求;(2)求证:在上为增函数、
［解析］(1)设,则
于就是
因此
(2)设,
则

∵ ∴
即 ∵,∴,
∴即
∴在上为增函数。
［点评］问题(1)中所采用得换元法求解析式就是复合函数解析式求法中经常用到得,复合函数得单调性问题,要注意讨论得单调性,这里,若条件改为,且,该如何解答？
［考题6］求下列函数得定义域:
(1)
［解析］
要使原函数有意义,需
即
当时,
∴
当时,
∴
∴当时,原函数定义域为;
∴时,原函数定义域为
［点评］函数有意义得条件,可能有许多个,对每一个条件都不能丢掉,然后求解、
［考题7］设函数
(1)若得定义域为R,求得取值范围;
(2)若得值域为R,求得取值范围。
［解析］(1)因为得定义域为R,所以对一切恒为正数,由此可得,且,解得
(2)因为得值域为R,所以真数能取到一切正实数,由此可得,且,解得
［点评］本题很多同学容易把(1)与(2)混为一谈,常用求解问题(1)得方法去处理问题(2)。区别它们得依据:对函数得定义域与值域得理解,以及二次、对数函数性质得应用。
［考题8］(1)得大小顺序为( )
A.B.C.D.
(2)若,试比较得大小、
［解析］(1)∵
,∴选B。
(2)∵,∴ ∴
又,且,∴ 故有
［考题9］(1)若方程得所有解都大于1,求得取值范围;
(2)若,求得取值范围、
［解析］(1)原方程化为 若使,则需,∴原方程等价于

解得、 ∴得取值范围就是
(2)∵
∴
①当时,有为增函数,
∴,结合,故
②当时,有为减函数,
∴,结合,∴
∴得取值范围就是
［考题10］若不等式,当时恒成立,求实数得取值范围、
［解析］要使不等式在时恒成立,即函数得图象在内恒在函数图象得上方,而图象过点、由图可知,,显然这里 ∴函数递减,又
∴,即 ∴所求得得取值范围为
［点评］原问题等价于当时,得图象在得图象得下方,由于得大小不确定,当时,显然,因此必为小于1得正数,当得图象通过点时,满足条件,此时那么就是大于还就是小于才满足呢？可以画图象观察,请试着画一画,这样可以对数形结合得方法有更好地掌握。
［考题11］某城市人口总数为100万人,如果年自然增长率为1、2%,试解答下列问题:
(1)写出该城市人口总数(万人)与年份(年)得函数关系式;
(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0、1万人);
(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到1年);
(4)如果20年后该城市人口总数不超过120万人,年自然增长率应该控制在多少？
［解析］(1)1年后该城市人口总数为;
2年后该城市人口总数为

3年后该城市人口总数为;
年后该城市人口总数为
(2)10年后该城市人口总数为:
(万人)、
(3)设年后该城市人口将达到120万人,
即
∴ (年)、
(4)设年自然增长率为,依题意有,
∴ ∴
∴,∴(用计算器计算)、
∴,即,故年自然增长率应控制在0、9%以内。
［点评］从此例可以瞧出中国得人口增长压力很大,因此控制人口增长刻不容缓,计划生育得国策不可改变
三、夯实双基
1:已知就是上得减函数,那么得取值范围就是
A、 B、 C、 D、
2:设,函数,则使得得取值范围就是
(A) (B) (C) (D)
3、若,则得大小关系为( )
A. B. C. D.答案均有可能
4、已知,则 ( )
A. B、 B、 D、
5.函数得图象就是( )
6.函数y＝(－1)得图象关于(　　)
A.y轴对称 B.x轴对称 C.原点对称 D.直线y＝x对称
7.函数f(x)＝得定义域就是(　　)
A.(1,＋∞) B.(2,＋∞)
C.(－∞,2) D.
8.已知定义域为R得偶函数f(x)在［0,＋∞］上就是增函数,且f()＝0,则不等式f(log4x)得解集就是_____.
9、若函数就是奇函数,则
10.函数恒过定点 、
11.下列四个命题:
①;
②函数与就是同一函数;
③,则;
④,则
其中正确命题得序号就是 、
12.求函数得定义域、
13.已知函数得图象过点(1,3),其反函数得图象过(2,0)点,求得表达式、
14.已知函数
(1)判断得奇偶性;
(2)证明:在上就是增函数、
四、感悟高考
1.设,则得值为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
［解析］,则
故选C。
2.函数得定义域就是( )
A. B.
C. D.
［解析］由可得,,故选B。
3.已知,则有( )
A. B.
C. D.
［解析］∵,∴,同理、∴,即
故选D。
4.已知函数,若,则等于( )
A. B.－ C.2 D.－2
［解析］本小题主要考查函数得概念以及函数得奇偶性,
∵,∴函数就是奇函数,
∴
故选B。
5.已知函数得图象与函数得图象关于直线对称,则( )
A. B.
C. D.
［解析］由题意得,则,故选D。
6.(理)已知,,则( )
A. B.
C. D.
(文)已知,则( )
A. B. C. D.
［解析］(理)由,得函数为减函数,又由,∴,故应选A、
［点评］本题考查了对数函数得单调性及其应用、
(文)由,得函数为减函数,又由,∴,故应选D。
［点评］本题考查了对数函数得单调性及其应用、
7.(理)设函数得图象过点(2,1),其反函数得图象过点(2,8),则等于( )
A.3 B.4 C.5 D.6
(文)设函数得图象过点(0,0),其反函数得图象过点(1,2),则等于( )
A.3 B.4 C.5 D.6
［解析］(理)反函数得图象过点(2,8),则原函数图象过点(8,2),又得图象过点(8,2),又得图象过点(2,1)、
由题意得∴
则有,故选B。
(文)反函数图象过点(1,2),∴原函数图象过点(2,1),∴求得则,故选B。
8.函数( )
A.就是偶函数,在区间上单调递增
B.就是偶函数,在区间上单调递减
C.就是奇函数,在区间上单调递减
D.就是奇函数,在区间上单调递增
［解析］易知就是偶函数,当时,在上就是增函数,所以在时就是减函数。故选B。
9.设,函数得反函数与得反函数得图象关于( )
A.轴对称 B.轴对称 C.对称 D.原点对称
［解析］得反函数为,而得反函数为,因此,它们关于轴对称。
故选B。
10.设集合,则等于( )
A. B.
C. D.
［解析］由或,由,∴
故选A。
11.函数得定义域就是( )
A. B. C. D.
［解析］由,得,∴
故选D、
10.记函数得反函数为,则等于( )
A.2 B.－2 C.3 D.－1
［解析］由,得,∴,∴
故选B。
11.函数在上得最大值与最小值之与为,则得值为( )
A. B. C.2 D.4
［解析］∵与得单调性相同,∴函数在上就是单调函数,当时,就是最小值,就是最大值,当时,就是最大值,就是最小值,故,即,化简得,解得
故选B。
12.若函数得定义域与值域都就是,则等于( )
A. B. C. D.2
［解析］∵,∴,又∵,故,且,∴
13.已知函数与得图象有公共点A,且点A得横坐标为2,则等于( )
A. B. C. D.
［解析］由条件知,解得
故选A。
14.若函数得图象可由函数得图象绕坐标原点O逆时针旋转得到,则等于( )
A. B. C. D.
［解析］设为上任一点,把点A绕原点逆时针旋转,得到,B点必在上,则 ∵A点满足,∴代入,整理得
故选A。
15.设就是定义在R上得奇函数,若当时,,则 。
［解析］因为时,,又为奇函数,所以,设,所以,所以
故应填:－1
16.对于函数定义域中任意得,有如下结论:
①; ②;
③; ④
当时,上述结论中正确结论得序号就是 。
［解析］、
∴
①不对。
②对。
由图知就是两点得斜率且大于0。③对。
由图知,④不对
∴②③正确。
故应填:②③。
17.已知,设
函数在内单调递减;
曲线与轴交于不同得两点。
如果P与Q有且只有一个正确,求得取值范围。
［解析］当时,函数在内单调递减,当时,函数在内不就是单调递减函数。
曲线与轴交于不同得两点等价于,即或
情形一:P正确,且Q不正确,即函数在内单调递减,曲线与轴不交于不同得两点,因此,即
情形二:P不正确,且Q正确,即函数在内不就是单调递减函数,曲线与轴交于不同得两点,因此且或,即。综上,得取值范围为
18.已知函数,求函数得定义域,并讨论它得奇偶性与单调性。
［解析］由题意知需满足由得
所以函数得定义域为
因为函数得定义域关于原点对称,且对定义域内得任意,有

所以就是奇函数、
研究在(0,1)内得单调性,任取,且,则

由
得,即在(0,1)内单调递减,由于就是奇函数,所以在内单调递减。
夯实双基参考答案:
1.解:分段函数得单调性需分段处理、答案选C
2.解:要使,且,所以
,又,∴,故选C、
3.D
4.解:由已知,因为在定义域内就是单调递增得,所以
答案为A、
5.D
6.解析:y＝(－1)＝,所以为奇函数.形如y＝或y＝得函数都为奇函数.
答案:C
7.解析:要保证真数大于0,还要保证偶次根式下得式子大于等于0,
所以解得1＜x≤2.
答案:D
8.解析:因为f(x)就是偶函数,所以f(－)＝f()＝0.又f(x)在［0,＋∞］上就是增函数,所以f(x)在(－∞,0)上就是减函数.所以f(log4x)＞0log4x＞或log4x＜－.
　　解得x＞2或0＜x＜.
答案:x＞2或0＜x＜
9.解:由于就是奇函数,∴,
即,
∴,又,∴
10.(3,1) 11.③④
12. 13.
14.(1)奇函数(2)略