江苏2018版高考数学复习第九章平面解析几何9.2两条直线的位置关系教师用书理苏教版.docx

精品文档第九章 平面解析几何 9.2 两条直线的位置关系教师用书 理 苏教版1.两条直线的位置关系(1)两条直线平行与垂直两条直线平行：()对于两条不重合的直线l1、l2，若其斜率分别为k1、k2，则有l1l2k1k2.()当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时，l1l2.两条直线垂直：()如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则有l1l2k1k21.()当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1l2.(2)两条直线的交点直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解.2.几种距离(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离P1P2.(2)点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d.(3)两条平行线AxByC10与AxByC20(其中C1C2)间的距离d.【知识拓展】1.直线系方程(1)与直线AxByC0平行的直线系方程是AxBym0(mR且mC).(2)与直线AxByC0垂直的直线系方程是BxAyn0(nR).2.两直线平行或重合的充要条件直线l1：A1xB1yC10与直线l2：A2xB2yC20平行或重合的充要条件是A1B2A2B10.3.两直线垂直的充要条件直线l1：A1xB1yC10与直线l2：A2xB2yC20垂直的充要条件是A1A2B1B20.4.过直线l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，但不包括l2.5.点到直线与两平行线间的距离的使用条件(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式.(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1k2l1l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于1.()(3)已知直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1、B1、C1、A2、B2、C2为常数)，若直线l1l2，则A1A2B1B20.()(4)点P(x0，y0)到直线ykxb的距离为.()(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.()(6)若点A，B关于直线l：ykxb(k0)对称，则直线AB的斜率等于，且线段AB的中点在直线l上.()1.(2016徐州模拟)过点(1,0)且与直线x2y20平行的直线方程是_.答案x2y10解析直线x2y20可化为yx1，所以过点(1,0)且与直线x2y20平行的直线方程可设为yxb，将点(1,0)代入得b.所以所求直线方程为x2y10.2.(教材改编)已知点(a,2)(a0)到直线l：xy30的距离为1，则a_.答案1解析依题意得1.解得a1或a1.a0，a1.3.已知直线l过圆x2(y3)24的圆心，且与直线xy10垂直，则l的方程是_.答案xy30解析圆x2(y3)24的圆心为点(0,3)，又因为直线l与直线xy10垂直，所以直线l的斜率k1.由点斜式得直线l：y3x0，化简得xy30.4.(2016 苏州模拟)已知两点A(1,2)，B(5,5)到直线l的距离分别是3和2，则满足条件的直线共有_条.答案3解析以A(1,2)为圆心，3为半径的圆A：(x1)2(y2)29，以B(5,5)为圆心，2为半径的圆B：(x5)2(y5)24，根据题意所要满足的条件，则l是圆A与圆B的公切线，因为A(1,2)，B(5,5)两点间的距离d5，即dr1r2，所以圆A与圆B相外切，所以有3条公切线.5.(教材改编)若直线(3a2)x(14a)y80与(5a2)x(a4)y70垂直，则a_.答案0或1解析由两直线垂直的充要条件，得(3a2)(5a2)(14a)(a4)0，解得a0或a1.题型一两条直线的平行与垂直例1(1)(2017苏北四市联考)已知a，b为正数，且直线axby60与直线2x(b3)y50互相平行，则2a3b的最小值为_.答案25解析由得所以a.所以2a3b3b43(b3)913225(当且仅当3(b3)，即b5时取等号).(2)已知直线l1：ax2y60和直线l2：x(a1)ya210.试判断l1与l2是否平行；当l1l2时，求a的值.解方法一当a1时，l1：x2y60，l2：x0，l1不平行于l2；当a0时，l1：y3，l2：xy10，l1不平行于l2；当a1且a0时，两直线可化为l1：yx3，l2：yx(a1)，l1l2解得a1.综上可知，当a1时，l1l2.方法二由A1B2A2B10，得a(a1)120，由A1C2A2C10，得a(a21)160，l1l2a1，故当a1时，l1l2.方法一当a1时，l1：x2y60，l2：x0，l1与l2不垂直，故a1不成立；当a0时，l1：y3，l2：xy10，l1与l2不垂直；当a1且a0时，l1：yx3，l2：yx(a1)，由()1a.方法二由A1A2B1B20，得a2(a1)0a.思维升华(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件.(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.已知两直线l1：xysin 10和l2：2xsin y10，求的值，使得：(1)l1l2；(2)l1l2.解(1)方法一当sin 0时，直线l1的斜率不存在，l2的斜率为0，显然l1不平行于l2.当sin 0时，k1，k22sin .要使l1l2，需2sin ，即sin .所以k，kZ，此时两直线的斜率相等.故当k，kZ时，l1l2.方法二由A1B2A2B10，得2sin210，所以sin ，所以k，kZ.又B1C2B2C10，所以1sin 0，即sin 1.故当k，kZ时，l1l2.(2)因为A1A2B1B20是l1l2的充要条件，所以2sin sin 0，即sin 0，所以k，kZ.故当k，kZ时，l1l2.题型二两条直线的交点与距离问题例2(1)(2016宿迁模拟)求经过两条直线l1：xy40和l2：xy20的交点，且与直线2xy10垂直的直线方程为_.(2)直线l过点P(1,2)且到点A(2,3)和点B(4,5)的距离相等，则直线l的方程为_.答案(1)x2y70(2)x3y50或x1解析(1)由得l1与l2的交点坐标为(1,3).设与直线2xy10垂直的直线方程为x2yc0，则123c0，c7.所求直线方程为x2y70.(2)方法一当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y2k(x1)，即kxyk20.由题意知，即|3k1|3k3|，k.直线l的方程为y2(x1)，即x3y50.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，也符合题意.故所求直线l的方程为x3y50或x1.方法二当ABl时，有kkAB，直线l的方程为y2(x1)，即x3y50.当l过AB的中点时，AB的中点为(1,4).直线l的方程为x1.故所求直线l的方程为x3y50或x1.思维升华(1)求过两直线交点的直线方程的方法：求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.(2)利用距离公式应注意：点P(x0，y0)到直线xa的距离d|x0a|，到直线yb的距离d|y0b|；两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等.(1)(2016济南模拟)若动点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)分别在直线l1：xy50，l2：xy150上移动，则P1P2的中点P到原点的距离的最小值是_.答案5解析设P1P2的中点为P(x，y)，则x，y.x1y150，x2y2150.(x1x2)(y1y2)20，即xy10.yx10，P(x，x10)，P到原点的距离d5.(2)如图，设一直线过点(1,1)，它被两平行直线l1：x2y10，l2：x2y30所截的线段的中点在直线l3：xy10上，求其方程.解与l1、l2平行且距离相等的直线方程为x2y20.设所求直线方程为(x2y2)(xy1)0，即(1)x(2)y20.又直线过点(1,1)，(1)(1)(2)120.解得.所求直线方程为2x7y50.题型三对称问题命题点1点关于点中心对称例3(2016苏州模拟)过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2xy80和l2：x3y100截得的线段被点P平分，则直线l的方程为_.答案x4y40解析设l1与l的交点为A(a,82a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(a,2a6)在l2上，代入l2的方程得a3(2a6)100，解得a4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x4y40.命题点2点关于直线对称例4如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是_.答案2解析直线AB的方程为xy4，点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(2,0).则光线经过的路程为CD2.命题点3直线关于直线的对称问题例5(2016泰州模拟)已知直线l：2x3y10，求直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程.解在直线m上任取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M必在直线m上.设对称点M(a，b)，则解得M.设直线m与直线l的交点为N，则由得N(4,3).又m经过点N(4,3).由两点式得直线m的方程为9x46y1020.思维升华解决对称问题的方法(1)中心对称点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点P(x，y)满足直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.(2)轴对称点A(a，b)关于直线AxByC0(B0)的对称点A(m，n)，则有直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.已知直线l：3xy30，求：(1)点P(4,5)关于l的对称点；(2)直线xy20关于直线l对称的直线方程；(3)直线l关于(1,2)的对称直线.解(1)设P(x，y)关于直线l：3xy30的对称点为P(x，y)，kPPkl1，即31.又PP的中点在直线3xy30上，330.由得把x4，y5代入得x2，y7，P(4,5)关于直线l的对称点P的坐标为(2,7).(2)用分别代换xy20中的x，y，得关于l的对称直线方程为20，化简得7xy220.(3)在直线l：3xy30上取点M(0,3)关于(1,2)的对称点M(x，y)，1，x2，2，y1，M(2,1).l关于(1,2)的对称直线平行于直线l，k3，对称直线方程为y13(x2)，即3xy50.20.妙用直线系求直线方程一、平行直线系由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系.典例1求与直线3x4y10平行且过点(1,2)的直线l的方程.思想方法指导因为所求直线与3x4y10平行，因此，可设该直线方程为3x4yc0(c1).规范解答解依题意，设所求直线方程为3x4yc0(c1)，又因为直线过点(1,2)，所以3142c0，解得c11.因此，所求直线方程为3x4y110.二、垂直直线系由于直线A1xB1yC10与A2xB2yC20垂直的充要条件为A1A2B1B20.因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必要的关系.可以考虑用直线系方程求解.典例2求经过A(2,1)，且与直线2xy100垂直的直线l的方程.思想方法指导依据两直线垂直的特征设出方程，再由待定系数法求解.规范解答解因为所求直线与直线2xy100垂直，所以设该直线方程为x2yC10，又直线过点(2,1)，所以有221C10，解得C10，即所求直线方程为x2y0.三、过直线交点的直线系典例3求经过两直线l1：x2y40和l2：xy20的交点P，且与直线l3：3x4y50垂直的直线l的方程.思想方法指导可分别求出直线l1与l2的交点及直线l的斜率k，直接写出方程；也可以利用过交点的直线系方程设直线方程，再用待定系数法求解.规范解答解方法一解方程组得P(0,2).因为l3的斜率为，且ll3，所以直线l的斜率为，由斜截式可得l的方程为yx2，即4x3y60.方法二设直线l的方程为x2y4(xy2)0，即(1)x(2)y420.又ll3，3(1)(4)(2)0，解得11.直线l的方程为4x3y60.1.(2016常州模拟)过点M(3，4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为_.答案4x3y0或xy10解析若直线过原点，则k，所以yx，即4x3y0.若直线不过原点，设直线方程为1，即xya，则a3(4)1，所以直线的方程为xy10.2.(2016泰州模拟)已知直线l1：x2my30，直线l2的方向向量为a(1,2)，若l1l2，则m的值为_.答案1解析由直线l2的方向向量是a(1,2)，知直线l2的斜率为k22.l1l2，直线l1的斜率存在，且k1.由k1k21，即21，得m1.3.(2016山东省实验中学质检)从点(2,3)射出的光线沿与向量a(8,4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为_.答案x2y40解析由直线与向量a(8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k，所以直线的方程为y3(x2)，其与y轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y轴的对称点为(2,3)，所以反射光线过点(2,3)与(0,2)，由两点式求得方程为x2y40.4.一只虫子从点O(0,0)出发，先爬行到直线l：xy10上的P点，再从P点出发爬行到点A(1，1)，则虫子爬行的最短路程是_.答案2解析点O(0,0)关于直线xy10的对称点为O(1,1)，则虫子爬行的最短路程为OA2.5.若P，Q分别为直线3x4y120与6x8y50上任意一点，则PQ的最小值为_.答案解析因为，所以两直线平行，由题意可知PQ的最小值为这两条平行直线间的距离，即，所以PQ的最小值为.6.(2016苏州模拟)将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则mn_.答案解析由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y2x3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是解得故mn.7.(2016盐城模拟)正方形的中心为点C(1,0)，一条边所在的直线方程是x3y50，其他三边所在直线的方程分别为_、_、_.答案x3y703xy303xy90解析点C到直线x3y50的距离d.设与x3y50平行的一边所在直线的方程是x3ym0(m5)，则点C到直线x3ym0的距离d，解得m5(舍去)或m7，所以与x3y50平行的边所在直线的方程是x3y70.设与x3y50垂直的边所在直线的方程是3xyn0，则点C到直线3xyn0的距离d，解得n3或n9，所以与x3y50垂直的两边所在直线的方程分别是3xy30和3xy90.8.(2016徐州模拟)已知直线l1：axy10，直线l2：xy30，若直线l1的倾斜角为，则a_；若l1l2，则a_；若l1l2，则两平行直线间的距离为_.答案112解析若直线l1的倾斜角为，则aktan 1，故a1；若l1l2，则a11(1)0，故a1；若l1l2，则a1，l1：xy10，两平行直线间的距离d2.9.如图，已知直线l1l2，点A是l1，l2之间的定点，点A到l1，l2之间的距离分别为3和2，点B是l2上的一动点，作ACAB，且AC与l1交于点C，则ABC的面积的最小值为_.答案6解析以A为坐标原点，平行于l1的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，设B(a，2)，C(b,3).ACAB，ab60，ab6，b.RtABC的面积S 6.10.在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，1)的距离之和最小的点的坐标是_.答案(2,4)解析如图，设平面直角坐标系中任一点P，P到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，1)的距离之和为PAPBPCPDPBPDPAPCBDACQAQBQCQD，故四边形ABCD对角线的交点Q即为所求距离之和最小的点.A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，1)，直线AC的方程为y22(x1)，直线BD的方程为y5(x1).由得Q(2,4).11.已知方程(2)x(1)y2(32)0与点P(2，2).(1)证明：对任意的实数，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；(2)证明：该方程表示的直线与点P的距离d小于4.证明(1)显然2与(1)不可能同时为零，故对任意的实数，该方程都表示直线.方程可变形为2xy6(xy4)0，解得故直线经过的定点为M(2，2).(2)过P作直线的垂线段PQ，由垂线段小于斜线段知PQPM，当且仅当Q与M重合时，PQPM，kPM1，直线与PM垂直，此时对应的直线方程是y2x2，即xy40.但直线系方程唯独不能表示直线xy40，M与Q不可能重合，而PM4，PQ4，故所证成立.12.已知直线l经过直线l1：2xy50与l2：x2y0的交点.(1)若点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值.解(1)易知l不可能为l2，可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2xy5)(x2y)0，即(2)x(12)y50，点A(5,0)到l的距离为3，3，即22520，2或，l的方程为x2或4x3y50.是 否(2)由解得交点P(2,1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则dPA(当lPA时等号成立).dmaxPA.*13.已知三条直线：l1：2xya0(a0)；l2：4x2y10；l3：xy10，且l1与l2间的距离是.(1)求a的值；(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：点P在第一象限；点P到l1的距离是点P到l2的距离的；“碧芝”最吸引人的是那些小巧的珠子、亮片等，都是平日里不常见的。店长梁小姐介绍，店内的饰珠有威尼斯印第安的玻璃珠、秘鲁的陶珠、奥利的施华洛世奇水晶、法国的仿金片、日本的梦幻珠等，五彩缤纷，流光异彩。按照饰珠的质地可分为玻璃、骨质、角质、陶制、水晶、仿金、木制等种类，其造型更是千姿百态：珠型、圆柱型、动物造型、多边形、图腾形象等，美不胜收。全部都是进口的，从几毛钱一个到几十元一个的珠子，做一个成品饰物大约需要几十元，当然，还要决定于你的心意。“碧芝”提倡自己制作：端个特制的盘子到柜台前，按自己的构思选取喜爱的饰珠和配件，再把它们串成成品。这里的饰珠和配件的价格随质地而各有同，所用的线绳价格从几元到一二十元不等，如果让店员帮忙串制，还要收取的手工费。点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是.1、作者：蒋志华 市场调查与预测，中国统计出版社 2002年8月 11-2市场调查分析书面报告若能，求点P的坐标；若不能，说明理由.解(1)直线l2：2xy0，所以两条平行线l1与l2间的距离为d，秘诀：好市口个性经营所以，即，又a0，解得a3.(2)假设存在点P，设点P(x0，y0).若点P满足条件，则点P在与l1，400-500元1326%l2平行的直线l：2xyc0上，且，年轻有活力是我们最大的本钱。我们这个自己动手做的小店，就应该与时尚打交道，要有独特的新颖性，这正是我们年轻女孩的优势。即c或，所以直线l的方程为2x0y00或2x0y00；若点P满足条件，由点到直线的距离公式，1、你一个月的零用钱大约是多少？有，据调查统计在对大学生进行店铺经营风格所考虑的因素问题调查中，发现有50%人选择了价格便宜些，有28%人选择服务热情些，有30%人选择店面装潢有个性，只有14%人选择新颖多样。如图（1-5）所示即|2x0y03|x0y01|，所以x02y040或3x020；由于点P在第一象限，所以3x020不可能.联立方程合计50100%解得(舍去)；服饰 学习用品 食品 休闲娱乐 小饰品联立方程解得所以存在点P同时满足三个条件.精品文档