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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,一、重点与难点,重点：,难点：,留数的计算与留数定理,留数定理在定积分计算上的应用,2,二、内容提要,留数,计算方法,可去奇点,孤立奇点,极点,本性奇点,函数的零点与,极点的关系,留数定理,留数在定积,分上的应用,3,1,）,定义,如果,函数,在,不解析,但,在,的某一去心邻域,内处处解析,则称,为,的孤立奇点,.,1.,孤立奇点的概念与分类,孤立奇点,奇点,2,）,孤立奇点的分类,依据,在其孤立奇点,的去心邻域,内的洛朗级数的情况分为三类,:,i,),可去奇点,;,ii,),极点,;,iii,),本性奇点,.,4,定义,如果洛朗级数中不含,的负幂项,那末,孤立奇点,称为,的可去奇点,.,i,),可去奇点,5,ii,),极点,定义,如果洛朗级数中只有有限多个,的,负幂项,其中关于,的最高幂为,即,级极点,.,那末孤立奇点,称为函数,的,或写成,6,极点的判定方法,在点 的某去心邻域内,其中 在 的邻域内解析,且,的负幂项为有,的洛朗展开式中含有,限项,.,(a),由定义判别,(b),由定义的等价形式判别,(c),利用极限,判断,.,7,如果洛朗级数中含有无穷多个,那末孤立奇点,称为,的本性奇点,.,的负幂项,注意,:,在本性奇点的邻域内,不存在且不,为,iii,),本性奇点,8,i,),零点的定义,不恒等于零的解析函数,如果,能表示成,其中,在,解析且,m,为某一正整数,那末,称为,的,m,级零点,.,3),函数的零点与极点的关系,ii,),零点与极点的关系,如果,是,的,m,级极点,那末,就是,的,m,级零点,.,反过来也成立,.,9,2.,留数,记作,定义,如果,的一个孤立奇点,则沿,内包含,的,任意一条简单闭曲线,C,的积分,的值除,后所得的数称为,以,10,1),留数定理,设函数,在区域,D,内除有限个孤,外处处解析,C,是,D,内包围诸奇,点的一条正向简单闭曲线,那末,立奇点,留数定理将沿封闭曲线,C,积分转化为求被积函数,在,C,内各孤立奇点处的留数,.,11,(1),如果,为,的可去奇点,则,如果 为 的一级极点,那末,a),(2),如果,为,的本性奇点,则需将,成洛朗级数求,展开,(3),如果,为,的极点,则有如下计算规则,2),留数的计算方法,12,c),设,及,在,如果,那末,为一级极点,且有,都解析，,如果 为 的 级极点,那末,b,),13,也可,定义为,记作,1.,定义,设函数,在圆环域,内解析,C,为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线,那末积分,值为,在,的留数,.,的值与,C,无关,则称此定,3),无穷远点的留数,14,如果函数,在扩充复平面内只有有限个,孤立奇点,那末,在所有各奇点,(,包括,点,),的留数的总和必等于零,.,定理,15,3.,留,数在定,积分计算上的应用,1,）三角函数有理式的积分,当,历经变程,时,z,沿单位圆周,的,正方向绕行一周,.,16,17,2,）无穷积分,18,3,）混合型无穷积分,19,特别地,20,三、典型例题,解,21,解,22,23,例,2,求函数 的奇点，并确,定类型,.,解,是奇点,.,是二级极点,;,是三级极点,.,24,例,3,证明 是 的六级极点,.,证,25,例,4,求下列各函数在有限奇点处的留数,.,解,(1),在 内,26,解,27,解,为奇点,当 时 为一级极点，,28,29,例,5,计算积分,为一级极点，为七级极点,.,解,30,由留数定理得,31,例,6,解,在 内,32,33,解,例,7,计算,34,35,例,8,计算,解,令,36,极点为：,37,例,9,计算积分,解,极点为,其中,由留数定理，有,38,39,例,10,计算积分,解,在上半平面内有一级极点,40,放映结束，按,Esc,退出,.,41,
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