数学高二(上)沪教版(平面向量的分解定理与向量的应用)教师版.doc

年 级： 高二 辅导科目： 数学 课时数：3课 题平面向量的分解定理与向量的应用 教学目的1. 了解平面向量基本定理的证明2. 学会用平面内两不共线向量表示平面内任一向量。教学内容【知识梳理】平面向量分解定理：如果是平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使，我们把不平行的向量叫做这一平面内所有向量的一组基。证明唯一性：证明：（1）当时，（2）当时，假设，则有=.由于不平行，故，即.注意：（1）基底不共线；（2）将任一向量在给出基底的条件下进行分解；（3）基底给定时，分解形式唯一，是被，唯一确定的数量。特别：.若，则是三点P、A、B共线的充要条件.注意：起点相同，系数和是1。【典型例题分析】例1、平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且 ，分别用表示和.解： 在平行四边形ABCD中，变式练习：已知是不平行的两个向量，是实数，且，用表示.解： CABDab例2、证明：菱形对角线互相垂直。 证：设= , = ABCD为菱形 | = | O(A)BCD= ( + )( - ) = 2 - 2 = |2 - |2 = 0 证法二：设B(b ,0)，D(d1,d2)，则= (b ,0), = (d1,d2)于是=+= (b ,0) + (d1,d2)= (b +d1 ,d2) =-= (d1 -b ,d2)= (b +d1)(d1 -b ) + d2d2 = (d12 + d22)- b 2 = |2 - b 2 = |2 - b 2 = b 2 - b 2 = 0 说明二种方法进行比较，开拓学生的解题思维，提高能力.例3、对任意非零向量a、b，求证：|a|b|ab|a|+|b|.证明：分三种情况考虑.（1）当a、b共线且方向相同时，|a|b|a+b|=|a|+|b|，|a|b|=|ab|a|+|b|.（2）当a、b共线且方向相反时，ab=a+（b），a+b=a（b），利用（1）的结论有|a|b|a+b|a|+|b|，|a|b|ab|=|a|+|b|.（3）当a，b不共线时，设=a，=b，作=+=a+b，=ab，利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得|a|b|ab|a|+|b|.综上得证.此结论的运用：设，其中，求的最小值。例4、已知平行四边形中,、是对角线、上的两点，且，试用向量方法证明四边形也是平行四边形分析： 由平面向量的基本定理可知向量及用一组基底来唯一表示,要证明四边形是平行四边形,只要证明用相同的基底表示出来的向量及是相同的即可.(分析很重要,突出向量基本定理及基底的作用,使学生对问题的认识在原有的基础上更深入一步)证 设,则,而.所以,四边形为平行四边形.ABCDEFH例5、如图，AD、BE、CF是ABC的三条高，求证：AD、BE、CF相交于一点。证：设BE、CF交于一点H，= a, = b, = h,则= h - a , = h - b , = b - a , 又点D在AH的延长线上，AD、BE、CF相交于一点 变式练习：已知O为ABC所在平面内一点，且满足|2 + |2 = |2 + |2 = |2 + |2，求证：证：设= a, = b, = c,则= c - b, = a - c, = b - a由题设：2 +2 =2 +2 =2 +2，化简：a2 + (c - b)2 = b2 + (a - c)2 = c2 + (b - a)2 得： cb = ac = ba从而= (b - a)c = bc - ac = 0 同理：, 例6、已知向量，是否能以向量为平面内所有向量的一组基底向量？若能，是将用这一基底向量表示出来，若不能，请说明理由。解析：不共线，顾一定能以为平面内的所有向量的基底向量，例7、(1)有一两岸平行的河流，水速为1，小船的速度为，为使所走路程最短，小船应朝_方向行驶.解析：如下图，为使小船所走路程最短，v水+v船应与岸垂直.又v水=1，v船=，ADC=90，CAD=45.答案：与水速成135角的(2) .如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上.ACW=150， BCW=120，求A和B处所受力的大小.（忽略绳子重量）解：设A、B处所受力分别为f1、f2，10 N的重力用f表示，则f1+f2=f.以重力作用点C为f1、f2的始点，作平行四边形CFWE，使CW为对角线，则=f1，=f2，=f，则ECW=180150=30，FCW=180120=60，FCE=90.四边形CEWF为矩形.|=|cos30=10=5，=|cos60=10=5.A处受力为5 N，B处受力为5 N.例8、已知平面向量 证明：； 若存在不同时为零的实数和，使，且，试求函数关系式； 根据（2）的结论，确定函数的单调区间。解、（1）所以（2）（3）递增区间、（，递减区间（1,0）、（0，1）变式练习：已知M(1+cos2x，1)，N(1，sin2x+a)(x，aR，a是常数)，且y= (O是坐标原点)求y关于x的函数关系式y=f(x)；若x0，f(x)的最大值为4，求a的值，并说明此时f(x)的图象可由y=2sin(x+)的图象经过怎样的变换而得到解：y=1+cos2x+sin2x+a，得f(x) =1+cos2x+sin2x+a；f(x) =1+cos2x+sin2x+a化简得f(x) =2sin(2x+)+a+1，x0，。当x时，f(x)取最大值a34，解得a1，f(x) =2sin(2x+)+2。将y=2sin(x+)的图象的每一点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标保持不变，再向上平移2个单位长度可得f(x) =2sin(2x+)+2的图象。【课堂小练】1、判断下列各题正确与否： 1若a = 0，则对任一向量b，有ab = 0。 ( ) 2若a 0，则对任一非零向量b，有ab 0。 ( ) 3若a 0，ab = 0，则b = 0。 ( ) 4若ab = 0，则a 、b至少有一个为零。 ( ) 5若a 0，ab = ac，则b = c。 ( ) 6若ab = ac，则b = c当且仅当a 0时成立。 ( ) 7对任意向量a、b、c，有(ab)c a(bc)。 ( ) 8对任意向量a，有a2 = |a|2。 ( )2、下列各组向量中，能成为平面内的一组基地向量的是 ( A )A、 B、 C、 D、3、已知：|a| =，|b| = 3，a与b夹角为45，求使a+b与a+b夹角为锐角的的取值范围。 解：由题设：ab = |a|b|cosa = 3= 3 (a+b)(a+b) =|a|2 +|b|2 + (2 + 1)ab = 32 + 11 + 3 夹角为锐角 必得32 + 11 + 3 0 或4、i、j是平面直角坐标系内x轴、y轴正方向上的两个单位向量，且= 4i + 2j，=3i + 4j， 证明：ABC是直角三角形，并求它的面积。 解：= (4, 2), = (3, 4), 则= (3-4, 4-2) = (-1, 2), = (-4, -2), = (-1)(-4) + (-2)2 = 0 即ABC是直角三角形 | =, | =, 且B = 90, SABC = 5、已知a、b都是非零向量，且a + 3b与7a - 5b垂直， a - 4b与7a - 2b垂直，求a与b的夹角。 解：由(a + 3b)(7a - 5b) = 0 7a2 + 16ab -15b2 = 0 (a - 4b)(7a - 2b) = 0 7a2 - 30ab + 8b2 = 0 两式相减：2ab = b2 代入或得：a2 = b2 设a、b的夹角为q，则cosq = q = 606、a、b为非零向量，当a + tb(tR)的模取最小值时， 1求t的值 2求证：b与a + tb垂直 解：1 |a + tb|2 = |a|2 + t2|b|2 + 2t|a|b| 当t =时, |a + tb|最小 2 b(a + tb) = ab - = 0 b与a + tb垂直【课后练习】1、若O是ABC内一点，+=0，则O是ABC的A.内心B.外心C.垂心D.重心解析：以、为邻边作平行四边形OBDC，则=+.又+=0，+=.=.O为AD的中点，且A、O、D共线.又E为OD的中点，O是中线AE的三等分点，且OA=AE.O是ABC的重心.答案：D2、如图，正六边形中，有下列四个命题：ABCD其中真命题的代号是 A B D （写出所有真命题的代号）3、如图，在中，是边的中点，则_4、如图，ABC的BC边的中点为M，利用向量证明：AB2+AC2=2（AM2+BM2）. 证明：设=m，=b，=c，则m=，mm=b2+bc+c2=AB2+AC2+ABACcosBAC=AB2+AC2+ABAC=AB2+AC2+（AB2+AC2BC2）.AM2=AB2+AC2BC2.又BC2=4BM2，AB2+AC2=2（AM2+BM2）.向量章节测试一、选择题1已知,则是三点构成三角形的（）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件2已知向量，且，则的坐标是 （ ）A. B. C. D. 3，则与的夹角是 （）A. B. C. D. 4在平行四边形中，若，则必有 ( ) A. B. C. 是矩形 D. 是正方形5已知，与的夹角为，则等于 （ ）A. 1B.C. D.16已知下列各式：（1）；（2）；（3）；（4），其中正确的有 （ ）A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个7若 （ ） A. B. C. D. 8已知，则的取值范围是 （ ）A. 3，8 B. （3，8） C. 3，13 D. （3，13）9已知，则等于 （ ）A. 23 B. 35 C. D. 10设，则C、D的坐标分别是 （ ） A. B. C. D. 11已知向量且,则=（ ）.A B. C. D. 12已知向量（ ）A30B60C120D15013若，且，则向量与的夹角为( ) A.30 B.60 C.120 D.15014若三点共线，则 （ ）A. B. 3 C. D. 5115已知、均为单位向量，它们的夹角为60，那么 =（ ）. A BC D416已知分别是的边上的中线,且,则为 （ ）A. B. C. D. 二、填空题17若的方向相反，且18化简：（1）_。（2）_。（3）_。19已知向量，且A、B、C三点共线，则k= 20分别是的边的中点，且给出下列命题 其中正确的序号是_。21已知不共线，当_时，共线。22若向量与垂直，与垂直，则非零向量与的夹角是 _.23已知平面上三点A、B、C满足 则的值等于 . 24已知如果与的夹角是钝角，则的取值范围是_。三、解答题25如图，是以向量为边的平行四边形，又，试用表示。 26已知向量，求的值.27已知平面向量 证明：； 若存在不同时为零的实数和，使，且，试求函数关系式；28已知向量.求函数f(x)的最大值，最小正周期，并写出f(x)在0，上的单调区间.参考解答一、选择题15 BABCA 610 BBCCA 1115 ACCBC 16 B二、填空题17. 18. (1) (2) (3) 19. k= 20. 21. 22. 23. 25 24. 或且三、解答题25，26解法一： 由已知，得 又 所以 解法二： 由已知，得 27（1）易证，从略（2）28解： =.