数学高二(上)沪教版(平面向量的分解定理与向量的应用)教师版.doc

年 级： 高二 辅导科目： 数学 课时数：3
课 题
平面向量的分解定理与向量的应用
教学目的
1. 了解平面向量基本定理的证明
2. 学会用平面内两不共线向量表示平面内任一向量。
教学内容
【知识梳理】　　
平面向量分解定理：
如果是平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使，我们把不平行的向量叫做这一平面内所有向量的一组基。

证明唯一性：
证明：（1）当时，
（2）当时，假设，则有
=
.由于不平行，故，即.

注意：（1）基底不共线；
（2）将任一向量在给出基底的条件下进行分解；
（3）基底给定时，分解形式唯一，是被，唯一确定的数量。
特别：.若＝，则是三点P、A、B共线的充要条件.
注意：起点相同，系数和是1。

【典型例题分析】
例1、平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且 ，分别用表示和.

解： 在平行四边形ABCD中，

，
变式练习：已知是不平行的两个向量，是实数，且，用表示.
解：

C
A
B
D
a
b

例2、证明：菱形对角线互相垂直。
证：设== , ==
∵ABCD为菱形
∴|| = ||
O
(A)
B
C
D
∴×= ( + )( - ) = 2 - 2 = ||2 - ||2 = 0 ∴^
证法二：设B(b ,0)，D(d1,d2)，
则= (b ,0), = (d1,d2)

于是=+= (b ,0) + (d1,d2)= (b +d1 ,d2)
=-= (d1 -b ,d2)
∵•= (b +d1)(d1 -b ) + d2d2 = (d12 + d22)- b 2
= ||2 - b 2 = ||2 - b 2 = b 2 - b 2 = 0
∴^
[说明]二种方法进行比较，开拓学生的解题思维，提高能力.

例3、对任意非零向量a、b，求证：|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.
证明：分三种情况考虑.
（1）当a、b共线且方向相同时，|a|－|b|＜|a+b|=|a|+|b|，|a|－|b|=|a－b|＜|a|+|b|.
（2）当a、b共线且方向相反时，∵a－b=a+（－b），a+b=a－（－b），利用（1）的结论有||a|－|b||＜|a+b|＜|a|+|b|，|a|－|b|＜|a－b|=|a|+|b|.
（3）当a，b不共线时，设=a，=b，作=+=a+b，=－=a－b，利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得||a|－|b||＜|a±b|＜|a|+|b|.
综上得证.
此结论的运用：
设，其中，求的最小值。
例4、已知平行四边形中,、是对角线、上的两点，且，试用向量方法证明四边形也是平行四边形
分析： 由平面向量的基本定理可知向量及用一组基底来唯一表示,要证明四边形是平行四边形,只要证明用相同的基底表示出来的向量及是相同的即可.(分析很重要,突出向量基本定理及基底的作用,使学生对问题的认识在原有的基础上更深入一步)

　　证 设, 则
　　　　,
　　　　而.
　　　　所以,四边形为平行四边形.
A
B
C
D
E
F
H
例5、如图，AD、BE、CF是△ABC的三条高，求证：AD、BE、CF相交于一点。
证：设BE、CF交于一点H，= a, = b, = h,
则= h - a , = h - b , = b - a ∵^, ^
∴
∴^又∵点D在AH的延长线上，∴AD、BE、CF相交于一点
变式练习：已知O为△ABC所在平面内一点，且满足||2 + ||2 = ||2 + ||2 = ||2 + ||2，
求证：^
证：设= a, = b, = c,则= c - b, = a - c, = b - a
由题设：2 +2 =2 +2 =2 +2，化简：a2 + (c - b)2 = b2 + (a - c)2 = c2 + (b - a)2
得： c•b = a•c = b•a从而•= (b - a)•c = b•c - a•c = 0
∴^ 同理：^, ^
例6、已知向量，是否能以向量为平面内所有向量的一组基底向量？若能，是将用这一基底向量表示出来，若不能，请说明理由。
解析：不共线，顾一定能以为平面内的所有向量的基底向量，
例7、(1)有一两岸平行的河流，水速为1，小船的速度为，为使所走路程最短，小船应朝_______方向行驶.
解析：如下图，为使小船所走路程最短，v水+v船应与岸垂直.又v水==1，v船==，∠ADC=90°，∴∠CAD=45°.

答案：与水速成135°角的
(2) .如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上.∠ACW=150°， ∠BCW=120°，求A和B处所受力的大小.（忽略绳子重量）

解：设A、B处所受力分别为f1、f2，10 N的重力用f表示，则f1+f2=f.以重力作用点C为f1、f2的始点，作平行四边形CFWE，使CW为对角线，则=f1，=f2，=f，则∠ECW=180°－150°=30°，
∠FCW=180°－120°=60°，∠FCE=90°.
∴四边形CEWF为矩形.
∴||=||cos30°=10·=5，
｜｜=||cos60°=10×=5.
∴A处受力为5 N，B处受力为5 N.
例8、已知平面向量
① 证明：；
② 若存在不同时为零的实数和，使，且，试求函数关系式；
③ 根据（2）的结论，确定函数的单调区间。
解、（1）所以　　（2）　　（3）递增区间、（－，递减区间（－1,0）、（0，1）
变式练习：已知M＝(1+cos2x，1)，N＝(1，sin2x+a)(x，a∈R，a是常数)，且y=· (O是坐标原点)
⑴求y关于x的函数关系式y=f(x)；
⑵若x∈[0，]，f(x)的最大值为4，求a的值，并说明此时f(x)的图象可由y=2sin(x+)的图象经过怎样的变换而得到．
解：⑴y=·＝1+cos2x+sin2x+a，得f(x) =1+cos2x+sin2x+a；
⑵f(x) =1+cos2x+sin2x+a化简得f(x) =2sin(2x+)+a+1，x∈[0，]。
当x＝时，f(x)取最大值a＋3＝4，解得a＝1，f(x) =2sin(2x+)+2。
将y=2sin(x+)的图象的每一点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标保持不变，再向上平移2个单位长度可得f(x) =2sin(2x+)+2的图象。

【课堂小练】
1、判断下列各题正确与否：
1°若a = 0，则对任一向量b，有a×b = 0。 ( √ )
2°若a ¹ 0，则对任一非零向量b，有a×b ¹ 0。 ( × )
3°若a ¹ 0，a×b = 0，则b = 0。 ( × )
4°若a×b = 0，则a 、b至少有一个为零。 ( × )
5°若a ¹ 0，a×b = a×c，则b = c。 ( × )
6°若a×b = a×c，则b = c当且仅当a ¹ 0时成立。 ( × )
7°对任意向量a、b、c，有(a×b)×c ¹ a×(b×c)。 ( × )
8°对任意向量a，有a2 = |a|2。 ( √ )
2、下列各组向量中，能成为平面内的一组基地向量的是 ( A )
A、 B、 C、 D、
3、已知：|a| =，|b| = 3，a与b夹角为45°，求使a+b与a+b夹角为锐角的的取值范围。
解：由题设：a×b = |a||b|cosa = 3××= 3
(a+b)×(a+b) =|a|2 +|b|2 + (2 + 1)a×b = 32 + 11 + 3
∵夹角为锐角 ∴必得32 + 11 + 3 > 0
∴ 或
4、i、j是平面直角坐标系内x轴、y轴正方向上的两个单位向量，且= 4i + 2j，=3i + 4j，
证明：△ABC是直角三角形，并求它的面积。
解：= (4, 2), = (3, 4), 则= (3-4, 4-2) = (-1, 2), = (-4, -2),
∴×= (-1)×(-4) + (-2)×2 = 0 ∴^
即△ABC是直角三角形
|| =, || =, 且ÐB = 90°,
∴S△ABC =
5、已知a、b都是非零向量，且a + 3b与7a - 5b垂直，
a - 4b与7a - 2b垂直，求a与b的夹角。
解：由(a + 3b)(7a - 5b) = 0 Þ 7a2 + 16a×b -15b2 = 0 ①
(a - 4b)(7a - 2b) = 0 Þ 7a2 - 30a×b + 8b2 = 0 ②
两式相减：2a×b = b2
代入①或②得：a2 = b2
设a、b的夹角为q，则cosq = ∴q = 60°
6、a、b为非零向量，当a + tb(tÎR)的模取最小值时，
1°求t的值 2°求证：b与a + tb垂直
解：1° |a + tb|2 = |a|2 + t2|b|2 + 2t|a||b|
∴当t =时, |a + tb|最小
2° ∵b•(a + tb) = a•b - = 0 ∴b与a + tb垂直
【课后练习】
1、若O是△ABC内一点，++=0，则O是△ABC的
A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心
解析：以、为邻边作平行四边形OBDC，则=+.

又++=0，
∴+=－.
∴－=.∴O为AD的中点，且A、O、D共线.
又E为OD的中点，∴O是中线AE的三等分点，且OA=AE.
∴O是△ABC的重心.
答案：D
2、如图，正六边形中，有下列四个命题：
A．
B．
C．
D．
其中真命题的代号是 A B D （写出所有真命题的代号）．
3、如图，在中，，，是边的中点，则____．
4、如图，△ABC的BC边的中点为M，利用向量证明：AB2+AC2=2（AM2+BM2）.

证明：设=m，=b，=c，则m=，m·m=·
=b2+b·c+c2
=AB2+AC2+AB·AC·cos∠BAC
=AB2+AC2+AB·AC·
=AB2+AC2+（AB2+AC2－BC2）.
∴AM2=AB2+AC2－BC2.
又∵BC2=4BM2，
∴AB2+AC2=2（AM2+BM2）.
向量章节测试
一、选择题
1．已知,则是三点构成三角形的　　　（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件
2．已知向量，且，则的坐标是 （ ）
A. B. C. D.
3．，则与的夹角是 （　　）
A. 　 B. 　 C. 　 D.
4．在平行四边形中，若，则必有 ( )
A. B. C. 是矩形 D. 是正方形
5．已知，与的夹角为，则等于 （ ）
A. 1　　　　B.　２　　　　　C.　 　 D.－1
6．已知下列各式：（1）；（2）；（3）；（4），其中正确的有 （ ）
A.　1个 B. 2个 　C. 3个 　D. 4个
7．若 （ ）
A. B. C. D.
8．已知，则的取值范围是 （ ）
A. [3，8] B. （3，8） C. [3，13] D. （3，13）
9．已知，则等于 （ ）
A. 23 B. 35 C. D.
10．设，则C、D的坐标分别是 （ ）
A. B. C. D.
11．已知向量且,则=（ ）.
A． B. C. D.
12．已知向量 （ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
13．若，且，则向量与的夹角为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
14．若三点共线，则 （ ）
A. B. 3 C. D. 51
15．已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么 =（ ）.
A． B． C． D．4
16．已知分别是的边上的中线,且,则为 （ ）
A. B. C. D.
二、填空题
17．若的方向相反，且
18．化简：
（1）_____________。
（2）______________。
（3）______________。
19．已知向量，且A、B、C三点共线，则k=
20．分别是的边的中点，且给出下列命题
① ② ③ ④
其中正确的序号是_________。
21．已知不共线，，当______时，共线。
22．若向量与垂直，与垂直，则非零向量与的夹角是 ______..
23．已知平面上三点A、B、C满足 则的值等于 .
24．已知如果与的夹角是钝角，则的取值范围是________________。
三、解答题

25．如图，是以向量为边的平行四边形，又，试用表示。

26．已知向量，
求的值.
27．已知平面向量
④ 证明：；
⑤ 若存在不同时为零的实数和，使，且，试求函数关系式；

28．已知向量.
求函数f(x)的最大值，最小正周期，并写出f(x)在[0，π]上的单调区间.

参考解答
一、选择题
1－5 BABCA 6－10 BBCCA 11－15 ACCBC 16 B
二、填空题
17. 18. (1) 　 (2) 　　 (3) 19. k= 20. ①②③④
21. 22. 23. －25 24. 或且
三、解答题
25．，，　　
26．解法一：

由已知，得
又
所以

解法二：

由已知，得

27．（1）易证，从略　　（2）
28．解：

=.