人教版高一数学(上)必修1+必修2综合期末复习试题(解析版).docx

人教版高一数学(上)必修1+必修2综合期末复习试题(解析版)
人教版高一数学(上)必修1+必修2综合期末复习试题(解析版)

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第21页（共21页）

高一（上)期末数学试卷

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设全集U=｛1,2，3,4,5｝,集合A={1，2}，B={2,3｝，则A∩CUB（　　)
A．{1,2} B．｛3,4｝ C．{1｝ D．｛2｝
2．函数的定义域是（　　)
A．（﹣∞，﹣1） B．（1，+∞) C．（﹣1，1）∪（1,+∞） D．（﹣∞,+∞）
3．若a＞0且a≠1,那么函数y=ax与y=logax的图象关于（　　）
A．原点对称 B．直线y=x对称 C．x轴对称 D．y轴对称
4．若直线ax+2y+a﹣1=0与直线2x+3y﹣4=0垂直，则a的值为（　　)
A．3 B．﹣3 C． D．
5．直线a、b和平面α,下面推论错误的是（　　）
A．若a⊥α，b⊂α，则a⊥b B．若a⊥α,a∥b，则b⊥α
C．若a⊥b，b⊥α，则a∥α或a⊂α D．若a∥α,b⊂α，则a∥b
6．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中与AD1垂直的平面是（　　）
A．平面DD1C1C B．平面A1DB C．平面A1B1C1D1 D．平面A1DB1
7．已知函数f(2x)=log3（8x2+7),那么f（1）等于(　　）
A．2 B．log339 C．1 D．log315
8．如图,点P、Q分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的面对角线AD1、BD的中点，则异面直线PQ和BC1所成的角为(　　）

A．30° B．45° C．60° D．90°
9．将棱长为2的正方体木块切削成一个体积最大的球,则该球的体积为（　　）
A． B． C． D．
10．已知函数f（x）的图象如图:则满足f（2x）•f(lg（x2﹣6x+120））≤0的x的取值范围是（　　）

A．(﹣∞,1］ B．［1，+∞) C．［0,+∞） D．（﹣∞，2]
11．若定义在R上的函数f（x)满足：对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f(x1）+f（x2）+1,则下列说法一定正确的是（　　）
A．f(x）为奇函数 B．f（x）为偶函数 C．f（x)+1为奇函数 D．f（x)+1为偶函数
12．设方程5﹣x=｜lgx|的两个根分别为x1，x2，则（　　）
A．x1x2＜0 B．x1x2=1 C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜1

二、填空题(每题5分,满分20分，将答案填在答题纸上)
13．计算：log3+lg25+lg4+﹣=　　．
14．一几何体的三视图，如图，它的体积为　　．

15．已知直线l：kx﹣y+1﹣2k=0(k∈R）过定点P，则点P的坐标为　　．
16．已知f（x）=，g（x）=x2﹣4x﹣4,若f（a)+g（b）=0，则b的取值范围为　　．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知三角形三顶点A（4,0），B（8，10），C(0，6），
求：（1）过A点且平行与BC的直线方程；
（2）AC边上的高所在的直线方程．
18．已知函数f（x）=2x2﹣4x+a,g(x)=logax(a＞0且a≠1)．
（Ⅰ)若函数f（x）在[﹣1，2m]上不具有单调性,求实数m的取值范围；
(Ⅱ）若f（1）=g（1）．
(ⅰ）求实数a的值；
（ⅱ)设，t2=g(x)，，当x∈（0，1）时，试比较t1,t2，t3的大小．
19．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形,PA⊥平面ABCD，点F为PC的中点．
(1）求证：PA∥平面BDF；
(2)求证：PC⊥BD．

20．函数f(x）=ax﹣（k﹣1)a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．
（1）求k的值；
（2）若f（1）＜0，试分析判断y=f（x）的单调性（不需证明),并求使不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0恒成立的t的取值范围．
21．在三棱锥S﹣ABC中,∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=1,BC=．
（1）证明：面SBC⊥面SAC；
（2）求点A到平面SCB的距离；
（3）求二面角A﹣SB﹣C的平面角的正弦值．

22．已知函数g(x）=mx2﹣2mx+1+n，（n≥0）在［1,2]上有最大值1和最小值0．设f(x）=．（其中e为自然对数的底数）
（1）求m，n的值；
（2）若不等式f（log2x）﹣2klog2x≥0在x∈[2，4]上有解，求实数k的取值范围；
（3）若方程f（|ex﹣1｜）+﹣3k=0有三个不同的实数解,求实数k的取值范围．

高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设全集U={1，2,3,4，5}，集合A={1，2}，B={2，3}，则A∩CUB(　　）
A．{1，2｝ B．｛3，4} C．{1} D．｛2}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】已知集合A={1,2｝，B={2，3},根据补集的定义，求出CUB,再根据交集的定义，求出A∩CUB;
【解答】解:∵全集U=｛1，2，3,4，5}，集合A=｛1，2}，B={2，3}，
∴CUB=｛1，4，5}，
∴A∩CUB=｛1｝,
故选C；

2．函数的定义域是（　　)
A．(﹣∞，﹣1) B．（1，+∞） C．（﹣1,1）∪(1，+∞） D．（﹣∞，+∞)
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】根据分母不是0，以及对数函数的性质得到关于x的不等式组，解出即可．
【解答】解:由题意得：，
解得：x＞﹣1或x≠1,
故函数的定义域是（﹣1，1）∪（1，+∞），
故选：C．

3．若a＞0且a≠1，那么函数y=ax与y=logax的图象关于(　　）
A．原点对称 B．直线y=x对称 C．x轴对称 D．y轴对称
【考点】反函数．
【分析】利用互为反函数的图象关于直线y=x对称即可得出．
【解答】解：∵a＞0且a≠1，那么函数y=ax与y=logax互为反函数，因此其图象关于直线y=x对称．
故选:B．

4．若直线ax+2y+a﹣1=0与直线2x+3y﹣4=0垂直，则a的值为(　　）
A．3 B．﹣3 C． D．
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【分析】利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出．
【解答】解：∵直线ax+2y+a﹣1=0与直线2x+3y﹣4=0垂直,∴，解得a=﹣3．
故选:B．

5．直线a、b和平面α，下面推论错误的是（　　）
A．若a⊥α，b⊂α，则a⊥b B．若a⊥α,a∥b，则b⊥α
C．若a⊥b，b⊥α,则a∥α或a⊂α D．若a∥α，b⊂α，则a∥b
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】A，由线面垂直的性质定理可判断；
B，由线面垂直的判定定理可判断；
C,由线面、线线垂直的判定定理可判断;
D,若a∥α，b⊂α，则a∥b或异面
【解答】解：对于A,若a⊥α,b⊂α,则a⊥b，由线面垂直的性质定理可判断A正确;
对于B，若a⊥α，a∥b，则b⊥α,由线面垂直的判定定理可判断B正确；
对于C，若a⊥b，b⊥α，则a∥α或a⊂α，由线面、线线垂直的判定定理可判断C正确
对于D，若a∥α，b⊂α,则a∥b或异面，故D错；
故选：D．

6．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中与AD1垂直的平面是（　　)
A．平面DD1C1C B．平面A1DB C．平面A1B1C1D1 D．平面A1DB1
【考点】直线与平面垂直的判定．
【分析】由AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，得到AD1⊥平面A1DB1．
【解答】解：正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
在A中,AD1与平面DD1C1C相交但不垂直，故A错误；
在B中,AD1与平面A1DB相交但不垂直，故B错误;
在C中，AD1与平面A1B1C1D1相交但不垂直，故C错误；
在D中，AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1,A1D∩A1B1=A1，
∴AD1⊥平面A1DB1，故D正确．
故选：D．

7．已知函数f（2x）=log3(8x2+7），那么f（1）等于(　　）
A．2 B．log339 C．1 D．log315
【考点】函数的值；函数解析式的求解及常用方法．
【分析】先由2x=1,解得x=，然后求f（1)的值．
【解答】解:因为函数f（2x）=log3（8x2+7），
所以f(1）=f（2×）=log3（8×（）2+7)=log39=2．
所以f(1）=2．
故选A．

8．如图，点P、Q分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的面对角线AD1、BD的中点，则异面直线PQ和BC1所成的角为(　　）

A．30° B．45° C．60° D．90°
【考点】异面直线及其所成的角．
【分析】如图所示,连接D1C，则PQ∥D1C，A1B∥D1C．则∠A1BC1是异面直线PQ和BC1所成的角．
【解答】解:如图所示，
连接D1C，则PQ∥D1C．
连接A1C1,A1B，则△A1C1B是等边三角形，A1B∥D1C．
则∠A1BC1是异面直线PQ和BC1所成的角，为60°．
故选：C．

9．将棱长为2的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为(　　）
A． B． C． D．
【考点】球内接多面体．
【分析】根据已知中，将棱长为2的正方体木块切削成一个体积最大的球,结合正方体和圆的结构特征，就是正方体的内切球，我们可以求出球的半径，代入球的体积公式即可求出答案．
【解答】解：将棱长为2的正方体木块切削成一个体积最大的球时，
球的直径等于正方体的棱长2,
则球的半径R=1，
则球的体积V=•π•R3=
故选A．

10．已知函数f（x）的图象如图:则满足f（2x）•f（lg(x2﹣6x+120））≤0的x的取值范围是（　　）

A．（﹣∞，1] B．［1，+∞） C．[0，+∞) D．（﹣∞，2]
【考点】函数的图象．
【分析】由x2﹣6x+120＞100，可得lg(x2﹣6x+120））＞2，即f(lg（x2﹣6x+120)）＜0，故有f（2x)≥0，2x ≤2，由此求得 x的范围．
【解答】解：由f（x）的图象可得，f(x)≤0，等价于x≥2；,f（x)≥0，等价于x≤2．
∵f（2x)•f（lg（x2﹣6x+120)）≤0，∵x2﹣6x+120=（x﹣3）2+111＞100，
∴lg（x2﹣6x+120）)＞2,∴f（lg（x2﹣6x+120））＜0，
∴f(2x）≥0，2x ≤2，∴x≤1，
故选：A．

11．若定义在R上的函数f（x)满足：对任意x1，x2∈R有f(x1+x2）=f（x1）+f（x2)+1，则下列说法一定正确的是（　　)
A．f（x)为奇函数 B．f(x）为偶函数 C．f（x）+1为奇函数 D．f（x）+1为偶函数
【考点】函数奇偶性的判断．
【分析】对任意x1，x2∈R有f(x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1,考察四个选项,本题要研究函数的奇偶性，故对所给的x1，x2∈R有f(x1+x2）=f（x1)+f(x2）+1进行赋值研究即可
【解答】解：∵对任意x1，x2∈R有
f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，
∴令x1=x2=0，得f（0）=﹣1
∴令x1=x，x2=﹣x，得f（0）=f(x）+f（﹣x）+1，
∴f（x）+1=﹣f（﹣x）﹣1=﹣[f（﹣x）+1］，
∴f（x)+1为奇函数．
故选C

12．设方程5﹣x=｜lgx|的两个根分别为x1，x2，则（　　）
A．x1x2＜0 B．x1x2=1 C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜1
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】构造f(x)=5﹣x，g（x）=｜lgx｜,画出图象，判断两个函数零点位置,利用根的存在性定理得出即可．
【解答】解：f（x）=5﹣x，g（x)=｜lgx|的图象为:
5﹣x2﹣（5﹣x1）=lgx1+lgx2=lg（x1x2）
lg（x1x2）=x1﹣x2＜0，x1x2∈（0，1），
∴0＜x1x2＜1
故选：D．

二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．计算：log3+lg25+lg4+﹣=　4　．
【考点】对数的运算性质．
【分析】利用对数和指数的运算性质即可得出．
【解答】解:原式=+lg（25×4）+2﹣
=
=4．
故答案为：4．

14．一几何体的三视图，如图，它的体积为　　．

【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】三视图复原的几何体是放倒的四棱柱，底面是直角梯形，根据三视图的数据,求出几何体的体积．
【解答】解：三视图复原的几何体是放倒的四棱柱，底面是直角梯形,侧棱垂直底面,
所以几何体的体积是：SH==
故答案为:

15．已知直线l：kx﹣y+1﹣2k=0（k∈R）过定点P,则点P的坐标为　（2，﹣1)　．
【考点】恒过定点的直线．
【分析】kx﹣y﹣2k﹣1=0，化为y+1=k（x﹣2）,即可得出直线经过的定点．
【解答】解：kx﹣y﹣2k﹣1=0，化为y+1=k(x﹣2），
∵k∈R，∴,解得．
∴点P的坐标为(2，﹣1)．
故答案为（2，﹣1）．

16．已知f（x）=，g（x）=x2﹣4x﹣4,若f（a）+g（b)=0,则b的取值范围为　［﹣1，5］　．
【考点】分段函数的应用．
【分析】根据函数的单调性求出f（x）的值域，从而得到g(b)的取值范围，解一元二次不等式即可．
【解答】解：当x时，f（x）=ln（x+1)递增，可得f（x)≥﹣ln2；
当x＜﹣,即﹣2＜＜0时，f（x)=+=(+1）2﹣1∈［﹣1，0），
则f（x） 的值域为[﹣1，+∞），
由f(a）+g（b）=0，
可得g（b）=﹣f（a），
即b2﹣4b﹣4≤1，
解得﹣1≤b≤5，
即b的取值范围为［﹣1，5］．
故答案为［﹣1，5]．

三、解答题（本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17．已知三角形三顶点A（4，0），B（8,10），C(0，6），
求：（1）过A点且平行与BC的直线方程；
(2)AC边上的高所在的直线方程．
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系;直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【分析】（1）利用相互平行的直线斜率之间的关系即可得出．
（2）利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出．
【解答】解：（1)∵kBC=，∴与BC的直线的斜率k=．
故所求的直线为y﹣0=（x﹣4），化为x﹣y﹣4=0．
(2)∵kAC=,
∴AC边上的高所在的直线的斜率k=．
∴AC边上的高所在的直线方程为,
化为2x﹣3y﹣8=0．

18．已知函数f（x）=2x2﹣4x+a，g（x）=logax（a＞0且a≠1)．
(Ⅰ）若函数f(x）在[﹣1，2m］上不具有单调性，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若f（1）=g（1)．
(ⅰ）求实数a的值；
（ⅱ）设，t2=g(x),，当x∈（0，1）时，试比较t1，t2,t3的大小．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】（Ⅰ)可得抛物线的对称轴为x=1，由题意可得﹣1＜1＜2m；
（Ⅱ)（i）由题意可得f(1)=0,即﹣2+a=0;（ii）当x∈（0，1）时，易求t1,t2,t3的取值范围，由范围可得大小关系；
【解答】解：(Ⅰ）∵抛物线y=2x2﹣4x+a开口向上,对称轴为x=1，
∴函数f（x）在（﹣∞，1]单调递减,在[1，+∞）单调递增,
∵函数f（x)在［﹣1，2m]上不单调，
∴2m＞1，得，
∴实数m的取值范围为;
（Ⅱ）（ⅰ）∵f(1）=g（1）,
∴﹣2+a=0，
∴实数a的值为2．
（ⅱ）∵，t2=g(x）=log2x，,
∴当x∈（0，1）时，t1∈（0，1），t2∈（﹣∞,0），t3∈(1，2）,
∴t2＜t1＜t3．

19．如图,已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，点F为PC的中点．
（1)求证：PA∥平面BDF；
（2)求证:PC⊥BD．

【考点】直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】（1）设BD与AC交于点O,利用三角形的中位线性质可得OF∥PA,从而证明PA∥平面BDF．
（2）由 PA⊥平面ABCD 得PA⊥BD,依据菱形的性质可得 BD⊥AC，从而证得 BD⊥平面PAC，进而PC⊥BD．
【解答】证明:(1）连接AC，BD与AC交于点O,连接OF．
∵ABCD是菱形，
∴O是AC的中点．
∵点F为PC的中点,
∴OF∥PA．
∵OF⊂平面BDF,PA⊄平面BDF,
∴PA∥平面BDF．
(2）∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BD．
又∵底面ABCD是菱形，
∴BD⊥AC．
又PA∩AC=A，PA,AC⊂平面PAC，
∴BD⊥平面PAC．
又∵PC⊂平面PAC，
∴PC⊥BD

20．函数f(x）=ax﹣(k﹣1)a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．
(1）求k的值；
（2)若f（1）＜0，试分析判断y=f（x)的单调性（不需证明），并求使不等式f（x2+tx）+f（4﹣x)＜0恒成立的t的取值范围．
【考点】函数恒成立问题．
【分析】（1）利用奇函数的性质，f（0）=0，求解k即可．
(2）判断函数的单调性，利用函数的单调性，转化不等式利用函数恒成立，通过判别式求解即可．
【解答】解：(1）∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f(0）=0,∴1﹣（k﹣1）=0，∴k=2．
（2）f（x）=ax﹣（k﹣1)a﹣x(a＞0且a≠1）,∵f(1）＜0，∴，又a＞0且a≠1,∴0＜a＜1，
∵y=ax单减，y=a﹣x单增，故f（x)在R上单减，
故不等式化为f（x2+tx）＜f(x﹣4),∴x2+tx＞x﹣4,即x2+（t﹣1）x+4＞0恒成立,
∴△=(t﹣1）2﹣16＜0,
解得﹣3＜t＜5．

21．在三棱锥S﹣ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°,AC=1，BC=．
（1）证明：面SBC⊥面SAC;
(2）求点A到平面SCB的距离；
（3）求二面角A﹣SB﹣C的平面角的正弦值．

【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．
【分析】（1)利用SA⊥AB，SA⊥AC，推出SA⊥平面ABC，得到BC⊥SA,结合BC⊥AC，证明BC⊥面SAC，然后说明面SBC⊥面SAC．
（2)过点A作AE⊥SC交SC于点E，推出AE为点A到平面SCB的距离，然后在RT△SAC中，求解即可．
（3）过点C作CM⊥AB交AB于点M,过点M作MN⊥SB交SB于点N，说明∠CMN为所求二面角的平面角，在RT△ABC中,求解CM,在RT△SBC中，求解CN，然后求解二面角A﹣SB﹣C的平面角的正弦值．
【解答】（1)证明:∵SA⊥AB，SA⊥AC,且AB∩AC=A，∴SA⊥平面ABC，
∵BC⊂面ABC，∴BC⊥SA，
∵BC⊥AC，AC∩AS=A，∴BC⊥面SAC,∴面SBC⊥面SAC．
（2)解：过点A作AE⊥SC交SC于点E,
∵面SBC⊥面SAC，且面SBC∩面SAC=SC,
∴AE⊥面SBC，即AE为点A到平面SCB的距离，
在RT△SAC中，，即点A到平面SCB的距离为．

（3)解：过点C作CM⊥AB交AB于点M，过点M作MN⊥SB交SB于点N，
∵SA⊥平面ABC，∴面SAB⊥面ABC，∴CM⊥面SAB,
∴CM⊥SB，MN∩CM=M，∴SB⊥面CMN，
∴∠CMN为所求二面角的平面角，
在RT△ABC中，，在RT△SBC中,,
在RT△CMN中,．
即二面角A﹣SB﹣C的平面角的正弦值．

22．已知函数g（x）=mx2﹣2mx+1+n,（n≥0）在［1，2］上有最大值1和最小值0．设f（x）=．（其中e为自然对数的底数）
(1)求m，n的值；
（2)若不等式f(log2x）﹣2klog2x≥0在x∈［2，4］上有解，求实数k的取值范围；
（3）若方程f（｜ex﹣1|）+﹣3k=0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．
【考点】二次函数的性质．
【分析】(1）配方可得g（x）=m(x﹣1）2+1+n﹣m，当m＞0和m＜0时，由函数的单调性可得m和n的方程组，解方程组可得，当m=0时,g（x)=1+n，无最大值和最小值，不合题意，综合可得;
（2)由（1）知，问题等价于即在x∈[2，4］上有解,求二次函数区间的最值可得;
（3）原方程可化为｜ex﹣1｜2﹣（3k+2）|ex﹣1｜+(2k+1）=0，令｜ex﹣1｜=t，记h（t）=t2﹣（3k+2）t+2k+1，可得或，解不等式组可得．
【解答】解：（1）配方可得g(x）=m（x﹣1）2+1+n﹣m，
当m＞0时，g（x）在［1，2］上是增函数,
由题意可得，即，解得;
当m=0时，g(x）=1+n，无最大值和最小值，不合题意；
当m＜0时，g（x）在[1，2］上是减函数，
由题意可得，即，解得，
∵n≥0，故应舍去
综上可得m，n的值分别为1，0
(2）由（1）知，
∴f（log2x）﹣2klog2x≥0在x∈[2，4］上有解等价于在x∈[2，4］上有解
即在x∈[2,4]上有解．
令则2k≤t2﹣2t+1,∵．
记φ（t）=t2﹣2t+1，∵，∴,
∴k的取值范围为．
（3）原方程可化为｜ex﹣1｜2﹣（3k+2)|ex﹣1|+（2k+1）=0
令|ex﹣1|=t，则t∈(0,+∞），
由题意知t2﹣（3k+2)t+2k+1=0有两个不同的实数解t1，t2，其中0＜t1＜1，t2＞1或0＜t1＜1，t2=1．
记h（t）=t2﹣（3k+2）t+2k+1，则或
解得k＞0，∴实数k的取值范围是（0,+∞）