资源描述
函数与基本初等函数
一、选择题
1.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是
( )
A.y=-x3,x∈R B.y=sinx,x∈R
C.y=x,x∈R D.y=()x,x∈R
2.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,且f(2)=1,则f(x)=
( )
A.log2x B. C.logx D.2x-2
3.已知函数f(x)=ax3+bx2+c是奇函数,则
( )
A.b=c=0 B.a=0 C.b=0,a≠0 D.c=0
4.函数f(x+1)为偶函数,且x<1时,f(x)=x2+1, 则x>1时,f(x)的解析式为
( )
A.f(x)=x2-4x+4 B.f(x)=x2-4x+5
C.f(x)=x2-4x-5 D.f(x)=x2+4x+5
5.函数f(x)=+lg(3x+1)的定义域是 ( )
A.(-,+∞) B.(-,1) C.(-,) D.(-∞,-)
6.若定义在R上的函数f(x)满足:对任意x1,x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,则下列说法一定正确的是
( )
A.f(x)为奇函数 B.f(x)为偶函数
C.f(x)+1为奇函数 D.f(x)+1为偶函数
7.设奇函数f(x)在(0,+∞)内为增函数,且f(1)=0,则不等式<0的解集为
( )
A.(-1,0)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(0,1)
C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-1,0)∪(0,1)
8.设a,b,c均为正数,且2a=loga,()b=logb,()c=log2c,则( )
A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c
二、填空题
9.函数y=的定义域是____________.
10.已知函数f(x)=ax+b的图象经过点(-2,),其反函数y=f-1(x)的图象经过点(5,1),则f(x)的解析式是________.
11.函数f(x)=ln(a≠2)为奇函数,则实数a等于________.
12.方程x2-2ax+4=0的两根均大于1,则实数a的范围是________.
13.若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式f(x)=________.
14.函数f(x)=log0.5(3x2-ax+5)在(-1,+∞)上是减函数,则实数a的取值范围是________.
三、解答题
15.设f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,并且f(x)-g(x)=x2-x,求f(x),g(x).
16.设不等式2(logx)2+9(logx)+9≤0的解集为M,求当x∈M时,函数f(x)=(log2)(log2)的最大、最小值.
17.已知函数f(x)的图象与函数h(x)=x++2的图象关于点A(0,1)对称.
18.设函数f(x)=是奇函数(a,b,c都是整数),且f(1)=2,f(2)<3.
(1)求a,b,c的值;
(2)当x<0,f(x)的单调性如何?用单调性定义证明你的结论.
参考答案
1 B在其定义域内是奇函数但不是减函数;C在其定义域内既是奇函数又是增函数;D在其定义域内不是奇函数,只是减函数;故选A. 2 函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数是f(x)=logax,又f(2)=1,即loga2=1,所以,a=2,故f(x)=log2x,选A. 3 ∵f(x)是奇函数,∴f(0)=0,∴c=0.
∴-ax3-bx2=-ax3+bx2,∴b=0,故选A. 4 因为f(x+1)为偶函数,所以f(-x+1)=f(x+1),即f(x)=f(2-x);当x>1时,2-x<1,此时,f(2-x)=(2-x)2+1,即f(x)=x2-4x+5. 5 ,解得-<x<1.故选B.6 令x=0,得f(0)=2f(0)+1,f(0)=-1,
所以f(x-x)=f(x)+f(-x)+1=-1,而f(x)+f(-x)+1+1=0,即
f(x)+1=-,所以f(x)+1为奇函数,故选C. 7因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),于是不等式变为<0,根据函数的单调性和奇偶性,画出函数的示意图(图略),可知不等式<0的解集为(-1,0)∪(0,1). 8 如下图:
∴a<b<c. A
9 (0,4] 10 f(x)=2x+3 11依题意有f(-x)+f(x)=ln+ln=0,即·=1,故1-a2x2=1-4x2,解得a2=4,但a≠2,故a=-2.
12 解法一:利用韦达定理,设方程x2-2ax+4=0的两根为x1、x2,
则解之得2≤a<. 13 f(x)=(x+a)(bx+2a)=bx2+(2a+ab)x+2a2是偶函数,则其图象关于y轴对称.∴2a+ab=0⇒b=-2,∴f(x)=-2x2+2a2,且值域为(-∞,4],∴2a2=4,∴f(x)=-2x2+4. -2x2+4
14设g(x)=3x2-ax+5,已知解得-8≤a≤-6.
15 f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x);g(x)为偶数,∴g(-x)=g(x).f(x)-g(x)=x2-x
∴f(-x)-g(-x)=x2+x
从而-f(x)-g(x)=x2+x,即f(x)+g(x)=-x2-x,
16 ∵2(logx)2+9(logx)+9≤0,
∴(2logx+3)(logx+3)≤0.∴-3≤logx≤-.即log()-3≤logx≤log()-∴()-≤x≤()-3,即2≤x≤8.从而M=.又f(x)=(log2x-1)(log2x-3)=logx-4log2x+3
=(log2x-2)2-1.∵2≤x≤8,∴≤log2x≤3.∴当log2x=2,即x=4时ymin=-1;当log2x=3,即x=8时,ymax=0.
⇒
17 (1)求f(x)的解析式;
(2)若g(x)=f(x)·x+ax,且g(x)在区间(0,2]上为减函数,求实数a的取值范围.
(1)设f(x)图象上任意一点的坐标为(x,y),点(x,y)关于点A(0,1)的对称点(-x,2-y)在h(x)的图象上.
∴2-y=-x++2,∴y=x+,即f(x)=x+.
(2)g(x)=(x+)·x+ax,即g(x)=x2+ax+1.g(x)在(0,2]上递减⇒-≥2,∴a≤-4.
18 (1)由f(x)=是奇函数,得f(-x)=-f(x)对定义域内x恒成立,则
=-⇒-bx+c=-(bx+c)对定义域内x恒成立,即c=0.
又⇒由①得a=2b-1代入②得<0⇒0<b<,又a,b,c是整数,得b=a=1.
(2)由(1)知,f(x)==x+,当x<0,f(x)在(-∞,-1]上单调递增,在上单调递增.同理,可证f(x)在[-1,0)上单调递减.
展开阅读全文