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第九课时 分段函数
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分段函数
学习要求

1、了解分数函数的定义；
2、学会求分段函数定义域、值域；
3、学会运用函数图象来研究分段函数；
自学评价：

1、分段函数的定义
在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数叫做分段函数；
2、分段函数定义域，值域；
分段函数定义域各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集(填“并”或“交”)
3、分段函数图象
画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象；

【精典范例】
一、含有绝对值的解析式

例1、已知函数y=|x－1|+|x+2|
(1)作出函数的图象。
(2)写出函数的定义域和值域。

【解】：

(1)首先考虑去掉解析式中的绝对值符号，第一个绝对值的分段点x=1，第二个绝对值的分段点x=－2，这样数轴被分为三部分：(－∞，－2]，(－2,1]，(1，+∞)
所以已知函数可写为分段函数形式：
y=|x－1|+|x+2|=
在相应的x取值范围内，分别作出相应函数的图象，即为所求函数的图象。（图象略）

(2)根据函数的图象可知：函数的定义域为R，值域为[3，+∞）

二、实际生活中函数解析式问题
例2、某同学从甲地以每小时6千米的速度步行2小时到达乙地，在乙地耽搁1小时后，又以每小时4千米的速度步行返回甲地。写出该同学在上述过程中，离甲地的距离S(千米)和时间t(小时)的函数关系式，并作出函数图象。

【解】：
先考虑由甲地到乙地的过程：
0≤t≤2时， y=6t
再考虑在乙地耽搁的情况：
2<t≤3时， y=12
最后考虑由乙地返回甲地的过程：
3<t≤6时， y=12－4(t－3)
所以S(t)=
函数图象（略）

点评：某些实际问题的函数解析式常用分段函数表示，须针对自变量的分段变化情况，列出各段不同的解析式，再依据自变量的不同取值范围，分段画出函数的图象.

三、二次函数在区间上的最值问题

例3、已知函数f(x)=2x2－2ax+3在区间[－1，1]上有最小值，记作g(a).
(1)求g(a)的函数表达式
(2)求g(a)的最大值。
【解】：
对称轴x=
得g(a)
利用分段函数图象易得：g(a)max=3

点评：二次函数在闭区间上的最值问题往往结合图象讨论。

追踪训练
1、设函数f(x)=则f(－4)=___________,若f(x0)=8，则x0=________

答案：18；或4。
2、已知函数f(x)=
求f(1)，f[f(－3)]，f{f[f(－3)]}的值.

答案：1；1；1。

3、 出下列函数图象
y=┃x+2┃－┃x－5┃

解：原函数变为 y=
下面根据分段函数来画出图象
图象（略）。
4、已知函数y=，则f(4)=_______.

答案：22。

5、已知函数f(x)=
(1)求函数定义域；
(2)化简解析式用分段函数表示；
(3)作出函数图象

答案：（1）函数定义域为{x┃x}
( 2 )
f(x)=┃x-1┃+
=
(3) 图象（略）。

分层练习

1、设f(x)=，则f[f()]=( )
A. B. C. － D.
2、若f(x)=，则当x<0时，f[(x)]=( )
A. －x B. －x2 C.x D.x2
3、已知，若f(x)=
4、下列各组函数表示同一函数的是( )
①f(x)=|x|，g(x)=
②f(x)=，g(x)=x+2
③f(x)=，g(x)=x+2
④f(x)=g(x)=0 x∈{－1，1}
A.①③ B.① C.②④ D.①④
5、某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y=3000+20x－0.1x2，x∈(0，240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本的最低产量为( )
A.100台 B.120台 C.150台 D.180台
6、f(x)=，使等式f[f(x)]=1成立的x值的范围是_________.
7、若方程2|x－1|－kx=0有且只有一个正根，则实数k的取值范围是__________.

拓展延伸
8、某商品在近30天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系式为P=，该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系式为Q=－t+40，(0<t≤30，t∈N*).求这种商品的日销售金额的最大值，并指出取得该最大值的一天是30天中的哪一天？