函数的最大值与最小值教案.doc

§1.3 函数的最大值与最小值(第1课时)
泰和中学 胡常达
【教学目标】
1．使学生理解函数的最大值、最小值的概念，并能正确把握最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系．
2．使学生初步掌握求函数最大值、最小值的方法与步骤．
【教学重点】最大值、最小值概念，求函数最大值、最小值的方法。
【教学难点】闭区间[a,b]上连续函数的最值定理。
【教学方法】
发现式教学法，通过引入实例，进而对实例的分析，发现并抽象出普遍规律，这一点与上一堂完全一样。
【授课类型】新授课
【教 具】多媒体、实物投影仪
【教学过程】
一、复习引入：
1．求可导函数f(x)极值的步骤：
(1) 确定函数的定义域； (2)求导数f ’(x)； (3)求方程f ’(x）=0的根；
(4)把定义域划分为部分区间，并列成表格，检查f ’(x)在方程根左右的符号
①如果左正右负（+ ~ -）， 那么f(x)在这个根处取得极大值
②如果左负右正（- ~ +）， 那么f(x)在这个根处取得极小值；
2．连续函数的最大值和最小值定理
如果f(x)是闭区间[a , b]上的连续函数，那么f(x)在闭区间 [a , b]上有最大值和最小值。
注： 我们只考虑在闭区间[a，b]上连续的，并且在开区间(a，b)内可导的函数．如果将这一前提条件设为“在开区间(a，b)上连续可导的函数”，那么，会出现什么情况呢？如图图(1)中的函数y=f(x)在(a，b)上有最大值而无最小直；图(2)中的函数y=f(x)在(a，b)上有最小值而无最大值；图(3)中的函数y=f(x)在(a，b)上既无最大值也无最小值；图(4)中的函数y=f(x)在(a，b)上有最大值也有最小值．
二、讲授新课
观察下图一个定义在区间[a,b]上的函数f(x)的图象
问：①何处取得极大(小)值？能在x=a,x=b处取得极大(小)值吗？②何处取得最大(小)值？最大(小)值可以怎样定义？③一般地,极值与最值有何区别？最值处是否一定取得极值？极值处是否一定取得最值？④一般地，最大(小)值可以在何处取得？
1．最值的定义：可导函数f(x)在闭区间[a，b]上的一切点(包括端点a，b)处的函数值中的最大值(最小值)，叫做函数f(x)的最大值(最小值)．
2．函数的最值与极值的区别与联系：
(1)函数的最值(最大值、最小值)是整体性概念，函数的极值(极大值、极小值)是局部性概念．
(2)一个函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个；而极大值、极小值可能有两个以上．
(3)可导函数的极大值、极小值不一定是最大值、最小值，但在定义区间内部(端点除外)的最大值、最小值一定是极大值、极小值．如上图3－15所示，f(x1)是最小值，也是极小值．
3．求f(x)在[a , b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求 f(x) 在（a , b）内的极值；
（2）将f(x)的各极值与f(a) ，f(b)比较 ；最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。开区间(a , b)内连续函数f(x)不一定有最大值与最小值
三、讲解范例
例1 求函数在区间上的最大值与最小值。
解：
令，得
当x变化时，y′ 、 y的变化情况如下表：
x
-2
(-2,-1)
-1
(-1,0)
0
(0,1)
1
(1,2)
2
y′

-
0
+
0
-
0
+

y
13

4

5

4

13
实验室
从上表可知，最大值是13，最小值是4.
四、巩固练习 课本P132练习
五、知识拓展
例2 求函数的值域．
解：由得的定义域为

因为，所以在上单调递增。
∴ 当时，；当时，
故的值域为
六、小结及作业
1.小结 2.作业P134 T1(1)(2)
七、板书设计（略）八、教学后记：　
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