正弦函数的最大值与最小值.docx

正弦函数的最大值与最小值：
(1) 当sinx＝1，即x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymax＝1；
(2) 当sinx＝－1，即x＝2kπ－(k∈Z)时，ymax＝－1。
余弦函数的最大值与最小值：——让学生研究得出结论。
(1) 当cosx＝1，即x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；
(2) 当cosx＝－1，即x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymax＝－1。
[例1] 求下列函数的定义域。
(1) y＝
解：2sinx－1≠0，即sinx≠，则x≠2kπ＋且x≠2kπ＋(k∈Z)
所求函数的定义域为{x| x≠2kπ＋且x≠2kπ＋，k∈Z}
(2) y＝
解：cosx≥0，则x∈[2kπ－，2kπ＋]，k∈Z
[例2] 求下列函数的值域。
(1) y＝2sinx－3
解：∵－1≤sinx≤1 ∴－5≤2 sinx－3≤－1，则所求函数的值域为[－5，－1]
(2) y＝sin2x－sinx－2
解：y＝sin2x－sinx－2＝(sinx－) 2－
∵－1≤sinx≤1 ∴当sinx＝时，ymin＝－；当sinx＝－1时，ymax＝0。
则所求函数的值域为[－，0]
(3) y＝cos2x－4cosx－2
解：y＝cos2x－4cosx－2＝(cos x－2) 2－6
∵－1≤cosx≤1 ∴当cosx＝1时，ymin＝－5；当cosx＝－1时，ymax＝3。
则所求函数的值域为[－5，3]
[例3] 写出下列函数取到最大值与最小值时的x值。
(1) y＝cos (x－)
解：① 当cos (x－)＝1，即x－＝2kπ，得x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymax＝1；
② 当cos (x－)＝－1，即x－＝2kπ＋π，得x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymin＝－1。
(2) y＝5sin2x
解：① 当sin2x＝1，即2x＝2kπ＋，得x＝kπ＋(k∈Z)时，ymax＝5；
② 当sin2x＝－1即2x＝2kπ－，得x＝kπ－(k∈Z)时，ymin＝－5。
2、求下列函数的定义域：
(1) y＝ 定义域为{x| x≠2kπ＋且x≠2kπ＋，k∈Z}
(2) y＝ 定义域为[2kπ－π，2kπ]，k∈Z
3、求下列函数的值域：
(1) y＝1－2cosx 函数的值域为[－1，3]
(2) y＝sin2x＋sinx－2 函数的值域为[－，0]
[例1] 求下列函数的定义域：
(1) y＝＋
解：由sinx≥0，得x∈[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z
由16－x2≥0，得x∈[－4，4]
则所求函数的定义域为[－4，－π]∪[0，π] ——可用数轴求交集
(2) y＝lg (sinx－1)
解：由sinx－1＞0，得sinx＞，解得：2kπ＋＜x＜2kπ＋，k∈Z
则函数的定义域为（2kπ＋，2kπ＋），k∈Z
(3) y＝＋
解：2sinx＋1≥0，即sinx≥－，得x∈[2kπ－，2kπ＋]，k∈Z
2cosx≥0，即cosx≥0，得x∈[2kπ－，2kπ＋]，k∈Z
则所求函数的定义域为[2kπ－，2kπ＋]，k∈Z ——可用单位圆求交集
[例2] 求函数y＝－2sin(3x＋)的最大值和最小值，并求使其取得最大值、最小值的x的集合。
解：① 当sin(3x＋)＝－1，即3x＋＝2kπ＋，得x＝＋(k∈Z)时，ymax＝2
则使函数取得最大值的x的集合为{x|x＝＋，k∈Z}
② 当sin(3x＋)＝1，即3x＋＝2kπ－，得x＝－(k∈Z)时，ymni＝－2。
则使函数取得最小值的x的集合为{x|x＝－，k∈Z}
[例3] 求下列函数的值域：
(1) y＝
解：∵－1≤sinx≤1 ∴≤≤2，则所求函数的值域为[，2]