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导数在函数求最大值和最小值中的应用
例1．求函数f(x)＝5x＋2的值域.
解析：由得f(x)的定义域为－3≤x≤4，原问题转化为求f(x)在区间[－3, 4]上的最值问题。
∵ y’＝f ’(x)＝,
在[－3，4]上f ’(x)＞0恒成立, ∴ f(x)在[－3，4]上单调递增．
∴ 当x＝－3时ymin＝－15－， 当x=4时ymax=20＋2，
∴ 函数的值域为[－15－，20＋2].
例2．设<a<1，函数f(x)＝x3－ax2＋b (－1≤x≤1)的最大值为1，最小值为－,求a, b的值。
解析：f ’(x)=3x2－3ax=3x(x－a)，当x变化时，f ’(x), f(x)的变化情况列表如下：
当x=0时, f(x)取极大值b，而f(0)>f(a)，f(－1)<f(1)，
∴ 需要比较f(0)与f(1)的大小，
∵ f(0)－f(1)＝a－1>0，∴ f(x)的最大值为f(0)＝b－1，
又f(－1)－f(a)=(a3－3a－2)=(a+1)2(a－)<0，
∴ f(x)|min=f(－1)，∴ －a－1+b=－a=－, ∴ a=，b=1.
例3．若函数f(x)在[0，a]上单调递增且可导，f(x)<0，f(x)是严格单调递增的，求在(0，a]上的最大值。
解析：，∵ f(x)是严格单调递增的，
∴ f ’(x)>0，∵ f(x)<0，x>0，∴f ’(x)·x－f(x)>0，
∴ >0，∴ 在(0，a]上是增函数。
∴ 在(0，a]上最大值为．
例4．设g(y)＝1－x2＋4 xy3－y4在y∈[－1，0]上最大值为f(x)，x∈R，
① 求f(x)表达式；② 求f(x)最大值。
解析：g’(y)=－4y2(y－3x), y∈[－1, 0]，
当x≥0时，g’(y)≥0，∴ g(y)在[－1, 0]上递增, ∴ f(x)=g(0)=1－x2.
当－<x<0时，g’(y)>0，在[－1，3x]上恒成立，在(3x，0)上恒成立，
∴ f(x)=g(3x)=1－x2+27x4.
当x≤－时，g’(y)，g(y)在[－1，0]上递减, ∴ f(x)=g(－1)=－x2－4x,
∴ f(x)=.
② 当x≥0时，f(x)≤f(0)=1，
当x∈(－，0)时，f(x)=27[(x－)2－]+1<f(－)=,
当x≤－时， f(x)＝－( x＋2)2＋4≤f(－2)＝4,
∵ 1<< 4，∴ f(x)|max＝f(－2)＝4.
例5．设函数f( x)＝3x2+ (x∈(0，＋∞))，求正数a的范围，使对任意的x∈(0，＋∞)，都有不等式f(x)＞20成立。
解析：f ’(x)＝6x－，令f ’(x)=0得 x＝，
当0<x<时，f ’(x)＜0，当x> 时f ’(x)＞0，
∴ x＝是唯一的极值点，是极小值点且是最小值点.
要使f(x)≥20恒成立，∴ f(x)|min≥20,
∴ , 解得a≥64.
例6．圆柱形金属饮料罐的表面积一定时，应怎样制作，其容积最大？
解析：设圆柱的高为h，底面半径为R，则S=2πRh+2πR2，
∴ h=, ∴ V(R)＝S底面·h=,
由V’(R)=0得S－3πR2=0得S=6πR2，∴ 6πR2=2πRh+2πR2，∴ h=2R，
即当罐的高和底面直径相等时容积最大．
例7．已知三次函数f(x)=x(x－a)(x－b)，其中0＜a＜b．
（1）设f(x)在x＝s及x=t处取最值，其中s＜t，求证：0＜s＜a＜t＜b；
（2）设A(s，f(s))，B(t，f(t))，求证：AB中点C在曲线y＝f(x)上；
（3）若a＋b＜2，求证：过原点且与曲线y＝f(x)相切的两直线不可能垂直。
解析：（1）f ’(x)＝3x2－2(a＋b)x+ab，
由f(x)在x＝s和x＝t处取最值，∴ s，t分别是方程f ’(x)＝0的两实根．
∵ f ’(0)=ab>0，f ’(a)＝3a2－2(a＋b)a+ab=a(a－b)<0，
f ’(b)＝b2－ab=b(b－a)>0，∴ f ’(x)＝0在(0，a)及(a，b)内分别有一个实根，
∵ s<t，∴ 0＜s＜a＜t＜b.
（2）由s，t是方程f ’(x)＝0的两根．∴ ,
∴ f(s)+f(t)=,
∵ ,
∴ AB的中点C(，f())在曲线y=f(x)上.
（3）过曲线上点(x1，y1)的切线方程为y－y1=[3x12－2(a＋b)x1+ab](x－x1),
由y1=x1(x1－a)(x1－b)且切线过原点．
∴ －x1(x1－a)(x1－b)=－x1[3x12－2(a＋b)x1＋ab],
当x1=0时，切线的斜率为k1=ab，
当x1=时，切线斜率为－(a+b)2+ab，
∵ a, b>0，a+b<2，∴ k1k2=[－(a+b)2+ab],
Ab=(ab)2－(a+b)2+ab>(ab)2－2ab=(ab－1)2－1≥－1
∴ k1k2≠－1，即两切线不可能垂直。
例8 、设函数f（x）=x3+mx2+nx+p在（－∞，0］上是增函数，在［0，2］上是减函数，x=2是方程f（x）=0的一个根.
（1）求n的值；
（2）求证：f（1）≥2.
剖析：由题知x=0是极值点，那么另一个极值点在哪儿呢?是x=2吗?不一定.会在x=2的哪一侧呢?
解：（1）（x）=3x2+2mx+n.
∵f（x）在（－∞，0］上是增函数，在［0，2］上是减函数，
∴当x=0时，f（x）取到极大值.
∴（0）=0.∴n=0.
（2）∵f（2）=0，∴p=－4（m+2），
（x）=3x2+2mx=0的两个根分别为x1=0，x2=－，
∵函数f（x）在［0，2］上是减函数，
∴x2=－≥2.∴m≤－3.
∴f（1）=m+p+1=m－4（m+2）+1=－7－3m≥2.
评述：此题学生往往错误地认为x=2是另一个极值点.再证f（1）≥2时，首先将f（1）化成关于m的式子，知道m的范围，便可证之.
例9、已知函数f（x）=4x3+ax2+bx+5的图象在x=1处的切线方程为y=－12x.
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在［－3，1］上的最值.
解：（1）（x）=12x2+2ax+b，（1）=12+2a+b=－12. ①
又x=1，y=－12在f（x）的图象上，
∴4+a+b+5=－12. ②
由①②得a=－3，b=－18，
∴f（x）=4x3－3x2－18x+5.
（2）（x）=12x2－6x－18=0，得x=－1， ，f（－1）=16，f（）=－，f（－3）=－76，f（1）=－13.
∴f（x）的最大值为16，最小值为－76.

例14（安徽省皖南八校2009届高三第二次联考理科数学第22题）已知函数，
（1）当时，判断在定义域上的单调性；
（2）若在上的最小值为，求的值；
（3）若在上恒成立，求的取值范围．
（2）由（1）可知：
① 若，则，在上为增函数，② 若，则，在上为减函数，
③ 若，令得，当时，在上为减函数，
当时，在上为增函数，，
(3)令，