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例说用二次函数求图形面积的最值

二次函数常用来解决最优化问题这类问题。而图形面积最优化问题已经走进各省市的中考试卷。下面分类予以说明。

一、 围成图形面积的最值
1、 只围二边的矩形的面积最值问题
【例1】如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。
（1）设矩形的一边长为（米），面积为（平方米），求关于的函数关系式；
（2）当x为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？
分析：关键是用含的代数式表示出矩形的长与宽。
【解析】（1）设矩形的长为（米），则宽为（米），
根据题意，得：；
又∵，∴
（2）∵中，，∴有最大值，
即当时，
故当米时，苗圃的面积最大，最大面积为81平方米。
点评：在回扣问题实际时，一定注意不要遗漏了单位。

2、 只围三边的矩形的面积最值
【例2】如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙。问如何围，才能使养鸡场的面积最大？
分析：关键是明确问题中的变量是哪两个，并能准确布列出函数关系式
【解析】设养鸡场的长为（米），面积为（平方米），则宽为（米），
根据题意，得：；
又∵，∴
∵中，，∴有最大值，
即当时，
故当米时，养鸡场的面积最大，养鸡场最大面积为平方米。
点评：如果设养鸡场的宽为，上述函数关系式如何变化？请读者自己完成。

3、 围成正方形的面积最值
【例3】将一条长为的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．
(1)要使这两个正方形的面积之和等于，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?
(2)两个正方形的面积之和可能等于吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．
【解析】（1）设剪成两段后其中一段为，则另一段为
由题意得：
解得： ，
当时，；当时，
答：这段铁丝剪成两段后的长度分别是16厘米、4厘米。
（2）不能
理由是：
设第一个正方形的边长为，
则第二个正方形的边长为，围成两个正方形的面积为，
根据题意，得：，
∵中，，∴有最小值，
即当时，,
故两个正方形面积的和不可能是.

4、 围成扇形的面积最值
【例4】用长为30米的铁丝围成一个扇形,问如何围扇形的面积最大?
【解析】如图3，设围成扇形的半径为米,则围成扇形的弧长为米, 扇形的面积为（平方米）,
根据题意，得：
∵中，
，∴有最大值，
即当时，
故当围成的扇形的半径是米时，扇形的面积最大，最大面积为平方米。

二、 截出图形面积的最值问题
【例5】如图4,是一块锐角三角形的余料,边,高,要把它加工成长方形零件，使长方形的边在上,其余两点、在、上。
(1) 问如何截才能使长方形的面积S最大？
(2) 在这个长方形零件面积最大时，能否将余下的材料、、剪下再拼成（不计接缝用料和损耗）一个与长方形零件大小一样的长方形？若能，给出一种拼法；若不能，试说明理由。
分析：解题的关键是利用几何知识求得函数关系式，再利用函数的性质加以解决问题。
【解析】（1）设长方形零件的边，，
则，
∵，
∴（相似三角形的对应高的比等于相似比）
∴，解得，∵，∴
∴
∵中，，
∴有最大值，
即当时，

故当截得的长方形零件的长为，宽为时，长方形零件的面积最大，最大面积为。
点评：长方形零件的面积最大时，恰好是三角形的中位线。
（2）能。
理由是：
，长方形零件的最大面积为，因此，余料的面积也是，所以从理论上说，还能拼成一个和长方形大小一样的长方形。
拼法：
1、作的中位线，
2、分别过两点作的垂线，垂足分别为，
3、过作的平行线，分别交的延长线于两点
因此，四边形即为和长方形大小一样的长方形。

【例6】如图6，在直角梯形中，，截取，已知，，。
（1）求四边形的面积与之间的函数关系式；
（2）求四边形的面积是否存在着最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由。
【解析】（1）梯形的面积为，
；
；
；
所以，
因为：，所以
所以因此自变量的取值范围是。
（2）因为，故当时，面积有最小值，而自变量x的取值范围是：，所以根本不在这个范围内，因此面积不存在最小值。

三、 采光面积的最值
【例7】用19米长的铝合金条制成如图所示的矩形的窗框。
（1）求窗框的透光面积（平方米）与窗框的宽（米）之间的函数关系式；
（2）求自变量的取值范围；
（3）问如何设计才能使窗框透过的面积最大？最大的透光面积是多少？
分析：关键是用含的代数式表示出的长。
【解析】（1） 由图示的信息，可得：,
所以,,所以米,
所以,
（2）由题意,得,所以,
（3）∵中，，∴有最大值，
即当时，
故当米时，窗框的面积最大，最大面积为平方米。

四、 动态图形面积的最值
【例8】如图8，如图9，在平行四边形中，，，. 一动点从出发，以每秒的速度沿的路线匀速运动，过点作直线，使.
(1) 当点运动2秒时，设直线与相交于点，求的面积；
(2) 当点运动2秒时，另一动点也从出发沿的路线运动，且在上以每秒的速度匀速运动，在上以每秒的速度匀速运动. 过作直线，使. 设点运动的时间为秒，直线与截平行四边形所得图形的面积为.
① 求关于的函数关系式；
② 求的最大值.

【解析】(1) 当点运动2秒时，，由，知.
∴ .
(2) ① 当时，点与点都在上运动，设与交于点， 与交于点，则，，.
∴ 此时两平行线截平行四边形的面积为.
当时，点在上运动，点仍在上运动. 设与交于点，
与交于点，则，

而，故此时两平行线截平行四边形的面积为
.
当8≤t≤10时，点和点都在上运动. 设与交于点，与交于点，则.
∴ 此时两平行线截平行四边形的面积为.
故关于的函数关系式为
②当0≤t≤6时，的最大值为
当6≤t≤8时，的最大值为
当8≤t≤10时，的最大值为
所以当时，有最大值为 .