例说用二次函数求图形面积的最值.doc

例说用二次函数求图形面积的最值二次函数常用来解决最优化问题这类问题。而图形面积最优化问题已经走进各省市的中考试卷。下面分类予以说明。一、 围成图形面积的最值1、 只围二边的矩形的面积最值问题【例1】如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。（1）设矩形的一边长为（米），面积为（平方米），求关于的函数关系式；（2）当x为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？分析：关键是用含的代数式表示出矩形的长与宽。【解析】（1）设矩形的长为（米），则宽为（米）， 根据题意，得：；又，（2）中，有最大值，即当时，故当米时，苗圃的面积最大，最大面积为81平方米。点评：在回扣问题实际时，一定注意不要遗漏了单位。2、 只围三边的矩形的面积最值【例2】如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙。问如何围，才能使养鸡场的面积最大？分析：关键是明确问题中的变量是哪两个，并能准确布列出函数关系式【解析】设养鸡场的长为（米），面积为（平方米），则宽为（米）， 根据题意，得：；又，中，有最大值，即当时，故当米时，养鸡场的面积最大，养鸡场最大面积为平方米。点评：如果设养鸡场的宽为，上述函数关系式如何变化？请读者自己完成。3、 围成正方形的面积最值【例3】将一条长为的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形 (1)要使这两个正方形的面积之和等于，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少? (2)两个正方形的面积之和可能等于吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由【解析】（1）设剪成两段后其中一段为，则另一段为由题意得： 解得： ，当时，；当时，答：这段铁丝剪成两段后的长度分别是16厘米、4厘米。（2）不能 理由是：设第一个正方形的边长为，则第二个正方形的边长为，围成两个正方形的面积为，根据题意，得：，中，有最小值，即当时，,故两个正方形面积的和不可能是.4、 围成扇形的面积最值【例4】用长为30米的铁丝围成一个扇形,问如何围扇形的面积最大?【解析】如图3，设围成扇形的半径为米,则围成扇形的弧长为米, 扇形的面积为（平方米）, 根据题意，得： 中，有最大值，即当时，故当围成的扇形的半径是米时，扇形的面积最大，最大面积为平方米。二、 截出图形面积的最值问题【例5】如图4,是一块锐角三角形的余料,边,高,要把它加工成长方形零件，使长方形的边在上,其余两点、在、上。(1) 问如何截才能使长方形的面积S最大？(2) 在这个长方形零件面积最大时，能否将余下的材料、剪下再拼成（不计接缝用料和损耗）一个与长方形零件大小一样的长方形？若能，给出一种拼法；若不能，试说明理由。分析：解题的关键是利用几何知识求得函数关系式，再利用函数的性质加以解决问题。【解析】（1）设长方形零件的边，则，（相似三角形的对应高的比等于相似比），解得，中，有最大值，即当时，故当截得的长方形零件的长为，宽为时，长方形零件的面积最大，最大面积为。点评：长方形零件的面积最大时，恰好是三角形的中位线。（2）能。理由是：，长方形零件的最大面积为，因此，余料的面积也是，所以从理论上说，还能拼成一个和长方形大小一样的长方形。拼法：1、作的中位线，2、分别过两点作的垂线，垂足分别为，3、过作的平行线，分别交的延长线于两点因此，四边形即为和长方形大小一样的长方形。【例6】如图6，在直角梯形中，截取，已知，。（1）求四边形的面积与之间的函数关系式； （2）求四边形的面积是否存在着最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由。【解析】（1）梯形的面积为，； ；所以，因为：，所以所以因此自变量的取值范围是。 （2）因为，故当时，面积有最小值，而自变量x的取值范围是：，所以根本不在这个范围内，因此面积不存在最小值。三、 采光面积的最值【例7】用19米长的铝合金条制成如图所示的矩形的窗框。（1）求窗框的透光面积（平方米）与窗框的宽（米）之间的函数关系式；（2）求自变量的取值范围；（3）问如何设计才能使窗框透过的面积最大？最大的透光面积是多少？分析：关键是用含的代数式表示出的长。【解析】（1） 由图示的信息，可得：,所以,所以米,所以, （2）由题意,得,所以,（3）中，有最大值，即当时，故当米时，窗框的面积最大，最大面积为平方米。四、 动态图形面积的最值【例8】如图8，如图9，在平行四边形中，. 一动点从出发，以每秒的速度沿的路线匀速运动，过点作直线，使.(1) 当点运动2秒时，设直线与相交于点，求的面积；(2) 当点运动2秒时，另一动点也从出发沿的路线运动，且在上以每秒的速度匀速运动，在上以每秒的速度匀速运动. 过作直线，使. 设点运动的时间为秒，直线与截平行四边形所得图形的面积为. 求关于的函数关系式； 求的最大值.【解析】(1) 当点运动2秒时，由，知. .(2) 当时，点与点都在上运动，设与交于点， 与交于点，则，. 此时两平行线截平行四边形的面积为.当时，点在上运动，点仍在上运动. 设与交于点，与交于点，则，而，故此时两平行线截平行四边形的面积为.当8t10时，点和点都在上运动. 设与交于点，与交于点，则. 此时两平行线截平行四边形的面积为.故关于的函数关系式为当0t6时，的最大值为当6t8时，的最大值为当8t10时，的最大值为所以当时，有最大值为 .