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课时提升作业(十八)
抛物线的简单几何性质
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.抛物线y2=3x关于直线y=x对称的抛物线方程为( )
A.y2=x B.x2=3y
C.x2=y D.y2=3x
【解题指南】利用点(x,y)关于y=x的对称点为(y,x)进行求解.
【解析】选B.因为点(x,y)关于y=x的对称点为(y,x),所以y2=3x关于y=x对称的抛物线方程为x2=3y.
2.已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C的准线上一点,则△ABP的面积为( )
A.18 B.24 C.36 D.48
【解析】选C.如图所示,设抛物线方程为y2=2px(p>0).
因为当x=时,|y|=p,
所以p===6.
又P到AB的距离始终为p,
所以S△ABP=×12×6=36. X k B 1 . c o m
3.已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为( )
A. B.1 C. D.
【解析】选C.由抛物线的定义,有|AF|+|BF|=+=xA+xB+p=3,故xA+xB=3-p=,故线段AB的中点到y轴的距离为,故选C.
【举一反三】若将上题改为F是抛物线x2=2y的焦点,A,B是抛物线上的两点,|AF|+|BF|=6,则线段AB的中点到y轴的距离为 .
【解析】|AF|+|BF|=6,由抛物线的定义可得|AD|+|BE|=6,又线段AB的中点到抛物线准线y=-的距离为(|AD|+|BE|)=3,
所以线段AB的中点到y轴的距离为.
答案:
4.抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是( )
A. B. C. D.3
【解析】选A.设抛物线y=-x2上一点为(m,-m2),该点到直线4x+3y-8=0的距离为,当m=时,取得最小值为.
【一题多解】选A.设与4x+3y-8=0平行的直线l方程为:4x+3y+m=0,
由消去y得,3x2-4x-m=0,
由Δ=0得,16+12m=0,解得m=-.
所以l的方程为4x+3y-=0.
因此抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值是d==.
5.(2014·兰州高二检测)斜率为1,过抛物线y=x2的焦点的直线被抛物线所截得的弦长为( )
A.8 B.6 C.4 D.10
【解析】选A.设弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),易知直线方程为y=x+1,直线方程与抛物线方程联立,消元得:x2-x-1=0,所以x1+x2=4,x1x2=-4,
所以弦长l==8.
6.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,其上的三个点A,B,C的横坐标之比为3∶4∶5,则以|FA|,|FB|,|FC|为边长的三角形( )
A.不存在 B.必是锐角三角形
C.必是钝角三角形 D.必是直角三角形
【解析】选B.设A,B,C三点的横坐标分别为x1,x2,x3,x1=3k,x2=4k,x3=5k(k>0),由抛物线定义得|FA|=+3k,|FB|=+4k,|FC|=+5k,易知三者能构成三角形,|FC|所对角为最大角,由余弦定理可证该角的余弦值为正数,故该三角形必是锐角三角形.
二、填空题(每小题4分,共12分)
7.(2014·长沙高二检测)已知定点A(-3,0),B(3,0),动点P在抛物线y2=2x上移动,则·的最小值等于 .
【解析】设P(x,y),则y2=2x,因为A(-3,0),B(3,0),
则·=·=(x+3,y)·(x-3,y)=x2+y2-9=x2+2x-9=(x+1)2-10(x≥0),
所以当x=0时,(·)min=-9.
答案:-9
8.(2014·济宁高二检测)已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线与x轴的交点为M,N为抛物线上的一点,且满足|NF|=|MN|,则∠NMF= .
【解析】过N作准线的垂线,垂足为P,
则有|PN|=|NF|,w w w .x k b 1.c o m
所以|PN|=|MN|,
∠NMF=∠MNP.
又cos∠MNP=,
所以∠MNP=,即∠NMF=.
答案:
9.(2014·长春高二检测)已知点P是抛物线y2=4x上的动点,点P在y轴上射影是M,点A(4,6),则|PA|+|PM|的最小值是 .
【解题指南】将P到y轴的距离,转化为点P到焦点的距离,当A,P,F共线时,|PA|+|PM|最小.
【解析】由y2=4x,得p=2,
所以F(1,0),
如图,|PM|=|PN|-
=|PF|-1,
所以|PA|+|PM|=|PA|+|PF|-1≥|AF|-1
=-1=3-1.
答案:3-1
三、解答题(每小题10分,共20分)
10.直角△AOB的三个顶点都在抛物线y2=2px上,其中直角顶点O为原点,OA所在直线的方程为y=x,△AOB的面积为6,求该抛物线的方程.
【解题指南】运用解方程组分别求出A,B坐标,从而求出|OA|和|OB|,利用面积公式求出p即可.
【解析】因为OA⊥OB,且OA所在直线的方程为y=x,所以OB所在直线的方程为y=-x.
由得A点坐标(,),X k B 1 . c o m
由得B点坐标(6p,-2p).
|OA|=|p|,|OB|=4|p|,
S△OAB=p2=6,所以p=±.
即该抛物线的方程为y2=3x或y2=-3x.
11.(2014·淮安高二检测)如图,已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,直线AF,BF分别与抛物线交于点M,N.
(1)求y1y2的值.
(2)记直线MN的斜率为k1,直线AB的斜率为k2,证明:为定值.
【解题指南】(1)把直线方程代入抛物线方程中整理化简,然后根据一元二次方程根与系数的关系可求.(2)表示出斜率,根据根与系数的关系代入化简可求得定值.
【解析】(1)依题意,设AB的方程为x=my+2,代入y2=4x,得y2-4my-8=0,从而y1y2=-8.
(2)设M(x3,y3),N(x4,y4),
=×=×=,
设直线AM的方程为x=ny+1,代入y2=4x消去x得:y2-4ny-4=0,所以y1y3=-4,
同理y2y4=-4,===,
由(1)y1y2=-8,所以=2为定值.
w w w .x k b 1.c o m
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共16分)
1.已知点P是抛物线y2=4x上一点,设点P到此抛物线准线的距离是d1,到直线x+2y-12=0的距离为d2,则d1+d2的最小值是( )
A.5 B.4 C. D.
【解析】选C.设抛物线的焦点为F,则F(1,0).由抛物线的定义可知d1=|PF|,所以d1+d2=|PF|+d2,所以d1+d2的最小值为|PF|+d2的最小值,即点F到直线x+2y-12=0的距离,所以最小值为=.
【变式训练】已知抛物线y2=4x,过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,过A,B分别作y轴的垂线,垂足分别为C,D,则|AC|+|BD|的最小值为 .
【解析】抛物线准线为x=-1,F(1,0),
则|AC|=|AF|-1,|BD|=|BF|-1,
所以|AC|+|BD|=|AF|+|BF|-2=|AB|-2.
而|AB|为过焦点的弦长,所以当AB⊥x轴时,|AB|取到最小值4.所以|AC|+|BD|≥4-2=2.
答案:2
2.如图,F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C在抛物线上,若++=0,则||+||+||=( )
A.6 B.4
C.3 D.2
【解析】选A.设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),
因为F(1,0),所以++=(x1+x2+x3-3,y1+y2+y3)=0,所以
所以||+||+||=x1++x2++x3+=3+3=6.
3.(2014·成都高二检测)A,B是抛物线x2=y上任意两点(非原点),当·最小时,,所在两条直线的斜率之积kOA·kOB=( )
A. B.- C. D.-
【解析】选B.由题意设A(x1,),B(x2,),
所以·=x1x2+(x1x2)2=-,
易知当x1·x2=-时,·最小,此时kOA·kOB=x1x2=-.
4.(2014·安阳高二检测)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,已知点A,B为抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=90°,过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN,垂足为N,则的最大值为( )
A. B. C.1 D.
【解析】选A.设|AF|=r1,
|BF|=r2,
=
=
=≤=.
【举一反三】本题条件“∠AFB=90°”改为“∠AFB=120°”,其他条件不变,则结论如何?
【解析】选B.如图,
设|AF|=r1,
|BF|=r2,
则|MN|=(r1+r2),
|AB|=
=,
所以=
=
=
≤=.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.(2014·天水高二检测)已知抛物线x2=4y的焦点为F,经过F的直线与抛物线相交于A,B两点,则以AB为直径的圆在x轴上所截得的弦长的最小值是 _____.
【解析】由题意,设A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B到准线的距离和为y1+y2+2=AB,所以以AB为直径的圆的圆心到x轴的距离为,设直线AB的方程为y=kx+1,代入抛物线方程,消y,得x2-4kx-4=0,所以x1+x2=4k,y1+y2=4k2+2,所以以AB为直径的圆在x轴上所截得的弦长为
2=,
所以k=0时,以AB为直径的圆在x轴上所截得的弦长的最小值为2.
答案:2
6.(2013·安徽高考)已知直线y=a交抛物线y=x2于A,B两点.若该抛物线上存在点C,使得∠ACB为直角,则a的取值范围为 .
【解题指南】点C的轨迹是圆心在y轴上、半径为r=的圆,数形结合可得.
【解析】联立直线y=a与抛物线y=x2得x=±,满足题设条件的点C的轨迹是以(0,a)为圆心,r=为半径的圆,其方程为x2+(y-a)2=a.由数形结合可知当r=≤a时满足题设要求,解得a≥1. 新 课 标 第 一 网
答案:[1,+∞)x k b 1 . c o m
三、解答题(每小题12分,共24分)新$课$标$第$一$网
7.设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴.试探究直线AC是否经过原点O?
【解题指南】借助kOA和kOC的关系去探究.
【解析】直线AC经过原点O.
证明如下:
设AB:x=my+,代入y2=2px,
得y2-2pmy-p2=0.
由根与系数的关系,得yAyB=-p2,
即yB=-.
因为BC∥x轴,且C在准线x=-上,
所以C,则kOC====kOA.
故直线AC经过原点O. X k B 1 . c o m
【一题多解】如图所示,记准线l与x轴的交点为E,过A作AD⊥l,垂足为D,则AD∥EF∥BC,连接AC交EF于N,则
==,
=.
因为|AF|=|AD|,|BF|=|BC|,
所以|EN|===|NF|,
即N是EF的中点,从而点N与点O重合,故直线AC经过原点O.
8.(2014·长春高二检测)点M(m,4)(m>0)为抛物线x2=2py(p>0)上一点,F为其焦点,已知|FM|=5.
(1)求m与p的值.
(2)以M点为切点作抛物线的切线,交y轴于点N,求△FMN的面积.
【解析】(1)由抛物线定义知,|FM|=+4=5,所以p=2.所以抛物线的方徎为x2=4y,
又由M(m,4)在抛物线上,所以m=4.
故p=2,m=4.
(2)设过M点的切线方程为y-4=k(x-4),
代入抛物线方程消去y得,x2-4kx+16k-16=0,
其判别式Δ=16k2-64(k-1)=0,所以k=2,
切线方程为y=2x-4,
切线与y轴的交点为N(0,-4),抛物线的焦点F(0,1),
所以S△FMN=|FN|·m=×5×4=10.
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