沪科版九年级数学24.2圆的性质-垂径定理.ppt

luzishu圆的对称性圆是轴对称图形吗？驶向胜利的彼岸如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？O你是用什么方法解决上述问题的?实践探究把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴如图，AB是O的一条弦，做直径CD，使CDAB，垂足为E（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？OABCDE活 动 二（1）是轴对称图形直径CD所在的直线是它的对称轴（2）线段：AE=BE弧：，把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，和 重合，和重合证明：连接OA,OB,OABCDE则OA=OB.在RtOAE和RtOBE中,OA=OB，OE=OE，RtOAERtOBE.AE=BE.点A和点B关于CD对称.O关于直径CD对称,当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,AC和BC重合,AD和BD重合AC=BC,AD=BD.已知：如图，AB是O的一条弦，做直径CD，使CDAB，垂足为E 求证：AE=BEAD=BD.AC=BC,垂径定理：(三种语言三种语言)垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。ABCDEOCDABCD是直径AE=BEAC=BCAD=BD老师提示:垂径定理是圆中一个重要的结论,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.判断下列图形，能否使用垂径定理？注意：定理中的两个条件（过圆心，垂直于弦）缺一不可！BOAE圆心到弦的距离叫做弦心距如图，P为O的弦BA延长线上一点，PAAB2，PO5，求O的半径.MPBO关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段(做弦心距)，这是一条非常重要的辅助线.跟踪训练解析：解析：提示作提示作OM OM 垂直于垂直于PB PB，连接，连接OA.OA.A答案：答案：问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？赵州桥主桥拱的半径是多少？解得：解得：R279（m）BODACR在在Rt OAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得即即 R2=18.72+（R7.2）2赵州桥的主桥拱半径约为赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.OA2=AD2+OD2AB=37.4，CD=7.2，OD=OCCD=R7.2在图中在图中如图，用 表示主桥拱，设 所在圆的圆心为O，半径为R经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与AB 相交于点D，根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是 的中点，CD 就是拱高归纳：解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。两个量。BODACRCDAB,垂径定理的逆定理垂径定理的逆定理AB是O的一条弦,且AM=BM.你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.过点M作直径CD.O图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?CDn由由 CD是直是直径径 AM=BM可推得可推得 AC=BC,AD=BD.MAB1.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.一个圆的任意两条直径总是互相平分，但它们不一定互相垂直因此这里的弦如果是直径，结论不一定成立OABMNCD注意为什么强调这里的弦不是直径？ABCDMO2.弦的垂直平分线,必过圆心，并且平分弦所对的两条弧。垂径定理的推论：AM=BM ABCDCD过圆心AC=BCAD=BD垂径定理的逆定理垂径定理的逆定理如图如图,在下列五个条件中在下列五个条件中:只要具备其中两个条件只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论就可推出其余三个结论.想一想想一想8 8驶向胜利的彼岸OABCDM CD是直径是直径,AM=BM,CDAB,AC=BC,AD=BD.OABCDM垂径定理及逆定理垂径定理及逆定理 想一想想一想9 9条件结论命题垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧并且平分弦所的两条弧.平分弦平分弦(不是直径不是直径)的直径垂直于弦的直径垂直于弦,并且平并且平 分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦垂直平分弦,并且平分弦所对的并且平分弦所对的另一条弧另一条弧.弦的垂直平分线经过圆心弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧并且平分这条弦所对的两条弧.垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平并且平分弦和所对的另一条弧分弦和所对的另一条弧.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧并且平分弦所对的另一条弧.平分弦所对的两条弧的直线经过圆心平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦并且垂直平分弦.AMBM，CMDM垂径定理的推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等MOABNCD证明：作直径MN垂直于弦AB ABCD 直径MN也垂直于弦CDAMCM BMDM 即 ACBDABCD两条弦在圆心的同侧两条弦在圆心的两侧垂径定理的推论2有这两种情况：OOABCD判断下列说法的正误判断下列说法的正误 平分弧的直径必平分弧所对的弦平分弧的直径必平分弧所对的弦 平分弦的直线必垂直弦平分弦的直线必垂直弦 垂直于弦的直径平分这条弦垂直于弦的直径平分这条弦 平分弦的直径垂直于这条弦平分弦的直径垂直于这条弦 弦的垂直平分线是圆的直径弦的垂直平分线是圆的直径 平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧必平分此弦所对的弧 如图，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上一点，D是弦AC的中点，OD交弧AC于E，若AC=8cm，DE=2cm，则OD的长为_cm。如图，已知如图，已知 ，请你利用尺规作图的方法，请你利用尺规作图的方法作出作出 的中点，说出你的作法的中点，说出你的作法.活动三 2.作作AB的中垂线，交的中垂线，交 于点于点C，点点C就是所求的点就是所求的点.1.连接连接AB；你能破镜重圆吗？ABACmnO作弦ABAC及它们的垂直平分线mn，交于O点；以O为圆心，OA为半径作圆。破镜重圆ABCmnO 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。作图依据：CDABEFG求作弧AB的四等分点。mnO OC CD DA AB B如图，如图，ABAB是是OO的直径，的直径，AB=10AB=10，弦，弦AC=8AC=8，D D是是ACAC的中点，连结的中点，连结CDCD，求，求CDCD的长。的长。E3、如图所示，矩形ABCD与圆心在AB上的O交于点G、B、F、E，GB=8，AG=1，DE=2，则EF=。4.如图为一圆弧形拱桥，半径OA=10m，拱高为4m，求拱桥跨度AB的长。5如图，在O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，ODAB于D，OEAC于E，求证四边形ADOE是正方形DOABCE证明：证明：四边形四边形ADOE为矩形，为矩形，又又AC=AB AE=AD 四边形四边形ADOE为正方形为正方形.某地有一座圆弧形拱桥圆心为，桥下水面宽度为、2 m，过O 作OC AB 于D，交圆弧于C，CD=2、4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？CNMAEHFBDO这节课你有什么收获和体会？这节课你有什么收获和体会？课堂反思和小结结束寄语形成天才的决定因素应该形成天才的决定因素应该是勤奋是勤奋.下课了!