2025-2026学年陕西省渭南市临渭区尚德中学高一上数学期末经典试题含解析.doc

2025-2026学年陕西省渭南市临渭区尚德中学高一上数学期末经典试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．如图所示，点P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，则PB与AC所成的角（　　）

A.90° B.60°
C.45° D.30°
2．已知集合，若，则（）
A.-1 B.0
C.2 D.3
3．2020年12月4日，中国科学技术大学宣布该校潘建伟等人成功构建个光子的量子计算原型机“九章”．据介绍，将这台量子原型机命名为“九章”，是为了纪念中国古代的数学专著《九章算术》．在该书的《方程》一章中有如下一题：“今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，实皆不满斗．上取中，中取下，下取上，各一秉，而实满斗．问上中下禾实一秉各几何？”其译文如下：“今有上等稻禾束，中等稻禾束，下等稻禾束，各等稻禾总数都不足斗．如果将束上等稻禾加上束中等稻禾，或者将束中等稻禾加上束下等稻禾，或者将束下等稻禾加上束上等稻禾，则刚好都满斗．问每束上、中、下等的稻禾各多少斗？”现请你求出题中的束上等稻禾是多少斗？（）
A. B.
C. D.
4．已知函数，则函数的零点所在的区间是　　
A. B.
C. D.
5．设函数的最小值为-1，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
6．（ ）
A.1 B.0
C.-1 D.
7．已知直线过，两点，则直线的斜率为
A. B.
C. D.
8．函数的零点所在区间为：（）
A. B.
C. D.
9．设，，，则、、的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
10．已知，那么下列结论正确的是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知，，，则的最大值为___________.
12．若在上恒成立，则k的取值范围是______.
13．如图，单位圆上有一点，点P以点P0为起点按逆时针方向以每秒弧度作圆周运动，5秒后点P的纵坐标y是_____________.

14．直三棱柱ABC-A1B1C1，内接于球O，且AB⊥BC，AB=3．BC=4．AA1=4，则球O的表面积______
15．在棱长为2的正方体ABCD－中，E，F，G，H分别为棱，，，的中点，将该正方体挖去两个大小完全相同的四分之一圆锥，得到如图所示的几何体，现有下列四个结论：

①CG//平面ADE；②该几何体的上底面的周长为；
③该几何体的的体积为；④三棱锥F－ABC的外接球的表面积为
其中所有正确结论的序号是____________
16．不等式的解集为_________________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数，在区间上有最大值，最小值，设函数.
（1）求的值；
（2）不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
（3）方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.
18．设函数.
（1）计算；
（2）求函数的零点；
（3）根据第（1）问计算结果，写出的两条有关奇偶性和单调性的正确性质，并证明其中一个.
19．已知全集，求：
（1）；
（2）.
20．已知函数.
（1）当，为奇函数时，求b的值；
（2）如果为R上的单调函数，请写出一组符合条件的a，b值；
（3）若，，且的最小值为2，求的最小值.
21．已知的两顶点和垂心.
（1）求直线AB的方程；
（2）求顶点C的坐标；
（3）求BC边的中垂线所在直线的方程.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】将原图还原到正方体中，连接SC，AS，可确定（或其补角）是PB与AC所成的角.
【详解】因为ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，可将原图还原到正方体中，连接SC，AS，则PB平行于SC，如图所示.

∴（或其补角）是PB与AC所成的角，∵为正三角形，
∴，∴PB与AC所成角为.
故选：B.
2、C
【解析】根据元素与集合的关系列方程求解即可.
【详解】因为，所以或，
而无实数解，所以.
故选：C
3、D
【解析】设出未知数，根据题意列出方程即可解出.
【详解】设束上等稻禾是斗，束中等稻禾是斗，束下等稻禾是斗，
则由题可得，解得，
所以束上等稻禾是斗.
故选：D.
4、A
【解析】根据初等函数的性质得到函数的单调性，再由得答案
【详解】∵函数和在上均为增函数，
∴在上为单调增函数，
∵，，
∴函数的零点所在的区间是，故选A
【点睛】本题主要考查了函数零点的判定，考查了初等函数的性质，属于基础题
5、C
【解析】当时，为增函数，最小值为，故当时，，分离参数得，函数开口向下，且对称轴为，故在递增，，即.
考点：分段函数的最值.
【思路点晴】本题主要考查分段函数值域问题，由于函数的最小值为，所以要在两段函数图象都要讨论最小值.首先考虑没有参数的一段，当时，为增函数，最小值为.由于这一段函数值域已经包括了最小值，故当时，值域应该不小于，分离常数后利用二次函数图象与性质可求得参数的取值范围.
6、A
【解析】
用诱导公式化简计算．
【详解】因为，
所以，
所以原式.
故选：A.
【点睛】本题考查诱导公式，考查特殊角的三角函数值．属于基础题．
7、C
【解析】由斜率的计算公式计算即可
【详解】因为直线过，两点，所以直线的斜率为.
【点睛】本题考查已知两点坐标求直线斜率问题，属于基础题
8、C
【解析】利用函数的单调性及零点存在定理即得.
【详解】因为，
所以函数单调递减，
，
∴函数的零点所在区间为.
故选：C.
9、B
【解析】利用指数函数、对数函数的单调性比较、、三个数与、的大小关系，由此可得出、、的大小关系.
【详解】，即，，，
因此，.
故选：B.
10、B
【解析】根据不等式的性质可直接判断出结果.
【详解】，，知A错误，B正确；
当时，，C错误；当时，，D错误.
故选：B.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】由题知，进而令，，再结合基本不等式求解即可.
【详解】解：，当时取等，
所以，
故令，则，
所以，
当时，等号成立.
所以的最大值为
故答案为：
12、
【解析】首先参变分离得到在上恒成立，接着分段求出函数的最小值，最后给出k的取值范围即可.
【详解】因为在上恒成立，
所以在上恒成立，
当时，，所以，
所以，
所以；
当时，，所以，
所以，
所以；
综上：k的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】本题是含参数的不等式恒成立问题，此类问题都可转化为最值问题，即f(x)＜a恒成立⇔a＞f(x)max，f(x)＞a恒成立⇔a＜f(x)min.
13、##
【解析】根据单位圆上点的坐标求出，从而求出，从而求出点P的纵坐标.
【详解】因为位于第一象限，且，故，所以，故，所以点P的纵坐标
故答案为：
14、
【解析】利用三线垂直联想长方体，而长方体外接球直径为其体对角线长，容易得到球半径，得解
【详解】直三棱柱中，易知AB，BC，BB1两两垂直，
可知其为长方体的一部分，
利用长方体外接球直径为其体对角线长，
可知其直径为，
∴=41π，
故答案为41π
【点睛】本题主要考查了三棱柱的外接球和球的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象能力.
15、①③④
【解析】由面面平行的性质判断①；由题设知两段圆弧的长度之和为，即可得上底周长判断②；利用正方体体积及圆锥体积的求法求几何体体积判断③；首先确定外接球球心位置，进而求出球体的半径，即可得F－ABC的外接球的表面积判断④.
【详解】因为面面，面，
所以CG//平面，即CG//平面ADE，①正确；
依题意知，弧EF与弧HG均为圆弧，且这两段圆弧的长度之和为，
所以该几何体的上底面的周长为，该几何体的体积为8－，②错误，③正确；
设M，N分别为下底面、上底面的中心，则三棱锥F－ABC的外接球的球心O在MN上
设OM＝h，则，解得，
从而球O的表面积为，④正确.
故答案为：①③④

16、或.
【解析】利用一元二次不等式的求解方法进行求解.
【详解】因为，所以，所以或，
所以不等式的解集为或.
故答案为：或.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）；（3）
【解析】（1）利用二次函数闭区间上的最值，通过a与0的大小讨论，列出方程，即可求a，b的值；
（2）转化不等式f（2x）﹣k•2x≥0，为k在一侧，另一侧利用换元法通过二次函数在x∈[﹣1，1]上恒成立，求出最值，即可求实数k的取值范围；
（3）化简方程f（|2x﹣1|）+k（3）＝0，转化为两个函数的图象的交点的个数，利用方程有三个不同的实数解，推出不等式然后求实数k的取值范围
【详解】解：（1）g（x）＝a（x﹣1）2+1+b﹣a，
∵a＞0，∴g（x）在[2，3]上为增函数，
故，可得 ，⇔
∴a＝1，b＝0
（2）方程f（2x）﹣k•2x≥0化为2x2≥k•2x，
k≤1
令t，k≤t2﹣2t+1，
∵x∈[﹣1，1]，∴t，记φ（t）＝t2﹣2t+1，
∴φ（t）min＝φ（1）＝0，
∴k≤0
（3）由f（|2x﹣1|）+k（3）＝0
得|2x﹣1|（2+3k）＝0，
|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）＝0，|2x﹣1|≠0，
令|2x﹣1|＝t，则方程化为t2﹣（2+3k）t+（1+2k）＝0（t≠0），
∵方程|2x﹣1|（2+3k）＝0有三个不同的实数解，
∴由t＝|2x﹣1|的图象（如图）知，

t2﹣（2+3k）t+（1+2k）＝0有两个根t1、t2，且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2＝1，
记φ（t）＝t2﹣（2+3k）t+（1+2k），
则或　
∴k＞0
【点睛】本题考查函数恒成立，二次函数闭区间上的最值的求法，考查转化思想与数形结合的思想
18、（1），，，；（2）零点为；（3）答案见解析.
【解析】（1）根据解析式直接计算即可；
（2）由可解得结果；
（3）由（1）易知为非奇非偶函数，用定义证明是上的减函数.
【详解】（1），，，.
（2）令得，故，即函数的零点为.
（3）由（1）知，，且，故为非奇非偶函数；
是上的减函数.证明如下：
（）
任取，且，
则，
因为当时，，则，又，，
所以，即，
故函数是上的减函数.
19、（1）；（2）或.
【解析】（1）求出集合，再根据集合间的基本运算即可求解；
（2）求出，再根据集合间的基本运算即可求解.
【详解】解：（1）由，
解得：，
故，
又 ，
；
（2）由（1）知：，
或，
或.
20、（1）
（2），（答案不唯一，满足即可）
（3）
【解析】（1）当时，根据奇函数的定义，可得，化简整理，即可求出结果；
（2）由函数和函数在上的单调递性，可知，即可满足题意，由此写出一组即可；
（3）令，则，然后再根据基本不等式和已知条件，可得，再根据基本不等式即可求出结果.
【小问1详解】
解：当时，，
因为是奇函数，所以，
即，得，可得；
【小问2详解】
解：当，时，此时函数为增函数.（答案不唯一，满足即可）
检验：当和时，，，均是上的单调递增函数，所以此时是上的单调递增函数，满足题意；
【小问3详解】
解：令，则，
所以，即，当且仅当，即时等号成立，
所以，
由题意，，所以.
由，
当且仅当时等号成立，由解得，
所以.
21、 (1) ; (2) ；(3) .
【解析】(1)由两点间的斜率公式求出，再代入其中一点，由点斜式求出直线的方程（也可直接代两点式求解）；
(2)由题可知，，借助斜率公式，进而可分别求出直线与直线的方程，再联立方程，即可求得点的坐标；
(3)由中垂线性质知，边的中垂线的斜率等于，再由(2) 可求得边的中点坐标，进而可求解.
【详解】(1)由题意，直线的方程为：
即：.
(2)由题作示意图如下：

，
直线的方程为：，即： —— ①
又，直线与轴垂直，直线的方程为： —— ②
联立①②，解得，
故顶点的坐标为
(3)由题意及 (2) 可知，边的中垂线的斜率等于，
边的中点为，
故边的中垂线的方程为：
【点睛】本题考查直线方程与交点坐标的求法，以及垂心的性质，考查能力辨析能力及运算求解能力，属于中档题.