山东省枣庄市薛城区2025-2026学年数学高二上期末综合测试模拟试题含解析.doc

山东省枣庄市薛城区2025-2026学年数学高二上期末综合测试模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．正三棱锥的侧面都是直角三角形，，分别是，的中点，则与平面所成角的余弦值为（）
A. B.
C. D.
2．在等差数列中，已知，则数列的前9项和为（）
A. B.13
C.45 D.117
3．若双曲线的一条渐近线方程为.则（）
A. B.
C.2 D.4
4．已知是和的等比中项，则圆锥曲线的离心率为（ ）
A. B.或2
C. D.或
5．在空间直角坐标系中，，，若∥，则x的值为（）
A.3 B.6
C.5 D.4
6．某公司门前有一排9个车位的停车场，从左往右数第三个，第七个车位分别停着A车和B车，同时进来C，D两车．在C，D不相邻的情况下，C和D至少有一辆与A和B车相邻的概率是（）
A. B.
C. D.
7．在二面角的棱上有两个点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，，，，则这个二面角的大小为（ ）

A. B.
C. D.
8．数列是等比数列，是其前n项之积，若，则的值是（ ）
A.1024 B.256
C.2 D.512
9．化学中，将构成粒子（原子、离子或分子）在空间按一定规律呈周期性重复排列构成的固体物质称为晶体.在结构化学中，可将晶体结构截分为一个个包含等同内容的基本单位，这个基本单位叫做晶胞.已知钙、钛、氧可以形成如图所示的立方体晶胞（其中Ti原子位于晶胞的中心，Ca原子均在顶点位置，O原子位于棱的中点）.则图中原子连线BF与所成角的余弦值为（ ）

A. B.
C. D.
10．在中，角、、的对边分别是、、，若．则的大小为（）
A. B.
C. D.
11．函数的递增区间是（）
A. B.和
C. D.和
12．将点的极坐标化成直角坐标是(   )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．直线l过抛物线的焦点F，与抛物线交于A，B两点，与其准线交于点C，若，则直线l的斜率为______.
14．数列满足，则__________.
15．已知直线在两坐标轴上的截距分别为，，则__________.
16．正三棱柱的底面边长和高均为2，点为侧棱的中点，连接，，则点到平面的距离为______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆过点，且离心率为.

（1）求椭圆的方程；
（2）过作斜率分别为的两条直线，分别交椭圆于点，且，证明：直线过定点.
18．（12分）已知等差数列满足，
（1）求数列的通项公式及前10项和；
（2）等比数列满足，，求和：
19．（12分）已知抛物线，直线与交于两点且（为坐标原点）
（1）求抛物线的方程；
（2）设，若直线的倾斜角互补，求的值
20．（12分）设数列的前项和为，为等比数列，且，
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和
21．（12分）已知椭圆经过点，左焦点为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若是椭圆的右顶点，过点且斜率为的直线交椭圆于两点，求的面积.
22．（10分）已知命题p：，命题q：.
（1）若命题p为真命题，求实数x的取值范围.
（2）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】以P为原点，PA为x轴，PB为y轴，PC为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PB与平面PEF所成角的正弦值.
【详解】∵正三棱锥的侧面都是直角三角形，E，F分别是AB，BC的中点，
∴以P为原点，PA为x轴，PB为y轴，PC为z轴，建立空间直角坐标系，
设，
则，，，，，
，，，
设平面PEF的法向量，
则，取，得，
设PB与平面PEF所成角为，
则，
∴PB与平面PEF所成角的正弦值为.
故选：C.

2、C
【解析】根据给定的条件利用等差数列的性质计算作答
【详解】在等差数列中，因，所以.
故选：C
3、C
【解析】求出渐近线方程为，列出方程求出.
【详解】双曲线的渐近线方程为，因为，所以，所以.
故选：C
4、B
【解析】由等比中项的性质可得，分别计算曲线的离心率.
【详解】由是和的等比中项，可得，
当时，曲线方程为，该曲线为焦点在轴上的椭圆，离心率，
当时，曲线方程为，该曲线为焦点在轴上的双曲线，离心率，
故选：B.
5、D
【解析】依题意可得，即可得到方程组，解得即可；
【详解】解：依题意，即，所以，解得
故选：D
6、B
【解析】先求出基本事件总数，和至少有一辆与和车相邻的对立事件是和都不与和车相邻，由此能求出和至少有一辆与和车相邻的概率
【详解】解：某公司门前有一排9个车位的停车场，从左往右数第三个，第七个车位分别停着车和车，同时进来，两车，在，不相邻的条件下，
基本事件总数，
和至少有一辆与和车相邻的对立事件是和都不与和车相邻，
和至少有一辆与和车相邻的概率：
故选：B
7、C
【解析】设这个二面角的度数为，由题意得，从而得到，由此能求出结果.
【详解】设这个二面角的度数为，
由题意得，
，
，
解得，
∴，
∴这个二面角的度数为，
故选：C.
【点睛】本题考查利用向量的几何运算以及数量积研究面面角.
8、D
【解析】设数列的公比为q，由已知建立方程求得q，再利用等比数列的通项公式可求得答案.
【详解】解：因为数列是等比数列，是其前n项之积， ，设数列的公比为q，
所以，解得，
所以，
故选：D.
9、C
【解析】如图所示，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立直角坐标系，设立方体的棱长为，求出的值，即可得到答案；
【详解】如图所示，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立直角坐标系，设立方体的棱长为，则，
，，
，
连线与所成角的余弦值为
故选：C.

10、B
【解析】利用余弦定理结合角的范围可求得角的值，再利用三角形的内角和定理可求得的值.
【详解】因为，则，则，
由余弦定理可得，
因为，则，故.
故选：B.
11、C
【解析】求导后，由可解得结果.
【详解】因为的定义域为，，
由，得，解得，
所以的递增区间为.
故选：C.
【点睛】本题考查了利用导数求函数的增区间，属于基础题.
12、A
【解析】本题考查极坐标与直角坐标互化
由点M的极坐标，知
极坐标与直角坐标的关系为，所以的直角坐标为
即
故正确答案为A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】由抛物线方程求出焦点坐标与准线方程，设直线为，、，即可得到的坐标，再联立直线与抛物线方程，消元列出韦达定理，表示出、的坐标，根据得到方程，求出，即可得解；
【详解】解：抛物线方程为，则焦点，准线为，
设直线为，、，则，由，消去得，所以，，则，，因为，所以，所以，所以，解得，所以，即直线为，所以直线的斜率为；
故答案为：
14、
【解析】对递推关系多递推一次，再相减，可得，再验证是否满足；
【详解】∵①
时，②
①-②得，
时，满足上式，.
故答案为：.
【点睛】数列中碰到递推关系问题，经常利用多递推一次再相减的思想方法求解.
15、##
【解析】根据截距定义，分别令，可得.
【详解】由直线，令得，即
令，得，即，
故.
故答案为：
16、
【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求点面距离的公式可以直接求出.
【详解】如图，建立空间直角坐标系，为的中点，由已知，，，，，所以，，
设平面的法向量为，
，即：，取，得，
，
则点到平面的距离为.

故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）由离心率、过点和椭圆关系可构造方程求得，由此可得椭圆方程；
（2）当直线斜率不存在时，表示出两点坐标，由两点连线斜率公式表示出，整理可得直线为；当直线斜率存在时，设，与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，代入中整理可得，由此可得直线所过定点；综合两种情况可得直线过定点.
【详解】（1）椭圆过点，即，；
，又，，
椭圆的方程为：.
（2）当直线斜率不存在时，设直线方程为，则，
则，，解得：，
直线方程为；
当直线斜率存在时，设直线方程为，
联立方程组得：，
设，则，（*），
则，
将*式代入化简可得：，即，整理得：，
代入直线方程得：，
即，联立方程组，解得：，，
直线恒过定点；
综上所述：直线恒过定点.
【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的直线过定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；
②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；
③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程；
④根据直线过定点的求解方法可求得结果.
18、（1），175
（2）
【解析】（1）由已知结合等差数列的通项公式先求出公差，然后结合通项公式及求和公式即可求解；
（2）结合等比数列的性质先求出，然后结合等比数列性质及求和公式可求
【小问1详解】
解：等差数列满足，，
所以，，；
【小问2详解】
解：因为等比数列满足，，
所以或（舍去），
由等比数列的性质可知，是以1为首项，4为公比的等比数列，所以，
所以
19、（1）；
（2）.
【解析】（1）利用韦达定理法即求；
（2）由题可求，，再结合条件即得.
【小问1详解】
设，，
由，得，
故，
由，可得，即，
∴，
故抛物线的方程为：；
【小问2详解】
设的倾斜角为，则的倾斜角为，
∴
由，得，
∴，
∴，同理，
由，得，
∴，即，
故.
20、（1），；（2）
【解析】（1）由已知利用递推公式，
可得，代入分别可求数列的首项，公比，从而可求.
（2）由（1）可得，利用乘“公比”错位相减法求和
【详解】解：(1)当时，
，
当时，满足上式，
故的通项式为
设的公比为，
由已知条件知，
，，所以，
，即
(2)，

两式相减得：

【点睛】本题考查等差数列、等比数列的求法，错位相减法求数列通项，属于中档题.
21、 (Ⅰ)；(Ⅱ).
【解析】（Ⅰ）由椭圆的定义求出的值，由求出，代入，得到椭圆的方程；（Ⅱ）由点斜式求出直线的方程，设 ，联立直线与椭圆方程，求出的值，再算出的面积
试题解析（Ⅰ）由椭圆的定义得：
又，故，
∴椭圆的方程为：.
（Ⅱ）过的直线方程为，，
联立 ，
设，则，
∴的面积.

点睛：本题主要考查了求椭圆的方程，直线与椭圆相交时弦长的计算等，属于中档题．在（Ⅱ）中，注意的面积的计算公式
22、（1）；（2）.
【解析】（1）由一元二次不等式的解法求得的范围；
（2）由p是q的充分条件，转化为集合的包含关系，从而可求实数m的取值范围.
【详解】（1）由p：为真，解得.
（2）q：，若p是q的充分条件，则是的子集
所以.即.