四川省广元市2025-2026学年高一数学第一学期期末考试模拟试题含解析.doc

四川省广元市2025-2026学年高一数学第一学期期末考试模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数则函数的零点个数为.
A. B.
C. D.
2．已知a，b为实数，则“”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3．已知实数满足，则函数的零点在下列哪个区间内
A. B.
C. D.
4．函数，则
A. B.4
C. D.8
5．第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年2月4日～2月20日在北京和张家口联合举行．为了更好地安排志愿者工作，现需要了解每个志愿者掌握的外语情况，已知志愿者小明只会德、法、日、英四门外语中的一门．甲说，小明不会法语，也不会日语：乙说，小明会英语或法语；丙说，小明会德语．已知三人中只有一人说对了，由此可推断小明掌握的外语是（）
A.德语 B.法语
C.日语 D.英语
6．已知圆锥的底面半径为，且它的侧面开展图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（ ）
A. B.
C. D.
7．设是定义在R上的奇函数，当时，（b为常数），则的值为（）
A.﹣6 B.﹣4
C.4 D.6
8．已知命题：，，则为（）
A.， B.，
C.， D.，
9．为了得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）
A.向右平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向左平移个单位
10．平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为
A.π B.π
C.4π D.π
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数，若方程有4个不同的实数根，则的取值范围是____
12．已知函数，则的值等于______
13．如图，若集合，，则图中阴影部分表示的集合为___

14．若函数在上存在零点，则实数的取值范围是________
15．由于德国著名数学家狄利克雷对数论、数学分析和物理学的突出贡献，人们将函数
命名狄利克雷函数，已知函数，下列说法中：
①函数的定义域和值域都是；②函数是奇函数；③函数是周期函数；④函数在区间上是单调函数.
正确结论是__________
16．函数的定义域为_____________________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知二次函数满足条件和，
（1）求；
（2）求在区间（）上的最小值
18．已知函数
（1）若，求实数a值；
（2）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围
19．设是定义在上的奇函数，且当时，.
（1）求当时，的解析式；
（2）请问是否存在这样的正数，，当时，，且的值域为？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由.
20．已知函数是R上的奇函数.
（1）求a的值，并判断的单调性；
（2）若存在，使不等式成立，求实数b的取值范围.
21．已知向量m＝(cos，sin )，n＝(2＋sinx，2－cos)，函数＝m·n，x∈R.
(1) 求函数的最大值；
(2) 若且 ＝1，求值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】令，得，令,由，得或，作出函数的图象，结合函数的图象，即可求解
【详解】由题意，令，得，
令,由，得或，
作出函数的图象，如图所示，
结合函数的图象可知，有个解，有个解，故的零点个数为，故选B.

【点睛】本题主要考查了函数的零点问题，其中令,由，得到或，作出函数的图象，结合函数的图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题
2、B
【解析】由充分条件、必要条件的定义及对数函数的单调性即可求解.
【详解】解：因为，所以在上单调递减，
当时，和不一定有意义，
所以“”推不出“”；
反之，，则，即，
所以“”可推出“”.
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
3、B
【解析】由3a＝5可得a值，分析函数为增函数，依次分析f（﹣2）、f（﹣1）、f（0）的值，由函数零点存在性定理得答案
【详解】根据题意，实数a满足3a＝5，则a＝log35＞1，
则函数为增函数，
且f（﹣2）＝（log35）﹣2+2×（﹣2）﹣log53＜0，
f（﹣1）＝（log35）﹣1+2×（﹣1）﹣log53＝﹣2＜0，
f（0）＝（log35）0﹣log53＝1﹣log53＞0，
由函数零点存在性可知函数f（x）的零点在区间（﹣1，0）上，
故选B
【点睛】本题考查函数零点存在性定理的应用，分析函数的单调性是关键
4、D
【解析】因为函数，所以，，故选D.
【思路点睛】本题主要考查分段函数的解析式、指数与对数的运算，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.本题解答分两个层次：首先求出 的值，进而得到的值.
5、B
【解析】根据题意，分“甲说对，乙、丙说错”、“乙说对，甲、丙说错”、“丙说对，甲、乙说错”三种情况进行分析，即可得到结果.
【详解】若甲说对，乙、丙说错：甲说对，小明不会法语也不会日语；乙说错，则小明不会英语也不会法语；丙说错，则小明不会德语，由此可知，小明四门外语都不会，不符合题意；
若乙说对，甲、丙说错：乙说对，则小明会英活或法语；甲说错，则小明会法语或日语；丙说错，小明不会德语；则小明会法语；
若丙说对，甲、乙说错：丙说对，则小明会德语；甲说错，到小明会法语或日语；乙说错，则小明不会英语也不会法语；则小明会德语或日语，不符合题意；综上，小明会法语.
故选：B.
6、A
【解析】半径为的半径卷成一圆锥，
则圆锥的母线长为，
设圆锥的底面半径为，
则，即，
∴圆锥的高，
∴圆锥的体积，
所以的选项是正确的

7、B
【解析】根据函数是奇函数，可得，求得，结合函数的解析式即可得出答案.
【详解】解：因为是定义在R上的奇函数，当时，，
，解得
所以.
故选：B.
8、C
【解析】根据特称命题否定是全称命题即可得解.
【详解】把存在改为任意，把结论否定，为，.
故选：C
9、A
【解析】根据函数平移变换的方法，由即，只需向右平移个单位即可.
【详解】根据函数平移变换,由变换为,
只需将的图象向右平移个单位，即可得到的图像，故选A.
【点睛】本题主要考查了三角函数图象的平移变换，解题关键是看自变量上的变化量，属于中档题.
10、B
【解析】球半径，所以球的体积为，选B.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】先画出函数的图象，把方程有4个不同的实数根转化为函数的图象与有四个不同的交点，结合对数函数和二次函数的性质，即可求解.
【详解】由题意，函数，要先画出函数的图象，如图所示，
又由方程有4个不同的实数根，
即函数的图象与有四个不同的交点，
可得，且，
则=，
因为，则，所以.
故答案为.

【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中把方程有4个不同的实数根，转化为两个函数的有四个交点，结合对数函数与二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.
12、2
【解析】由分段函数可得，从而可得出答案.
【详解】解：由，
得.
故答案为：2.
13、
【解析】图像阴影部分对应的集合为， ，故，故填.
14、
【解析】分和并结合图象讨论即可
【详解】解：令，则有，
原命题等价于函数与在上有交点，
又因为在上单调递减，且当时，，
在上单调递增，
当时，作出两函数的图像，

则两函数在上必有交点，满足题意；
当时，如图所示，只需，
解得，即，

综上所述实数的取值范围是.
故答案为：
15、①
【解析】由题意知，所以①正确；根据奇函数的定义，x是无理数时，显然不成立，故②错误；当x是有理数时，显然不符合周期函数的定义故③错误；函数在区间上是既不是增函数也不是减函数，故④错误；综上填①.
16、
【解析】，区间为.
考点：函数的定义域

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】(1)由二次函数可设,再利用进行化简分析即可.
(2)由(1)可知,对称轴为，通过讨论的范围，根据函数的单调性，求出函数的最小值.
【详解】(1)由二次函数可设，
因为,故，
即,即，
故,即，
故；
（2）函数的对称轴为，
则当，即时，在单调递减，；
当，即时，；
当时，在单调递增，，
.
【点睛】本题主要考查二次函数的解析式求解以及二次函数最值的问题等,属于中等题型.
18、（1）
（2）
【解析】（1）根据即可求出实数a的值；
（2）令，根据由求得的值，再根据正弦函数的性质分析的取值情况，结合题意即可得出答案.
【小问1详解】
解：，
∴，∴；
【小问2详解】
解：令，则，
由得，
∵在[－，]上是增函数，在[，]上是减函数，
且，
∴时，x有两个值；
或时，x有一个值，
其它情况，x值不存在，
∴时函数f（x）只有1个零点，
时，，要f（x）有2个零点，
有，∴
时，，要f（x）有2个零点，
有，
综上，f（x）有两个零点时，a的取值范围是.
19、（1）当时，（2），
【解析】（1）根据函数的奇偶性，求解解析式即可；
（2）根据题意，结合函数单调性，将问题转化为是方程的两个根的问题，进而解方程即可得答案.
【详解】（1）当时，，于是.
因为是定义在上的奇函数，
所以，即.
（2）假设存在正实数，当时，且的值域为，
根据题意，，
因为，
则，得.
又函数在上是减函数，所以，
由此得到：是方程的两个根，
解方程求得
所以，存在正实数，当时，且的值域为
20、（1），为上的增函数；
（2）.
【解析】（1）由奇函数的定义即可求解的值，因为，所以由复合函数单调性的判断法则即可判断的单调性；
（2）由题意，原问题等价于，令，则，利用二次函数的性质可求得的最小值，从而即可得答案.
【小问1详解】
解：∵函数是R上的奇函数，
∴，即对任意恒成立，
∴，
∵，
又在上单调递增且，且在单调递增，
所以为上的增函数；
【小问2详解】
解：由已知在内有解，即在有解，
令，则，
因为在上单调递减，
所以，
所以，
所以实数b的取值范围为.
21、 (1) f(x)的最大值是4 (2) －
【解析】（1）先由向量数量积坐标表示得到函数的三角函数解析式，再将其化简得到f（x）=4sin (x∈R)，最大值易得；
（2）若 且＝1，，解三角方程求出符合条件的x的三角函数值，再有余弦的和角公式求的值
【详解】(1)因为f(x)＝m·n＝cosx(2＋sinx)＋sinx·(2－cosx)
＝2 (sinx＋cosx)＝4sin (x∈R)，
所以f(x)的最大值是4.
(2)因为f(x)＝1，所以sin＝.
又因为x∈，即x＋∈.
所以cos＝－
cos＝cos.
＝coscos－sinsin
＝－×－×＝－.
【点睛】本题考查平面向量的综合题