陕西省咸阳市百灵中学2025年数学高一第一学期期末联考试题含解析.doc

陕西省咸阳市百灵中学2025年数学高一第一学期期末联考试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．某流行病调查中心的疾控人员针对该地区某类只在人与人之间相互传染的疾病，通过现场调查与传染源传播途径有关的蛛丝马迹，根据传播链及相关数据，建立了与传染源相关确诊病例人数与传染源感染后至隔离前时长t（单位：天）的模型：.已知甲传染源感染后至隔离前时长为5天，与之相关确诊病例人数为8；乙传染源感染后至隔离前时长为8天，与之相关确诊病例人数为20.若某传染源感染后至隔离前时长为两周，则与之相关确诊病例人数约为（）
A.44 B.48
C.80 D.125
2．若且则的值是.
A. B.
C. D.
3．函数在上的最小值为，最大值为2，则的最大值为（）
A. B.
C. D.2
4．现在人们的环保意识越来越强，对绿色建筑材料的需求也越来越高．某甲醛检测机构对某种绿色建筑材料进行检测，一定量的该种材料在密闭的检测房间内释放的甲醛浓度（单位：）随室温（单位：℃）变化的函数关系式为（为常数）．若室温为20℃时该房间的甲醛浓度为，则室温为30℃时该房间的甲醛浓度约为（取）（）
A. B.
C. D.
5．设全集，集合，，则=（）
A. B.
C. D.
6．各侧棱长都相等，底面是正多边形的棱锥称为正棱锥，正三棱锥的侧棱长为，侧面都是直角三角形，且四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A. B.
C. D.
7．已知则（）
A. B.
C. D.
8．定义域在R上的函数是奇函数且，当时，，则的值为（）
A. B.
C D.
9． “学生甲在河北省”是“学生甲在沧州市”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
10．若关于的不等式在恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知指数函数（且）在区间上的最大值是最小值的2倍，则______
12．函数的最大值为___________.
13．已知函数是定义在上的奇函数，若时，，则时，__________
14．已知函数f（x）=lg（x2+2ax-5a）在[2，+∞）上是增函数，则a的取值范围为______
15．函数是偶函数，且它的值域为，则__________
16．已知函数对于任意，都有成立，则___________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数.
（1）求函数的最大值及相应的取值；
（2）方程在上有且只有一个解，求实数的取值范围；
（3）是否存在实数满足对任意，都存在，使成立.若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.
18．筒车是我国古代发哪的一种水利灌溉工具，因其经济环保，至今还在农业生产中得到使用．明朝科学家徐光启在《农政全书》中描绘了筒车的工作原理．如图1是一个半径为R（单位：米），有24个盛水筒的筒车，按逆时针方向匀速旋转，转一周需要120秒，为了研究某个盛水筒P离水面高度h（单位，米）与时间t（单位：秒）的变化关系，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy．已知时P的初始位置为点（此时P装满水）.

（1）P从出发到开始倒水入槽需要用时40秒，求此刻P距离水面的高度（结果精确到0.1）；
（2）记与P相邻的下一个盛水筒为Q，在简车旋转一周的过程中，求P与Q距离水面高度差的最大值（结果精确到0.1）
参考数据：，，，
19．已知.
（1）求函数的最小正周期及在区间的最大值；
（2）若，求的值.
20．国家质量监督检验检疫局于2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验》国家标准．新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升，小于80毫克/百毫升为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车．经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如下：

该函数模型如下：

根据上述条件，回答以下问题：
（1）试计算喝1瓶啤酒多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？
（2）试计算喝一瓶啤酒多少小时后才可以驾车？（时间以整小时计算）
（参考数据：）
21．已知定义域为的函数是奇函数
（1）求，的值；
（2）用定义证明在上为减函数；
（3）若对于任意，不等式恒成立，求的范围
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】根据求得，由此求得的值.
【详解】依题意得，，，所以.故若某传染源感染后至隔离前时长为两周，则相关确诊病例人数约为125.
故选：D
2、C
【解析】由题设，又，则，所以，，应选答案C
点睛：角变换是三角变换中的精髓，也是等价化归与转化数学思想的具体运用，求解本题的关键是巧妙地将一个角变为已知两角的差，再运用三角变换公式进行求解．
3、B
【解析】将写成分段函数，画出函数图象数形结合，即可求得结果.
【详解】当x≥0时，，
当＜0时，，
作出函数的图象如图：

当时，由=，解得=2
当时，
当＜0时，由,
即，
解得=，
∴此时=，
∵[]上的最小值为，最大值为2，
∴2，，
∴的最大值为，
故选：B
【点睛】本题考查含绝对值的二次型函数的最值，涉及图象的绘制，以及数形结合，属综合基础题.
4、D
【解析】由题可知，，求出，在由题中的函数关系式即可求解.
【详解】由题意可知，，解得，
所以函数的解析式为，
所以室温为30℃时该房间的甲醛浓度约为
.
故选：D.
5、B
【解析】根据题意和补集的运算可得，利用交集的概念和运算即可得出结果.
【详解】由题意知，
所以.
故选：B
6、D
【解析】因为侧棱长为a的正三棱锥P﹣ABC的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，三棱锥的正方体的一个角，把三棱锥扩展为正方体，它们有相同的外接球，球的直径就是正方体的对角线，正方体的对角线长为：；所以球的表面积为：4π =3πa2
故答案为D．
点睛：本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线，这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，有时也可利用补体法得到半径．
7、D
【解析】先利用同角三角函数基本关系式求出和，然后利用两角和的余弦公式展开代入即可求出cos（α+β）
【详解】∵
∴
∴，
∴，
∴

故选：D
8、A
【解析】根据函数的奇偶性和周期性进行求解即可.
【详解】因为，所以函数的周期为，
因为函数是奇函数，当时，，
所以，
故选：A
9、B
【解析】直接利用充分条件与必要条件的定义判断即可.
【详解】因为若“学生甲在沧州市”则“学生甲一定在河北省”，必要性成立；
若“学生甲在河北省”则“学生甲不一定在沧州市”，充分性不成立，
所以“学生甲在河北省”是“学生甲在沧州市”的必要不充分条件，
故选：B
10、A
【解析】转化为当时，函数的图象不在的图象的上方，根据图象列式可解得结果.
【详解】由题意知关于的不等式在恒成立，
所以当时，函数的图象不在的图象的上方，

由图可知，解得.
故选：A
【点睛】关键点点睛：利用函数的图象与函数的图象求解是解题关键.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、或2
【解析】先讨论范围确定的单调性，再分别进行求解.
【详解】①当时，，得；②当时，，得，故或2
故答案为：或2.
12、
【解析】根据二次函数的性质，结合给定的区间求最大值即可.
【详解】由，则开口向上且对称轴为，又，
∴，，故函数最大值为.
故答案为：.
13、
【解析】函数是定义在上的奇函数，当时，当时，则，，故答案为.
14、
【解析】利用对数函数的定义域以及二次函数的单调性，转化求解即可
【详解】解：函数f（x）＝lg（x2+2ax﹣5a）在[2，+∞）上是增函数，
可得：，解得a∈[﹣2，4）
故答案为[﹣2，4）
【点睛】本题考查复合函数的单调性的应用，考查转化思想以及计算能力
15、
【解析】展开，由是偶函数得到或，分别讨论和时的值域，确定，的值，求出结果.
【详解】解：为偶函数，
所以，即或，
当时，值域不符合，所以不成立；
当时，，若值域为，则，所以
.
故答案为：.
16、##
【解析】由可得时，函数取最小值，由此可求.
【详解】，其中，．因为，所以，，解得，，则
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）2，
（2）或
（3）存在，
【解析】（1）由三角恒等变换化简函数，再根据正弦函数性质可求得答案；
（2）将问题转化为函数与函数在上只有一个交点.由函数的单调性和最值可求得实数的取值范围；
（3）由（1）可知，由已知得，成立，令，其对称轴，分，，讨论函数的最小值，建立不等式，求解即可.
【小问1详解】
解：由得.
令，解得，
∴函数的最大值为2，此时；
【小问2详解】
解：方程在上有且有一个解，即函数与函数在上只有一个交点.
∵，∴.
∵函数在上单调递增，在上单调递减，
且，，.
∴或；
【小问3详解】
解：由（1）可知，∴.
实数满足对任意，都存在，使得成立，即成立，
令，其对称轴，∵，
∴①当时，即，，∴；
②当，即时，，∴；
③当，即时，，∴.
综上可得，存在满足题意的实数，的取值范围是.
18、（1）m
（2）m
【解析】（1）根据题意P从出发到开始倒水入槽用时40秒，可知线段OA按逆时针方向旋转了，由，可求圆的半径，由题意可知以OA为终边的角为，由此即可求出P距离水面的高度；
（2）由题意可知P转动的角速度为rad/s，易知P开始转动t秒后距离水面的高度的解析式，设P，Q两个盛水筒分别用点B，C表示，易知，点C相对于点B始终落后rad，求出Q距离水面的高度，可得则P，Q距离水面的高度差，再根据三角函数的性质，即可求出结果.
【小问1详解】
解：由于筒车转一周需要120秒，所以P从出发到开始倒水入槽的40秒，线段OA按逆时针方向旋转了，因为A点坐标为，得，以OA为终边的角为，所以P距离水面的高度m
【小问2详解】
解：由于筒车转一周需要120秒，可知P转动的角速度为rad/s，又以OA为终边的角为，则P开始转动t秒后距离水面的高度，

如图，P，Q两个盛水筒分别用点B，C表示，则，点C相对于点B始终落后rad，此时Q距离水面的高度
则P，Q距离水面的高度差
，
利用，可得
当或，即或时，最大值为
所以，筒车旋转一周的过程中，P与Q距离水面高度差的最大值约为m
19、 (1)1;(2)
【解析】（1）化简得f（x）＝sin（2x），求出函数的最小正周期以及最大值；
（2）由（1）知，，考虑x0的取值范围求出cos（2x0）的值，求出的值
【详解】解：（1）
∴，
∴函数的最小正周期为T＝π；
∵ ，故 单调增，单调减
∴ 所以 在区间的最大值是1.
(2)∵，，∴，
又所以，故

【点睛】本题考查了三角函数的求值问题以及三角函数的图象与性质的应用问题，解题时应细心作答，以免出错，是基础题
20、（1）喝1瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精含量达到最大值53毫克/百毫升；（2）喝1瓶啤酒后需6小时后才可以驾车.
【解析】（1）由图可知，当函数取得最大值时，，
此时，
当，即时，函数取得最大值为.
故喝1瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精含量达到最大值53毫克/百毫升.
（2）由题意知，当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/百毫升时可以驾车，此时.
由，得：，
两边取自然对数得：
即，
∴，故喝1瓶啤酒后需6小时后才可以驾车.
21、（1），；（2）证明见解析；（3）.
【解析】（1）根据奇函数定义，利用且，列出关于、的方程组并解之得；
（2）根据函数单调性的定义，任取实数、，通过作差因式分解可证出：当时，，即得函数在上为减函数；
（3）根据函数的单调性和奇偶性，将不等式转化为：对任意的都成立，结合二次函数的图象与性质，可得的取值范围
【详解】解：（1）为上的奇函数，，可得
又（1）
，解之得
经检验当且时，，满足是奇函数.
（2）由（1）得，
任取实数、，且
则
，可得，且
，即，函数在上为减函数；
（3）根据（1）（2）知，函数是奇函数且在上为减函数
不等式恒成立，即
也就是：对任意的都成立
变量分离，得对任意的都成立，
，当时有最小值为
，即的范围是
【点睛】本题以含有指数式的分式函数为例，研究了函数的单调性和奇偶性，并且用之解关于的不等式，考查了基本初等函数的简单性质及其应用，属于中档题