广东省揭阳普宁市2025-2026学年高二上数学期末教学质量检测试题含解析.doc

广东省揭阳普宁市2025-2026学年高二上数学期末教学质量检测试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知椭圆的右焦点为，为坐标原点，为轴上一点，点是直线与椭圆的一个交点，且，则椭圆的离心率为（）
A. B.
C. D.
2．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记{两次的点数均为奇数}，{两次的点数之和为8}，则（）
A. B.
C. D.
3．若实数x，y满足不等式组，则的最小值为（）
A. B.0
C. D.2
4．已知数列为等比数列，，则的值为（）
A. B.
C. D.2
5．在等比数列{}中，，，则=（）
A.9 B.12
C.±9 D.±12
6．已知是数列的前项和，，则数列是（）
A.公比为3的等比数列 B.公差为3的等差数列
C.公比为的等比数列 D.既非等差数列，也非等比数列
7．已知直线过点，当直线与圆有两个不同的交点时，其斜率的取值范围是（）
A. B.
C. D.
8．已知直线与直线垂直，则（ ）
A. B.
C. D.
9．已知点，，直线与线段相交，则实数的取值范围是（）
A.或 B.或
C. D.
10．直线的倾斜角，则其斜率的取值范围为（）
A. B.
C. D.
11．在棱长为2的正方体中，是棱上一动点，点是面的中心，则的值为（ ）
A.4 B.
C.2 D.不确定
12．若数列满足，，则数列的通项公式为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知是定义在上的奇函数，当时，则当时___________.
14．设函数，，若存在，成立，则实数的取值范围为__________.
15．圆锥的高为1，底面半径为，则过圆锥顶点的截面面积的最大值为____________
16．已知点，抛物线的焦点为，点是抛物线上任意一点，则周长的最小值是__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在三棱锥中，侧面PAB是边长为4的正三角形且与底面ABC垂直，点D，E，F，H分别是棱PA，AB，BC，PC的中点

（1）若点G在棱BC上，且BG＝3GC，求证：平面∥平面DHG；
（2）若AC＝2，，求二面角的余弦值
18．（12分）如图，已知椭圆的左顶点，过右焦点的直线与椭圆相交于两点，当直线轴时，.

（1）求椭圆的方程；
（2）记,的面积分别为，求的取值范围；
（3）若的重心在圆上，求直线的斜率.
19．（12分）已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，若x＝时，y＝f(x)有极值
（1）求a，b，c的值;
（2）求y＝f(x)在区间[－3，1]上最大值和最小值
20．（12分）已知数列的前项和为，且
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
21．（12分）已知函数f(x)=x-mlnx-m.
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）若函数f(x)有最小值g(m)，证明：g(m) 在上恒成立.
22．（10分）如图，四棱柱的底面为正方形，平面，，，点在上，且.

（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求平面与平面夹角的余弦值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】设椭圆的左焦点为，由椭圆的对称性可知，则，所以，即可得到的关系，利用椭圆的定义进而求得离心率.
【详解】设椭圆的左焦点为，连接，
因为，所以，如图所示，

所以，
设，，则，
所以，
故选：D.
2、B
【解析】利用条件概率公式进行求解.
【详解】，其中表示：两次点数均为奇数，且两次点数之和为8，共有两种情况，即，故，而，所以，
故选：B
3、A
【解析】画出可行域，令，则，结合图形求出最小值，即可得解；
【详解】解：画出不等式组，表示的平面区域如图阴影部分所示，由，解得，即，

令，则．结合图形可知当过点时，取得最小值，且，即
故选：A
4、B
【解析】根据等比数列的性质计算.
【详解】由等比数列的性质可知，且等比数列奇数项的符号相同，所以，
即.
故选：B
5、D
【解析】根据题意，设等比数列的公比为，由等比数列的性质求出，再求出
【详解】根据题意，设等比数列的公比为，
若，，则，变形可得，
则，
故选：
6、D
【解析】由得，然后利用与的关系即可求出
【详解】因为，所以
所以当时，
时，
所以
故数列既非等差数列，也非等比数列
故选：D
【点睛】要注意由求要分两步：1.时，2.时.
7、A
【解析】设直线方程，利用圆与直线的关系，确定圆心到直线的距离小于半径，即可求得斜率范围.
【详解】如下图：
设直线l的方程为即

圆心为，半径是1
又直线与圆有两个不同的交点

故选：A

8、D
【解析】根据互相垂直两直线的斜率关系进行求解即可.
【详解】由，所以直线的斜率为，
由，所以直线的斜率为，
因为直线与直线垂直，
所以，
故选：D
9、B
【解析】由可求出直线过定点，作出图象，求出和，数形结合可得或，即可求解.
【详解】由可得：，
由可得，所以直线：过定点，
作出图象如图所示：

，，
若直线与线段相交，则或，
所以实数的取值范围是或，
故选：B
10、B
【解析】根据倾斜角和斜率的关系，确定正确选项.
【详解】直线的倾斜角为，则斜率为，在上为增函数.
由于直线的倾斜角，所以其斜率的取值范围为，即.
故选：B
【点睛】本小题主要考查倾斜角和斜率的关系，属于基础题.
11、A
【解析】画出图形，建立空间直角坐标系，用向量法求解即可
【详解】如图，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
因为正方体棱长为2，点是面的中心，是棱上一动点，
所以，，
，

故选：A

12、B
【解析】根据等差数列的定义和通项公式直接得出结果.
【详解】因为，
所以数列是等差数列，公差为1，
所以.
故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】当时，利用及求得函数的解析式.
【详解】当时，，由于函数是奇函数，故.
【点睛】本小题主要考查已知函数的奇偶性以及轴一侧的解析式，求另一侧的解析式，属于基础题.
14、
【解析】由不等式分离参数，令，则求即可
【详解】由，得，
令，则
当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，
故
由于存在，成立，则
故答案为：
15、2
【解析】求出圆锥轴截面顶角大小，判断并求出所求面积最大值
【详解】如图，是圆锥轴截面，是一条母线，
设轴截面顶角为，因为圆锥的高为1，底面半径为，所以，，
所以，，
设圆锥母线长为，则，
截面的面积为，
因为，所以时，
故答案为：2

16、##
【解析】利用抛物线的定义结合图形即得.
【详解】抛物线的焦点为，准线的方程为，
过点作，垂足为，则，

所以的周长为
，
当且仅当三点共线时等号成立.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】（1）由中位线的性质可得、、，再由线面平行的判定可证平面PEF、平面PEF，最后根据面面平行的判定证明结论.
（2）应用勾股定理、等边三角形的性质、面面和线面垂直的性质可证、、两两垂直，构建空间直角坐标系，求面BPC、面PCA的法向量，再应用空间向量夹角的坐标表示求二面角的余弦值.
【小问1详解】
因为D，H分别是PA，PC的中点，所以
因为E，F分别是AB，BC的中点，所以，
综上，，又平面PEF，平面PEF，
所以平面PEF
由题意，G是CF的中点，又H是PC的中点，
所以，又平面PEF，平面PEF，
所以平面PEF
由，HG，平面DHG，所以平面平面DHG
【小问2详解】
在△ABC中，AB＝4，AC＝2，，所以，
所以，又，则
因为△PAB为等边三角形，点E为AB的中点，所以，
又平面平面ABC，平面平面ABC＝AB，
所以平面ABC，面ABC，故
综上，以E为坐标原点，以EB，EF，EP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

有，，，，则，，
设平面BPC的法向量为，则，令，则
设平面PCA的法向量为，则，令，则
所以．由图知，二面角的平面角为锐角，
所以二面角的余弦值为
18、（1）
（2）
（3）
【解析】（1）根据已知条件得到，，即可得到椭圆的方程.
（2）首先设直线为，与椭圆联立得到，根据得到的范围，从而得到的范围.
（3）设重心，根据重心性质得到，，再代入求解即可.
小问1详解】
因为左顶点，所以，
根据，可得，解得，所以；
【小问2详解】
设直线为，
则，
则，，
那么，
根据解得，
所以.
【小问3详解】
设重心，则：，
，
所以，
所以，即所求直线的斜率为.
19、（1）；（2）最大值为，最小值为.
【解析】（1）求导，结合导数的几何意义列方程组，即可得解；
（2）求导，确定函数的单调性和极值，再和端点值比较即可得解.
【详解】（1）由题意，，
因为曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，
所以，，
又当时，y＝f(x)有极值，所以，
所以；
（2）由（1）得，，
所以当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
又，，，，
所以在[－3,1]上的最大值为，最小值为.
20、（1）
（2）
【解析】（1）根据，再结合等比数列的定义，即可求出结果；
（2）由（1）可知，再利用错位相减法，即可求出结果.
【小问1详解】
解：因为，当时，，解得
当时，，
所以，
即.
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列.
故.
【小问2详解】
解：由（1）知，则，
所以①
②，
①-②得

.
所以数列的前项和
21、（1）答案见解析
（2）证明见解析
【解析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调区间.
（2）根据（1）的结论可得函数的最小值，再利用导数可证不等式.
【小问1详解】
函数的定义域为，且，
当时，在上恒成立，所以此时在上为增函数，
当时，由，解得，
由，解得，
所以在上为减函数，在上为增函数，
综上：当时，在上为增函数，
当时，在上为减函数，在上为增函数；
【小问2详解】
由（1）知:当时，在上为增函数，无最小值.
当时，在上上为减函数，在上为增函数，
所以，即，
则，
由，解得，
由，解得，
所以在上为增函数，在上为减函数，
所以，
即在上恒成立.
22、（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】（1）以为原点，所在的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量可得，即平面，再由线面垂直的性质可得答案；
（2）设直线与平面所成角的为，可得答案；
（3）由二面角的向量求法可得答案.
【小问1详解】
以为原点，所在的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
所以，即，令，则，
所以，所以，
所以平面，平面，所以.
【小问2详解】
，所以，
由（1）平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角的为，
所以直线与平面所成角的正弦值.
【小问3详解】
由已知为平面的一个法向量，且，
由（1）平面的一个法向量为，
所以，
由图可得平面与平面夹角的余弦值为.