2025年湖南省邵阳市洞口四中高一数学第一学期期末达标检测模拟试题含解析.doc

2025年湖南省邵阳市洞口四中高一数学第一学期期末达标检测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（）
A.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
B.横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
C.纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
D.纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变
2．已知函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（）
A B.
C. D.
3．已知幂函数在上是增函数，则n的值为（ ）
A. B.1
C. D.1和
4．由直线上的点向圆作切线，则切线长的最小值为（ ）
A.1 B.
C. D.3
5．从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，两个数都是奇数概率是
A. B.
C. D.
6．直线的倾斜角为
A. B.
C. D.
7．已知向量且，则x值为（）.
A.6 B.-6
C.7 D.-7
8．设函数的定义域为．则“在上严格递增”是“在上严格递增”的（）条件
A.充分不必要 B.必要不充分
C.充分必要 D.既不充分也不必要
9．已知，则的值是
A.1 B.3
C. D.
10．下面四个不等式中不正确的为
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知是定义在R上的偶函数，且在上为增函数，，则不等式的解集为___________.
12．已知集合，，则__________
13．已知函数，则的值为_________.
14．已知平面，，直线，若，，则直线与平面的位置关系为______.
15．在某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各个选项中，一定符合上述指标的是__________(填写序号)
①平均数；②标准差；③平均数且极差小于或等于2；
④平均数且标准差；⑤众数等于1且极差小于或等于4
16．设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域是，则称为“倍缩函数”．若函数为 “倍缩函数”，则实数的取值范围是_______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，正三棱柱的底面边长为3，侧棱，D是CB延长线上一点，且
求二面角的正切值；
求三棱锥的体积

18．设为奇函数，为常数.
（1）求的值
（2）若对于上的每一个的值，不等式恒成立，求实数的取值范围.
19．已知函数.

（1）在给定的坐标系中，作出函数的图象；
（2）写出函数的单调区间（不需要证明）；
（3）若函数的图象与直线有4个交点，求实数的取值范围.
20．已知函数是上的偶函数，当时，.
（1）用单调性定义证明函数在上单调递增；
（2）求当时，函数的解析式.
21．已知函数.
（1）若为偶函数，求实数m的值；
（2）当时，若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当时，关于x的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数m的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】直接利用三角函数伸缩变换法则得到答案.
【详解】为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变.
故选：B
2、C
【解析】易知函数在R上递增，由求解.
【详解】因为函数满足对任意实数，都有成立，
所以函数在R上递增，
所以，
解得，
故选：C
3、C
【解析】利用幂函数的定义与单调性即可得解.
【详解】因为函数是幂函数，所以
解得：或
当时，在上是增函数，符合题意.
当时，在上是减函数，不符合题意.
故选：C
【点睛】易错点睛：本题主要考查了幂函数的定义及性质，利用幂函数的定义知其系数为1，解方程即可，一定要验证是否符合在上是增函数的条件，考查了学生的运算求解的能力，属于基础题.
4、B
【解析】先求圆心到直线的距离，此时切线长最小，由勾股定理不难求解切线长的最小值
【详解】切线长的最小值是当直线上的点与圆心距离最小时取得，
圆心到直线的距离为，
圆的半径为1，
故切线长的最小值为，
故选：B
【点睛】本题考查圆的切线方程，点到直线的距离，是基础题
5、A
【解析】从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，共有
(12),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)
(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)共12种
其中满足条件两个数都是奇数的有(1,3),(3,1)两种情况
故从1,2,3,4这4个数中,不放回地任意取两个数,两个数都是奇数的概率.
故选A.
6、B
【解析】设直线x﹣y+3=0的倾斜角为θ
由直线x﹣y+3=0化为y=x+3，
∴tanθ=，
∵θ∈[0，π），∴θ=60°
故选B
7、B
【解析】利用向量垂直的坐标表示可以求解.
【详解】因为，，所以，即；
故选：B.
【点睛】本题主要考查平面向量垂直的坐标表示，熟记公式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
8、A
【解析】利用特例法、函数单调性的定义结合充分条件、必要条件的定义判断可得出合适的选项.
【详解】若函数在上严格递增，对任意的、且，，
由不等式的性质可得，即，
所以，在上严格递增，
所以，“在上严格递增”“在上严格递增”；
若在上严格递增，不妨取，
则函数在上严格递增，但函数在上严格递减，
所以，“在上严格递增”“在上严格递增”.
因此，“在上严格递增”是“在上严格递增”的充分不必要条件.
故选：A.
9、D
【解析】由题意结合对数的运算法则确定的值即可.
【详解】由题意可得：，
则
本题选择D选项.
【点睛】本题主要考查指数对数互化，对数的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
10、B
【解析】A，利用三角函数线比较大小；B，取中间值1和这两个数比较；C，利用对数函数图象比较这两个数的大小；D，取中间值1和这两个数比较
【详解】解：A，如图，利用三角函数线可知，所对的弧长为，，
∴，A对；

B，由于，B错；
C，如图，，则，C对；

D，，D对；
故选：B
【点睛】本题主要考查比较两个数的大小，考查三角函数线的作用，考查指对数式的大小，属于基础题

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】根据题意求出函数的单调区间及所过的定点，进而解出不等式.
【详解】因为是定义在R上的偶函数，且在上为增函数，，所以函数在上为减函数，.
所以且在上为增函数，，在上为减函数，.
所以的解集为：.
故答案为：.
12、
【解析】因为集合，，所以，故答案为.
13、
【解析】，填.
14、
【解析】根据面面平行的性质即可判断.
【详解】若，则与没有公共点，
，则与没有公共点，故.
故答案为：.
【点睛】本题考查面面平行的性质，属于基础题.
15、③⑤
【解析】按照平均数、极差、方差依次分析各序号即可.
【详解】连续7天新增病例数：0，0，0，0，2，6，6，平均数是2<3，①错；
连续7天新增病例数：6，6，6，6，6，6，6，标准差是0<2，②错；
平均数且极差小于或等于2，单日最多增加4人，若有一日增加5人，
其他天最少增加3人，不满足平均数，所以单日最多增加4人，③对；
连续7天新增病例数：0，3，3，3，3，3，6，平均数是3且标准差小于2，④错；
众数等于1且极差小于或等于4，最大数不会超过5，⑤对.
故答案为：③⑤.
16、
【解析】由题意得，函数是增函数，构造出方程组，利用方程组的解都大于0，求出t的取值范围.
【详解】因为函数为“倍缩函数”，即满足存在，使在上的值域是，
由复合函数单调性可知函数在上是增函数
所以，则，即
所以方程有两个不等实根，且两根都大于0.
令，则，所以方程变为：.
则，解得
所以实数的取值范围是.
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）2（2）
【解析】取BC中点O，中点E，连结OE，OA，以O为原点，OD为x轴，OE为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的正切值
三棱锥的体积，由此能求出结果
【详解】取BC中点O，中点E，连结OE，OA，
由正三棱柱的底面边长为3，侧棱，D是CB延长线上一点，且
以O为原点，OD为x轴，OE为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，
则3，，0，，0，，0，，
所以0，，3，，
其中平面ABD的法向量1，，
设平面的法向量y，，则，
取，得1，，
设二面角的平面角为，则，则，
则，所以二面角的正切值为2
由（1）可得平面，所以是三棱锥的高，且,
所以三棱锥的体积：

【点睛】本题主要考查了二面角的求解，及空间几何体的体积的计算，其中解答中根据几何体的结构特征，建立适当的空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求解二面角问题是求解空间角的常用方法，同时注意“等体积法”在求解三棱锥体积中的应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题
18、（1）；
（2）.
【解析】（1）根据函数为奇函数求参数值，注意验证是否符合题设.
（2）将问题转化为在上恒成立，根据解析式判断的区间单调性，即可求的范围.
小问1详解】
由题设，，
∴，
即，故，
当时，，不成立，舍去；
当时，，验证满足.
综上：.
【小问2详解】
由，即，
又为增函数，由（1）所得解析式知：上递增，
∴在单调递增-
故，故.
19、（1）图象见解析；（2）单调增区间为；单调减区间是为；（3）.
【解析】（1）分段依次作出图象即可；
（2）看图写出单调区间即可；
（3）作出直线图象，数形结合得到实数的取值范围即可.
【详解】解：（1）作图如下：

（2）看图可知函数的单调增区间为，函数的单调减区间为；
（3）如图，若函数的图象与直线有4个交点，则需.
所以实数的取值范围为.
20、（1）详见解析；
（2）.
【解析】（1）利用单调性的定义即证；
（2）当时，可得，再利用函数的奇偶性即得.
【小问1详解】
，且，则
，
∵，且，
∴，
∴，即，
∴函数在上单调递增；
【小问2详解】
当时，，
∴，又函数是上的偶函数，
∴，
即当时，.
21、（1）-1；（2）；
（3）
【解析】（1）根据偶函数解得：m=-1，再用定义法进行证明；
（2）记，判断出在上单增，列不等式组求出实数a的取值范围；
（3）先判断出在R上单增且，令，把问题转化为在上有两根，令，，利用图像有两个交点，列不等式求出实数m的取值范围.
【小问1详解】
定义域为R.
因为为偶函数，所以，即，解得：m=-1.
此时，
所以
所以偶函数，
所以m= -1.
【小问2详解】
当时，不等式可化为：，
即对任意恒成立.
记，只需.
因为在上单增，在上单增，
所以在上单增，
所以，
所以，解得：，
即实数a的取值范围为.
【小问3详解】
当时，在R上单增，在R上单增，所以在R上单增且.
则可化为.
又因为在R上单增，所以，换底得：
，即.
令，则，问题转化为在上有两根，
即，
令，，分别作出图像如图所示：

只需，解得：.
即实数m的取值范围为.
【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解