2025年江西省名校学术联盟高一上数学期末经典试题含解析.doc

2025年江西省名校学术联盟高一上数学期末经典试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2．若偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，且f（3）=0，则不等式（x﹣1）f（x）＞0的解集是
A. B.
C D.，
3．已知直线与直线平行，则的值为
A.1 B.-1
C.0 D.-1或1
4．设非零向量、、满足，，则向量、的夹角（ ）
A. B.
C. D.
5．若函数是偶函数，则满足的实数的取值范围是
A. B.
C. D.
6．已知集合，集合，则（）
A. B.
C. D.
7．已知函数的部分图象如图所示，若函数的图象由的图象向右平移个单位长度得到，则（）

A. B.
C. D.
8．如图，在中，已知为上一点，且满足，则实数值为

A. B.
C. D.
9．关于的方程的实数根的个数为（）
A.6 B.4
C.3 D.2
10．是上的奇函数，满足，当时，，则（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．如果对任意实数x总成立，那么a的取值范围是____________.
12．已知幂函数过定点，且满足，则的范围为________
13．①函数y=sin2x的单调增区间是[]，（k∈Z）；②函数y=tanx在它的定义域内是增函数；③函数y=|cos2x|的周期是π；④函数y=sin（）是偶函数；其中正确的是____________
14．已知关于x的不等式的解集为，则的解集为_________
15．已知，，与的夹角为60°，则________.
16．已知集合
（1）当时，求的非空真子集的个数；
（2）当时，若，求实数的取值范围
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数是定义域为R的奇函数.
（1）求t的值，并写出的解析式；
（2）判断在R上的单调性，并用定义证明；
（3）若函数在上的最小值为，求k的值.
18．已知函数
（1）求函数的单调递减区间；
（2）若关于的方程有解，求的取值范围
19．已知函数为奇函数.
（1）求的值；
（2）判断并证明在的单调性.
20．已知函数，.
（1）求的最小正周期和最大值；
（2）设，求函数的单调区间.
21．已知函数
（1）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明其结论；
（2）求函数在区间上的最大值与最小值
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】解两个不等式，利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】解不等式可得，解不等式可得或，
因为Ü或，
因此，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
2、B
【解析】由偶函数在区间上单调递减，且，所以在区间上单调递增，且，即函数对应的图象如图所示，则不等式等价为或，解得或，故选B

考点：不等关系式的求解
【方法点晴】本题主要考查了与函数有关的不等式的求解，其中解答中涉及到函数的奇偶性、函数的单调性，以及函数的图象与性质、不等式的求解等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能，以及推理与运算能力，试题比较基础，属于基础题，本题的解得中利用函数的奇偶性和单调性，正确作出函数的图象是解答的关键
3、A
【解析】由于直线l1：ax＋y－1＝0与直线l2：x＋ay＋＝0平行所以，
即－1或1，经检验成立.
故选A.
4、B
【解析】根据已知条件，应用向量数量积的运算律可得，由得，即可求出向量、的夹角.
【详解】由题意，，即，
∵，
∴，则，又，
∴.
故选：B
5、D
【解析】结合为偶函数，建立等式，利用对数计算性质，计算m值，结合单调性，建立不等式，计算x范围，即可
【详解】，，，,令,则
,则,当,递增,结合复合函数单调性
单调递增,故偶函数在上是增函数，所以由，得，.
【点睛】本道题考查了偶函数性质和函数单调性知识，结合偶函数，计算m值，利用单调性，建立关于x的不等式，即可
6、C
【解析】解不等式求出集合A中的x的范围，然后求出A的补集，再与集合B求交集即可.
【详解】集合，
则
集合，
，
故选：C.
【点睛】本题考查了集合的基本运算，属于基础题.
7、A
【解析】结合图象利用五点法即可求得函数解析式.
【详解】由图象可得解得，
因为，所以．又因为，所以
因为，所以，，即，．又因为，所以．．
故选：A.
8、B
【解析】所以，所以。故选B。
9、D
【解析】转化为求或的实根个数之和，再构造函数可求解.
【详解】因为，所以，
所以，
所以或，
令，则或，
因为为增函数，且的值域为，
所以和都有且只有一个实根，且两个实根不相等，
所以原方程的实根的个数为.
故选：D
10、D
【解析】根据函数的周期性与奇偶性可得，结合当时，，得到结果.
【详解】∵
∴的周期为4，
∴，
又是上奇函数，当时，，
∴，
故选：D
【点睛】本题考查函数的周期性与奇偶性，解题的关键是根据函数的性质将未知解析式的区间上函数的求值问题转化为已知解析式的区间上来求，本题考查了转化化归的能力及代数计算的能力.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】先利用绝对值三角不等式求出的最小值，进而求出a的取值范围.
【详解】，当且仅当时等号成立，故，所以a的取值范围是.
故答案为：
12、
【解析】根据幂函数所过的点求出解析式，利用奇偶性和单调性去掉转化为关于的不等式即可求解.
【详解】设幂函数，其图象过点，
所以，即，解得：，所以，
因为，
所以为奇函数，且在和上单调递减，
所以可化为，
可得，解得：，
所以的范围为，
故答案为：．
13、①④
【解析】①由，解得．可得函数单调增区间；
②函数在定义域内不具有单调性；
③由，即可得出函数的最小正周期；
④利用诱导公式可得函数，即可得出奇偶性
【详解】解：①由，解得．可知：函数的单调增区间是，，，故①正确；
②函数在定义域内不具有单调性，故②不正确；
③，因此函数的最小正周期是，故③不正确；
④函数是偶函数，故④正确
其中正确的是①④
故答案为：①④
【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题
14、或
【解析】由已知条件知，结合根与系数关系可得，代入化简后求解，即可得出结论.
【详解】关于x的不等式的解集为，
可得，方程的两根为，
∴,
所以，代入得，
，即，
解得或.
故答案为: 或.
【点睛】本题考查一元二次不等式与一元二次方程的关系，以及解一元二次不等式，属于基础题.易错点是忽视对的符号的判断.
15、10
【解析】由数量积的定义直接计算.
【详解】.
故答案为：10.
16、（1）30（2）或
【解析】（1）当时，可得中元素的个数，进而可得的非空真子集的个数；
（2）根据，可分和两种情况讨论，可得出实数的取值范围
【小问1详解】
当时，，共有5个元素，
所以的非空真子集的个数为
【小问2详解】
（1）当时，，解得；
（2）当时，根据题意作出如图所示的数轴，

可得或
解得：或
综上可得，实数的取值范围是或

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）或，；（2）R上单调递增，证明见解析；（3）
【解析】（1）是定义域为R的奇函数，利用奇函数的必要条件，求出的值，进而求出，验证是否为奇函数；
（2）可判断在上为增函数，用函数的单调性定义加以证明，取两个不等的自变量，对应函数值做差，因式分解，判断函数值差的符号，即可证明结论；
（3）由，换元令，，由（2）得，，根据条件转化为在最小值为-2，对二次函数配方，求出对称轴，分类讨论求出最小值，即可求解
【详解】解：（1）因为是定义域为R的奇函数，
所以，即，解得或，
可知，此时满足，
所以.
（2）在R上单调递增.
证明如下：设，则
.
因为，所以，
所以，可得.
因为当时，有，
所以R单调递增.
（3）由（1）可知，
令，则，
因为是增函数，且，所以.
因为在上的最小值为，
所以在上的最小值为.
因为，
所以当时，，
解得或（舍去）；
当时，，不合题意，舍去.
综上可知，.
【点睛】本题考查函数的奇偶性应用和单调性的证明，考查复合函数的最值，用换元方法，将问题化归为二次函数函数的最值，属于较难题.
18、（1）；
（2）.
【解析】（1）由二倍角正余弦公式、辅助角公式可得，根据正弦函数的性质，应用整体法求单调减区间.
（2）由正弦型函数的性质求值域，结合题设方程有解，即可确定参数范围.
【小问1详解】
，
令，解得，
所以函数的单调递减区间是.
【小问2详解】
∵，
∴，又有解，
所以m的取值范围
19、（1）
（2）在上单调递增，在上单调递减，证明过程见解析.(1)
【解析】（1）根据奇函数的性质和定义进行求解即可；
（2）根据函数的单调性的定义进行判断证明即可.
【小问1详解】
因为是奇函数，所以，
因为，所以是奇函数，因此；
【小问2详解】
在上单调递增，在上单调递减，证明如下：
设是上的任意两个实数，且，
，
当时，
，
所以在上单调递增，
当时，
，
所以在上单调递减.
20、（1）最小正周期为，最大值.
（2）单调减区间为，单调增区间为
【解析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为，利用正弦型函数的周期公式以及正弦函数的有界性可求得结果；
（2）求得，利用余弦型函数的基本性质可求得函数的增区间和减区间.
小问1详解】
解：.
所以，的最小正周期.
当时，取得最大值
【小问2详解】
解：由（1）知，
又，
由，解得，
所以，函数的单调增区间为.
由，解得.
所以，函数的单调减区间为.
21、（1）证明见解析；（2）最大值为；小值为
【解析】（1）利用单调性的定义，任取，且，比较和0即可得单调性；
（2）由函数的单调性即可得函数最值.
试题解析：
（1）解：在区间上是增函数.
证明如下：
任取，且，
.
∵，
∴，即.
∴函数在区间上是增函数.
（2）由（1）知函数在区间上是增函数，
故函数在区间上的最大值为，
最小值为.
点睛：本题考查利用函数的奇偶性求函数解析式,判断并证明函数的单调性,属于中档题目.证明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取，并且（或）；（2）作差：，并将此式变形（要注意变形到能判断整个式子符号为止）；（3）定号：和0比较；
（4）下结论