2025年四川省三台中学实验学校数学高二第一学期期末检测试题含解析.doc

2025年四川省三台中学实验学校数学高二第一学期期末检测试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设椭圆（）的左焦点为F，O为坐标原点．过点F且斜率为的直线与C的一个交点为Q（点Q在x轴上方），且，则C的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
2．已知抛物线的焦点为F，点A在抛物线上，直线FA与抛物线的准线交于点M，O为坐标原点.若，且，则（）
A.1 B.2
C.3 D.4
3．将正整数1，2，3，4，…按如图所示的方式排成三角形数组，则第19行从左往右数第5个数是（ ）

A.381 B.361
C.329 D.400
4．已知双曲线C：-＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，若过原点倾斜角为的直线与双曲线C左右两支交于M、N两点，且MF1NF1，则双曲线C的离心率是（ ）
A.2 B.
C. D.
5．已知双曲线的两个焦点为，，是此双曲线上的一点，且满足，，则该双曲线的方程是（）
A. B.
C. D.
6．已知，若对于且都有成立，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
7．已知双曲线，则双曲线M的渐近线方程是（ ）
A. B.
C. D.
8．抛物线的准线方程为（）
A. B.
C. D.
9．设双曲线：的左，右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为（）
A.4 B.2
C. D.
10． “且”是“方程表示椭圆”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
11．已知直线的一个方向向量，平面的一个法向量，若，则（ ）
A.1 B.
C.3 D.
12．已知条件：，条件：表示一个椭圆，则是的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设是定义在上的可导函数，且满足，则不等式解集为_______
14．函数，则函数在处切线的斜率为_______________.
15．已知点，点是直线上的动点，则的最小值是_____________
16．已知向量、满足，，且，则与的夹角为___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆的离心率为，椭圆的上顶点到焦点的距离为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆相交于、两点（、不是左、右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点.
18．（12分）已知向量，.
（1）计算和；
（2）求.
19．（12分）已知分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上的一点，且的面积为1.
（1）求椭圆的短轴长；
（2）过原点的直线与椭圆交于两点，点是椭圆上的一点，若为等边三角形，求的取值范围.
20．（12分）已知直线经过点且斜率为
（1）求直线的一般式方程
（2）求与直线平行，且过点的直线的一般式方程
（3）求与直线垂直，且过点的直线的一般式方程
21．（12分）已知椭圆的一个顶点恰好是抛物线的焦点，椭圆C的离心率为.
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）从椭圆C在第一象限内的部分上取横坐标为2的点P，若椭圆C上有两个点A，B使得的平分线垂直于坐标轴，且点B与点A的横坐标之差为，求直线AP的方程.
22．（10分）已知圆内有一点，过点作直线交圆于、两点
（1）当经过圆心时，求直线的方程；
（2）当弦的长为时，求直线的方程
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】连接Q和右焦点，可知|OQ|＝，可得∠FQ＝90°，由得，写出两直线方程，联立可得Q点坐标，Q点坐标代入椭圆标准方程可得a、b、c关系﹒
【详解】设椭圆右焦点为，连接Q，

∵，，∴|OQ|＝，∴∠FQ＝90°，∵，∴，FQ过F(－c，0)，Q过(c，0)，
则，
由，
∵Q在椭圆上，∴，又，解得，
∴离心率
故选：D
2、D
【解析】设，由和在抛物线上，求出和，利用求出p.
【详解】过A作AP垂直x轴与P.抛物线的焦点为，准线方程为.

设，因为，所以，解得：.
因为在抛物线上，则.
所以，即，解得：.
故选：D
3、C
【解析】观察规律可知，从第一行起，每一行最后一个数是连续的完全平方数，据此容易得出答案.
【详解】由图中数字排列规律可知：
第1行从左往右最后1个数是，第2行从左往右最后1个数是，第3行从左往右最后1个数是，……第18行从左往右最后1个数为，第19行从左往右第5个数是
故选：C.
4、C
【解析】根据双曲线和直线的对称性，结合矩形的性质、双曲线的定义、离心率公式、余弦定理进行求解即可.
【详解】设双曲线的右焦点为F2，过原点倾斜角为的直线为，设M、N分别在第三、第一象限，
由双曲线和直线的对称性可知：M、N两点关于原点对称，而MF1NF1，因此四边形是矩形，而，
所以是等边三角形，故，因此，
因为，所以，在等腰三角形中，由余弦定理可知：
，由矩形的性质可知：，
由双曲线的定义可知：，
故选：C
【点睛】关键点睛：利用矩形的性质、双曲线的定义是解题的关键.
5、A
【解析】由，可得进一步求出，由此得到，则该双曲线的方程可求
【详解】，
即，

则
．即
，
则该双曲线的方程是：
故选：A
【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的方程，常用待定系数法，先定式（根据已知确定焦点所在的坐标轴，设出曲线的方程），再定式（根据已知建立方程组解方程组得解）.
6、D
【解析】根据题意转化为对于且时，都有恒成立，构造函数，转化为时，恒成立，求得的导数，转化为在上恒成立，即可求解.
【详解】由题意，对于且都有成立，
不妨设，可得恒成立，
即对于且时，都有恒成立，
构造函数，
可转化为，函数为单调递增函数，
所以当时，恒成立，
又由，所以在上恒成立，
即在上恒成立，
又由，所以，
即实数取值范围为.
故选：D
7、C
【解析】由双曲线的方程直接求出见解析即可.
【详解】由双曲线，则其渐近线方程为：
故选：C
8、A
【解析】将抛物线的方程化成标准形式，即可得到答案；
【详解】抛物线的方程化成标准形式，
准线方程为，
故选：A.
9、B
【解析】根据双曲线的定义及，求出，，，，再利用余弦定理计算可得；
【详解】解：依题意可知、，
又且，
所以，，，，
则，
且，
即，即，
所以离心率.
故选：B
10、B
【解析】根据充分条件、必要条件的定义和椭圆的标椎方程，判断可得出结论.
【详解】解：充分性：当，方程表示圆，充分性不成立；
必要性：若方程表示椭圆，则，必有且，必要性成立，
因此，“且”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.
故选：B.
11、D
【解析】由向量平行充要条件代入解之即可解决.
【详解】由，可知，则有，解之得
故选：D
12、B
【解析】根据曲线方程，结合充分、必要性的定义判断题设条件间的关系.
【详解】由，若，则表示一个圆，充分性不成立；
而表示一个椭圆，则成立，必要性成立.
所以是的必要不充分条件.
故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】构造函数，结合题意求得，由此判断出在上递增，由此求解出不等式的解集.
【详解】令，，
故函数在上单调递增，不等式可化为，
则，解得：
【点睛】本小题主要考查构造函数法解不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
14、
【解析】根据导数的几何意义求解即可.
【详解】解：因为，所以，
所以，
所以函数在处切线的斜率为
故答案为：
15、
【解析】直接根据点到直线的距离公式即可求出
【详解】线段最短时，与直线垂直，
所以，的最小值即为点到直线的距离，则.
故答案为：.
16、##
【解析】根据向量数量积的计算公式即可计算.
【详解】，，.
故答案为：﹒

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）证明见解析.
【解析】（1）根据已知条件求出、、的值，可得出椭圆的标准方程；
（2）设、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由已知可得出，利用平面向量数量积的坐标运算结合韦达定理可得出关于、所满足的等式，然后化简直线的方程，即可求得直线所过定点的坐标.
【小问1详解】
解：椭圆上顶点到焦点距离，
又椭圆离心率为，故，，
因此，椭圆方程为.
【小问2详解】
解：设、，由题意可知且，
椭圆的右顶点为，则，，
因为以为直径的圆过椭圆的右顶点，
所以有，则，
即，
联立，
，即，①
由韦达定理得，，
所以，，
化简得，即或，均满足①式.
当时，直线，恒过定点，舍去；
当时，直线，恒过定点.
综上所述，直线过定点.
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.
18、（1），；（2）.
【解析】（1）利用空间向量的坐标运算可求得的坐标，利用向量的模长公式可求得的值；
（2）计算出，结合的取值范围可求得结果.
【详解】（1），；
（2），
，因此，.
【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，同时也考查了利用空间向量的数量积计算向量的夹角，考查计算能力，属于基础题.
19、（1）2（2）
【解析】（1）根据题意表示出的面积，即可求得结果；
（2）分类讨论直线斜率情况，然后根据是等边三角形，得到，联立直线和椭圆方程，用点的坐标表示上述关系式，化简即可得答案.
【小问1详解】
因为，所以，
又因为，所以，
，
所以，则椭圆的短轴长为2.
【小问2详解】
若为等边三角形，应有，即.
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，且，
此时若为等边三角形，则点应为长轴顶点，且，即.
当直线的斜率为0时，直线的方程为，且，
此时若为等边二角形，则点应为短轴顶点，
此时,不为等边三角形.
当直线的斜率存在且不为0时，设其方程为，则直线的方程为.
由得,
同理.
因为，所以，
解得.
因为，所以，则，即.
综上，的取值范围是.
20、（1）（2）（3）
【解析】（1）先写点斜式方程，再化一般式，（2）根据平行设一般式，再代点坐标得结果，（3）根据垂直设一般式，再代点坐标得结果.
【详解】(1)
(2)设所求方程为因为过点，所以
(3) 设所求方程为因为过点，所以
【点睛】本题考查直线方程，考查基本分析求解能力，属基础题.
21、（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）由题意可得关于参数的方程，解之即可得到结果；
（Ⅱ）设直线AP的斜率为k，联立方程结合韦达定理可得A点坐标，同理可得B点坐标，结合横坐标之差为，可得直线方程.
【详解】（Ⅰ）由抛物线方程可得焦点为，
则椭圆C的一个顶点为，即.
由，解得.
∴椭圆C的标准方程是；
（Ⅱ）由题可知点，
设直线AP的斜率为k，由题意知，直线BP的斜率为，
设，，直线AP的方程为，即.
联立方程组
消去y得.
∵P，A为直线AP与椭圆C的交点，
∴，即.
把换成，得.
∴，解得，
当时，直线BP的方程为，经验证与椭圆C相切，不符合题意；
当时，直线BP的方程为，符合题意.
∴直线AP得方程为.
【点睛】关键点点睛：两条直线关于直线对称，两直线的倾斜角互补，斜率互为相反数.
22、（1）；（2）或
【解析】（1）求得圆心坐标，由点斜式求得直线点的方程.
（2）分成直线斜率存在和不存在两种情况进行分类讨论，由此求得直线的方程.
【详解】（1）圆心坐标为（1，0），，，
整理得
（2）圆的半径为3，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
整理得，
圆心到直线的距离为，
解得，代入整理得
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，经检验符合题意
∴直线的方程为或