2025年内蒙古巴彦淖尔市临河区三中高二数学第一学期期末联考模拟试题含解析.doc

2025年内蒙古巴彦淖尔市临河区三中高二数学第一学期期末联考模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知在等比数列中，，，则（ ）
A.9或 B.9
C.27或 D.27
2．已知双曲线的实轴长为10，则该双曲线的渐近线的斜率为（ ）
A. B.
C. D.
3．已知抛物线的焦点为，为抛物线上第一象限的点，若，则直线的倾斜角为（）
A. B.
C. D.
4．设等比数列的前项和为，若，，则（）
A.66 B.65
C.64 D.63
5．已知是虚数单位，若，则复数z的虚部为（ ）
A.3 B.－3i
C.-3 D.3i
6．记为等差数列的前n项和，有下列四个等式，甲：；乙：；丙：；丁：．如果只有一个等式不成立，则该等式为（ ）
A.甲 B.乙
C.丙 D.丁
7．抛物线的准线方程为（）
A. B.
C. D.
8．圆的圆心为（ ）
A. B.
C. D.
9．2021年是中国共产党百年华诞，3月24日，中宣部发布中国共产党成立100周年庆祝活动标识（图1），标识由党徽、数字“100”“1921”“2021”和56根光芒线组成，生动展现中国共产党团结带领中国人民不忘初心、牢记使命、艰苦奋斗的百年光辉历程.其中“100”的两个“0”设计为两个半径为的相交大圆，分别内含一个半径为1的同心小圆，且同心小圆均与另一个大圆外切（图2）.已知，在两大圆的区域内随机取一点，则该点取自两大圆公共部分的概率为（）

A. B.
C. D.
10．若方程表示焦点在轴上的双曲线，则角所在象限是（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
11．已知函数．若数列的前n项和为，且满足，，则的最大值为（）
A.9 B.12
C.20 D.
12．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中

①与平行；②与是异面直线；
③与成60°角；④与是异面直线
以上四个结论中，正确结论的序号是
A.①②③ B.②④
C.③④ D.②③④
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．等比数列的各项均为正数，且，则__________.
14．已知函数是函数的导函数,,对任意实数都有,则不等式的解集为___________.
15．若双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为___________.
16．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2+n，则an＝_____
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆过点，且离心率.

（1）求椭圆的方程；
（2）设直交椭圆于两点，判断点与以线段为直径的圆的位置关系，并说明理由.
18．（12分）已知双曲线C：( a>0，b>0）的离心率为，且双曲线的实轴长为2
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知直线x－y + m =0与双曲线C交于不同的两点A、B，且线段AB中点在圆x2＋y2 =17上，求m的值
19．（12分）在直角坐标系中，以坐标原点O为圆心的圆与直线相切.
（1）求圆O的方程；
（2）设圆O交x轴于A，B两点，点P在圆O内，且是、的等比中项，求的取值范围.
20．（12分）在△中，已知、、分别是三内角、、所对应的边长,且
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，且△的面积为，求.
21．（12分）已知数列的前n项和为，且
（1）证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
（2）在与之间插入n个数，使得包括与在内的这个数成等差数列，其公差为，求数列的前n项和
22．（10分）已知抛物线C:
（1）若抛物线C上一点P到F的距离是4，求P的坐标；
（2）若不过原点O的直线l与抛物线C交于A、B两点，且，求证：直线l过定点
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】根据等比数列的性质可求.
【详解】因为为等比数列，设公比为，
则，解得，又，所以.
故选：B.
2、B
【解析】利用双曲线的实轴长为，求出，即可求出该双曲线的渐近线的斜率.
【详解】由题意，，所以，，
所以双曲线的渐近线的斜率为.
故选：B.
【点睛】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于基础题.
3、C
【解析】设点，其中，，根据抛物线的定义求得点的坐标，即可求得直线的斜率，即可得解.
【详解】设点，其中，，则，可得，则，
所以点，故，因此，直线的倾斜角为.
故选：C.
4、B
【解析】根据等比数列前项和的片段和性质求解即可.
【详解】解：由题知：，，
，
所以，，成等比数列，即5，15，成等比数列，
所以，解得.
故选：B.
5、C
【解析】由复数的除法运算可得答案.
【详解】由题得，所以复数z的虚部为－3.
故选：C.
6、D
【解析】分别假设甲、乙、丙、丁不成立，验证得到答案
【详解】设数列的公差为，
若甲不成立，则，由①，③可得，此时
与②矛盾；A错，
若乙不成立，则，由①，③可得，此时；
与②矛盾；B错，
若丙不成立，则，由①，③可得，此时；
与②矛盾；C错，
若丁不成立，则，由①，③可得，此时；
，D对，
故选：D.
7、A
【解析】将抛物线的方程化成标准形式，即可得到答案；
【详解】抛物线的方程化成标准形式，
准线方程为，
故选：A.
8、D
【解析】由圆的标准方程求解.
【详解】圆的圆心为，
故选：D
9、B
【解析】求出两圆相交公共部分两个弓形面积，结合两圆面积可得概率
【详解】如图，是两圆心，是两圆交点坐标，四边形边长均为，又，所以，所以，四边形是正方形，
，
弓形面积为，两个弓形面积为，
两圆涉及部分面积为
所以所求概率为
故选：B

10、D
【解析】根据题意得出的符号，进而得到的象限.
【详解】由题意，，所以在第四象限.
故选：D.
11、C
【解析】先得到及递推公式，要想最大，则分两种情况，负数且最小或为正数且最大，进而求出最大值.
【详解】①，当时，，当时，②，所以①－②得：，整理得：，所以，或，
当是公差为2的等差数列，且时，最小，最大，此时，所以，此时；
当且是公差为2的等差数列时，最大，最大，此时，所以，此时
综上：的最大值为20
故选：C
【点睛】方法点睛：数列相关的最值求解，要结合题干条件，使用不等式放缩，函数单调性或导函数等进行求解.
12、C
【解析】根据平面展开图可得原正方体，根据各点的分布逐项判断可得正确的选项.
【详解】由平面展开图可得原正方体如图所示：

由图可得：为异面直线，与不是异面直线，
是异面直线，故①②错误，④正确.
连接，则为等边三角形，
而，故或其补角为与所成的角，
因为，故与所成的角为，故③正确.
综上，正确命题的序号为：③④.
故选：C.
【点睛】本题考查正方体的平面展开图，注意展开图中的点与正方体中的顶点的对应关系，本题属于容易题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、10
【解析】由等比数列的性质可得，再利用对数的性质可得结果
【详解】解：因为等比数列的各项均为正数，且，
所以，
所以

故答案为：10
14、
【解析】令则，
∴在R上是减函数
又等价于
∴
故不等式的解集是
答案：
点睛：本题考查用构造函数的方法解不等式，即通过构造合适的函数，利用函数的单调性求得不等式的解集，解题时要注意常见的函数类型，如在本题中由于涉及到，故可从以下两种情况入手解决：（1）对于，可构造函数；（2）对于，可构造函数
15、2
【解析】利用双曲线的渐近线的倾斜角，求解，关系，然后求解离心率，即可求解.
【详解】双曲线一条渐近线的倾斜角为，
可得，所以，
所以双曲线的离心率为.
故答案为：2.
16、2n
【解析】根据数列的通项与前n项和的关系求解即可.
【详解】由题,当时,,
当时.当时也满足.
故.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了根据数列的通项与前n项和的关系求通项公式的方法,属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1) (2) 点G在以AB为直径的圆外
【解析】解法一：（Ⅰ）由已知得
解得
所以椭圆E的方程为
（Ⅱ）设点AB中点为
由
所以从而.
所以.

,
故
所以，故G在以AB为直径的圆外
解法二：（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）设点，则
由所以
从而

所以不共线，所以锐角.
故点G在以AB为直径的圆外
考点：1、椭圆的标准方程；2、直线和椭圆的位置关系；3、点和圆的位置关系
18、（1）；
（2）
【解析】（1）由实轴长求得，再由离心率得，从而求得得双曲线方程；
（2）直线方程与双曲线方程联立方程组，消元后应用韦达定理求得中点坐标，代入圆方程可求得值
【小问1详解】
由已知，，又，所以，，
所以双曲线方程为；
【小问2详解】
由，得，恒成立，
设，，中点为，
所以，，，
又在圆x2＋y2 =17上，
所以，
19、（1）；
（2）.
【解析】（1）根据题意设出圆方程，结合该圆与直线相切，求得半径，则问题得解；
（2）设出点的坐标为，根据题意，求得的等量关系，再构造关于的函数关系，求得函数值域即可.
【小问1详解】
根据题意，设的方程为，又该圆与直线相切，
故可得，则圆的方程为.
【小问2详解】
对圆：，令，则，不妨设，则，
设点，因为点在圆内，故；
因为是、的等比中项，故可得：，
则，整理得；
由可得，解得，
则.
故答案为：.
20、（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）利用余弦定理和得到关于角A的关系式，求解A
（II）再结合正弦面积公式得到三角形的边长的求解
【详解】解：（Ⅰ）在△ABC中，

（Ⅱ）由，得

21、（1）证明见解析，
（2）
【解析】（1）根据公式得到，得到，再根据等比数列公式得到答案.
（2）根据等差数列定义得到，再利用错位相减法计算得到答案.
【小问1详解】
，当时，，得到；当时，，
两式相减得到，整理得到，
即，故，
数列是首项为，公比为的等比数列，，
即，验证时满足条件，故.
【小问2详解】
，故，
，
，
两式相减得到：，
整理得到：，故.
22、（1）
（2）见解析
【解析】（1）由抛物线的定义，可得点的坐标；
（2）可设直线的方程为，，，，与抛物线联立，消，利用韦达定理求得，，再根据，可得，从而可求得参数的关系，即可得出结论.
【小问1详解】
解：设，，由抛物线的定义可知，即，
解得，
将代入方程，
得，
即的坐标为；
【小问2详解】
证明：由题意知直线不能与轴平行，
可设直线的方程为，
与抛物线联立得，消去得，
设，，，
则，，
由，可得，
即，即，
即，又，
解得，
所以直线方程为，当时，，
所以直线过定点