2026届宜春市重点中学数学高一上期末联考试题含解析.doc

2026届宜春市重点中学数学高一上期末联考试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．下列各式正确是
A. B.
C. D.
2．已知 为正实数，且，则的最小值为（ ）
A.4 B.7
C.9 D.11
3． ＝
A.－ B.
C.－ D.
4．下列函数中，同时满足：①在上是增函数，②为奇函数，③最小正周期为的函数是（）
A. B.
C. D.
5．定义运算：，将函数的图象向左平移的单位后，所得图象关于轴对称，则的最小值是（）
A. B.
C. D.
6．用反证法证明命题：“已知.，若不能被7整除，则与都不能被7整除”时，假设的内容应为
A.,都能被7整除 B.,不能被7整除
C.,至少有一个能被7整除 D.,至多有一个能被7整除
7．已知幂函数y＝f(x)经过点(3，)，则f(x)（ ）
A.是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
B.是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
C.是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数
D.是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
8．下列函数在其定义域内是增函数的是（）
A. B.
C. D.
9．已知函数，若，，，则（ ）
A. B.
C. D.
10．已知，，则
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若函数在上单调递增，则a的取值范围为______
12．是第___________象限角.
13．已知函数若，则实数的值等于________
14．若幂函数是偶函数，则___________.
15．不等式x2-5x+6≤0的解集为______.
16．已知且，且，如果无论在给定的范围内取任何值时，函数与函数总经过同一个定点，则实数__________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．定义：若对定义域内任意x，都有（a为正常数），则称函数为“a距”增函数
（1）若，(0，)，试判断是否为“1距”增函数，并说明理由；
（2）若，R是“a距”增函数，求a的取值范围；
（3）若，(﹣1，)，其中kR，且为“2距”增函数，求的最小值
18．在平面直角坐标系中，已知，.
（Ⅰ）若，求实数的值；
（Ⅱ）若，求实数的值.
19．已知全集为实数集R，集合，
求，；
已知集合，若，求实数a的取值范围
20．在中，角的对边分别为,的面积为,已知,,
（1）求值；
（2）判断的形状并求△的面积
21．若向量的最大值为
(1)求的值及图像的对称中心；
(2)若不等式在上恒成立，求的取值范围
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】对于，，，故，故错误；
根据对数函数的单调性，可知错误
故选
2、C
【解析】由，展开后利用基本不等式求最值
【详解】 且 ，
∴，
当且仅当，即时，等号成立
∴的最小值为9
故选：C
3、A
【解析】.
考点：诱导公式
4、D
【解析】根据三角函数的图像和性质逐项分析即可求解.
【详解】A中的最小正周期为，不满足；
B中是偶函数，不满足；
C中的最小正周期为，不满足；
D中是奇函数﹐且周期，令，∴，∴函数的递增区间为，，∴函数在上是增函数，故D正确.
故选：D.
5、C
【解析】由题意可得，再根据平移得到的函数为偶函数，利用对称轴即可解出.
【详解】因为，所以，其图象向左平移个单位，得到函数的图象，而图象关于轴对称，所以其为偶函数，于是，即，又，所以的最小值是
故选：C.
6、C
【解析】根据用反证法证明数学命题的步骤和方法，应先假设命题的否定成立
而命题“ 与都不能被7整除”的否定为“至少有一个能被7整除”，
故选C
【点睛】本题主要考查用反证法证明数学命题，把要证结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的关键.
7、D
【解析】利用幂函数的定义求得指数的值，得到幂函数的解析式，进而结合幂函数的图象判定单调性和奇偶性
【详解】设幂函数的解析式为，
将点的坐标代入解析式得，解得，
∴，函数的定义域为,是非奇非偶函数，且在上是增函数，
故选：D.
8、A
【解析】函数在定义域内单调递减，排除B，单调区间不能用并集连接，排除CD.
【详解】定义域为R，且在定义域上单调递增，满足题意，A正确；
定义域为，在定义域内是减函数，B错误；
定义域为，而在为单调递增函数，不能用并集连接，C错误；
同理可知：定义域为，而在区间上单调递增，不能用并集连接，D错误.
故选：A
9、A
【解析】可判断在单调递增，根据单调性即可判断.
【详解】当时，单调递增，
，，
，.
故选：A.
10、A
【解析】∵
∴
∴
∴
故选A

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】根据函数的单调性得到，计算得到答案.
【详解】函数在上单调递增，则
故答案为：
【点睛】本题考查了函数的单调性，意在考查学生的计算能力.
12、三
【解析】根据给定的范围确定其象限即可.
【详解】由，故在第三象限.
故答案为：三.
13、-3
【解析】先求，再根据自变量范围分类讨论，根据对应解析式列方程解得结果.
【详解】
当a>0时，2a=-2解得a=-1，不成立
当a≤0时，a+1=-2,解得a=-3
【点睛】求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.
14、
【解析】根据幂函数的定义得，解得或，再结合偶函数性质得.
【详解】解：因为函数是幂函数，
所以，解得或，
当时，，为奇函数，不满足，舍；
当时，，为偶函数，满足条件.
所以.
故答案为：
15、
【解析】根据二次函数的特点即可求解.
【详解】由x2-5x+6≤0，可以看作抛物线，
抛物线开口向上，与x轴的交点为，
∴，即原不等式的解集为 .
16、3
【解析】因为函数与函数总经过同一个定点，函数的图象经过定点 ，所以函数总也经过，所以，，，故答案为.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析； （2）； （3）.
【解析】（1）利用“1距”增函数的定义证明即可；（2）由“a距”增函数的定义得到在上恒成立，求出a的取值范围即可；（3）由为“2距”增函数可得到在恒成立，从而得到恒成立，分类讨论可得到的取值范围，再由，可讨论出的最小值
【详解】（1）任意,,
因为,, 所以，所以，即是“1距”增函数
（2）.
因为是“距”增函数，所以恒成立，
因为,所以在上恒成立，
所以，解得，因为,所以.
（3）因为，，且为“2距”增函数，
所以时，恒成立，
即时，恒成立，
所以，
当时，，即恒成立，
所以, 得;
当时，，
得恒成立，
所以,得,
综上所述，得.
又，
因为,所以，
当时，若，取最小值为；
当时，若，取最小值.
因为在R上是单调递增函数，
所以当，的最小值为；当时的最小值为，
即 .
【点睛】本题考查了函数的综合知识，考查了函数的单调性与最值，考查了恒成立问题，考查了分类讨论思想的运用，属于中档题
18、（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）求出向量和的坐标，然后利用共线向量的坐标表示得出关于的方程，解出即可；
（Ⅱ）由得出，利用向量数量积的坐标运算可得出关于实数的方程，解出即可.
【详解】（Ⅰ），，，
，
，，解得；
（Ⅱ），
，，解得.
【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查利用共线向量和向量垂直求参数，考查计算能力，属于基础题.
19、 (1)；(2).
【解析】(1)借助题设条件求集合,再求其交集与补集；(2)借助题设运用数轴分类建立不等式组求解.
试题解析：
（1），

（2）(i)当时，，此时.
（ii）当时，，则
综合（i）（ii），可得的取值范围是
考点：函数的定义域集合的运算等有关知识的综合运用.
20、（1） ;（2）是等腰三角形，其面积为
【解析】（1）由结合正弦面积公式及余弦定理得到，进而得到结果；（2）由结合内角和定理可得分两类讨论即可.
试题解析：
（1），由余弦定理得，
（2）
即或（ⅰ）当时，由第（1）问知，是等腰三角形，（ⅱ）当时，由第（1）问知，又，矛盾，舍.
综上是等腰三角形，其面积为
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.
第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.
第三步：求结果.
21、 (1) (2)
【解析】(1)先利用向量的数量积公式和倍角公式对函数式进行化简，再利用两倍角公式以及两角差的正弦公式进行整理，然后根据最大值为解出的值，最后根据正弦函数的性质求得函数的对称中心；
(2)首先通过的取值范围来确定函数的范围，再根据不等式在上恒成立，推断出，最后计算得出结果
【详解】

因为的最大值为，所以，
由得
所以的对称中心为；
(2)因为，所以
即，
因为不等式在上恒成立，
所以即
解得，的取值范围为
【点睛】本题考查了向量的相关性质以及三角函数相关性质，主要考查了向量的乘法、三角函数的对称性、三角恒等变换、三角函数的值域等，属于中档题．的对称中心为