天津市宝坻区何仉中学2025-2026学年数学高二第一学期期末联考试题含解析.doc

天津市宝坻区何仉中学2025-2026学年数学高二第一学期期末联考试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且，点N为BC中点，则（）

A. B.
C. D.
2．若命题为“，”，则为（）
A.， B.，
C.， D.，
3．已知函数为偶函数，且当时，，则不等式的解集为（）
A. B.
C. D.
4．在中，，，为所在平面上任意一点，则的最小值为（）
A.1 B.
C.－1 D.-2
5．已知实数，满足约束条件则的最大值为（）
A.10 B.8
C.4 D.20
6．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是古老的传统民间艺术之一.如图是一个窗花的图案，以正六边形各顶点为圆心、边长为半径作圆，阴影部分为其公共部分.现从该正六边形中任取一点，则此点取自于阴影部分的概率为（）

A. B.
C. D.
7．已知直线l1：y＝x+2与l2：2ax+y﹣1＝0垂直，则a＝（　　）
A. B.
C.﹣1 D.1
8．直线的倾斜角为
A. B.
C. D.
9． “”是“方程表示双曲线”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
10．在正三棱锥S−ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且，若侧棱，则正三棱锥S−ABC外接球的表面积是（ ）
A. B.
C. D.
11．已知两圆相交于两点和，两圆的圆心都在直线上，则的值为
A. B.2
C.3 D.0
12．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知等差数列的前项和为，则数列的前2022项的和为___________.
14．正方体，点分别是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为___________.
15．直线过点，且原点到直线l的距离为，则直线方程是______
16．无穷数列满足：只要必有，则称为“和谐递进数列”，已知为“和谐递进数列”，且前四项成等比数列，，，则__________，若数列前项和为，则__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数（其中a常数）
（1）求的单调递增区间；
（2）若，时，的最小值为4，求a的值
18．（12分）已知直线，圆.
（1）求证：直线l恒过定点；
（2）若直线l的倾斜角为，求直线l被圆C截得的弦长.
19．（12分）浙江省新高考采用“3+3”模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，另外考生根据自己实际需要在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术 7 门科目中自选 3 门参加考试．下面是某校高一 200 名学生在一次检测中的物理、化学、生物三科总分成绩，以组距 20 分成 7组：[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]，画出频率分布直方图如下图所示

（1）求频率分布直方图中的值；
（2）由频率分布直方图，求物理、化学、生物三科总分成绩的第 60 百分位数；
（3）若小明决定从“物理、化学、生物、政治、技术”五门学科中选择三门作为自己的选考科目， 求小明选中“技术”的概率
20．（12分）已知点，椭圆：离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点．设过点的动直线与相交于，两点
（1）求椭圆的方程
（2）是否存在直线，使得的面积为？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由
21．（12分）已知与定点，的距离比为的点P的轨迹为曲线C，过点的直线l与曲线C交于M，N两点.
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）若，求.
22．（10分）已知椭圆的离心率，过椭圆C的焦点且垂直于x轴的直线截椭圆所得到的线段的长度为1

（1）求椭圆C的方程；
（2）直线交椭圆C于A、B两点，若y轴上存在点P，使得是以AB为斜边的等腰直角三角形，求的面积的取值范围
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】利用空间向量运算求得正确答案.
【详解】.
故选：B
2、B
【解析】特称命题的否定是全称命题，把存在改为任意，把结论否定.
【详解】“，”的否命题为“，”，
故选：B
3、D
【解析】结合导数以及函数的奇偶性判断出的单调性，由此化简不等式来求得不等式的解集.
【详解】当时，单调递增，，所以单调递增.
因为是偶函数，所以当时，单调递减.
，，
，
或.
即不等式的解集为.
故选：D
4、C
【解析】以为建立平面直角坐标系，设，把向量的数量积用坐标表示后可得最小值
【详解】如图，以为建立平面直角坐标系，则，设，
，，，，
∴，
∴当时，取得最小值
故选：C

【点睛】本题考查向量的数量积，解题方法是建立平面直角坐标系，把向量的数量积转化为坐标表示
5、A
【解析】根据约束条件作出可行域，再将目标函数表示的一簇直线画出
向可行域平移即可求解.
【详解】作出可行域，如图所示

转化为，令则，
作出直线并平移使它经过可行域点，经过时，
，解得，所以
此时取得最大值，即有最大值，即
故选：A.
6、D
【解析】求得阴影部分的面积，结合几何概型概率计算公式，计算出所求的概率.
【详解】设正六边形的边长为，则其面积为.
阴影部分面积为，
故所求概率为.
故选：D
7、A
【解析】利用两直线垂直斜率关系，即可求解.
【详解】直线l1：y＝x+2与l2：2ax+y﹣1＝0垂直，
.
故选:A
【点睛】本题考查两直线垂直间的关系，属于基础题.
8、B
【解析】分析出直线与轴垂直，据此可得出该直线的倾斜角.
【详解】由题意可知，直线与轴垂直，该直线的倾斜角为.
故选：B.
【点睛】本题考查直线的倾斜角，关键是掌握直线倾斜角的定义，属于基础题
9、A
【解析】方程表示双曲线则 ，解得 ，
是“方程表示双曲线”的充分不必要条件.故选：A
10、A
【解析】由题意推出平面，即平面，，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的体积
【详解】∵，分别为棱，的中点，∴，∵三棱锥为正棱锥，
作平面，所以是底面正三角的中心，连接并延长交与点，
∵底面是正三角形，，平面
∴，，∵，平面，平面，
∴平面，
∵平面，∴，∴，
又∵，而，且，平面，∴平面，
∴平面，∴，
因为S−ABC是正三棱锥。所以，
以，，为从同一定点出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，
则它们有相同的外接球，正方体的体对角线就是球的直径，，
所以.
故选：A.

11、C
【解析】根据条件知：两圆的圆心的所在的直线与两圆的交点所在的直线垂直，以及两圆的交点的中点在两圆的圆心的所在的直线上，由此得到方程，得解.
【详解】由已知两圆的交点与两圆的圆心的所在的直线垂直，，所以，
又因为两圆的交点的中点在两圆的圆心所在的直线上，
所以，解得：，
所以，
故选.
【点睛】此题主要考查圆与圆的位置关系，解答此题的关键是需知两圆的圆心所在的直线与两圆的交点所在的直线垂直，并且两圆的交点的中点在两圆的圆心所在的直线上，此题属于基础题.
12、D
【解析】求出函数在时值的集合， 函数在时值的集合，再由已知并借助集合包含关系即可作答.
【详解】当时，在上单调递增，，，则在上值的集合是，
当时，，，
当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，
，，则在上值的集合为，
因函数的值域为，于是得，则，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】先设等差数列的公差为，根据题中条件，求出首项和公差，得出前项和，再由裂项相消的方法，即可求出结果.
【详解】设等差数列的公差为，
因为，，所以，解得，
因此，
所以，
所以数列的前2022项的和为

.
故答案：.
14、
【解析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据异面直线所成角的向量求法可求得结果.
【详解】以为坐标原点，为轴可建立如图所示空间直角坐标系，

设正方体棱长为，则，，，，
，，
，
即异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：.
15、
【解析】直线斜率不存在不满足题意，即设直线的点斜式方程，再利用点到直线的距离公式，求出的值，即可求出直线方程.
【详解】①当直线斜率不存在时，显然不满足题意.
②当直线斜率存在时，设直线为.原点到直线l的距离为，即直线方程为.
故答案为：.
16、 ①.2 ②.7578
【解析】根据前四项成等比数列及定义可求得，根据新定义得数列是周期数列，从而易求得
【详解】∵成等比数列，，，
又，为“和谐递进数列”，，，，，…，
数列是周期数列，周期为4，
故答案为：2，7578

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数解析式为，然后解不等式，可得答案；
（2）由计算出的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得函数的最小值，进而可求得实数的值.
【详解】（1）

，
令，解得.
所以，函数的单调递增区间为；
（2）当时，，所以，
所以，解得.
18、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）直线方程变形后令的系数等于0消去参数即可求得定点坐标.
（2）先求出圆心C到直线l距离，然后用勾股定理即可求得弦长.
【小问1详解】
，
联立得：
即直线l过定点（.
【小问2详解】
由题意直线l的斜率，即，
∴，
圆，圆心，半径，
圆心C到直线l的距离，
所以直线l被圆C所截得的弦长为.
19、（1）= 0.005
（2）232 （3）
【解析】（1）由频率和为1列方程求解即可，
（2）由于前3组的频率和小于0.6，前4组的频率和大于0.6，所以三科总分成绩的第 60 百分位数在第4组内，设第 60 百分位数为，则0.45 + 0.0125 × ( − 220) = 0.6，从而可求得结果，
（3）利用列举法求解即可
【小问1详解】
由(0.002 + 0.0095 + 0.011 + 0.0125 + 0.0075 + + 0.0025) × 20 = 1，
解得 = 0.005
【小问2详解】
因为(0.002 + 0.0095 + 0.011) × 20 = 0.45 < 0.6，(0.002 + 0.0095 + 0.011+ 0.0125) × 20 = 0.7 > 0.6，
所以三科总分成绩的第 60 百分位数在[220，240)内，
设第 60 百分位数为，则0.45 + 0.0125 × ( − 220) = 0.6，
解得 = 232，即第 60 百分位数为232
【小问3详解】
将物理、化学、生物、政治、技术 5 门学科分别记作 ．则

事件 A 表示小明选中“技术”，则 ，
所以 P(A)=
20、（1）；
（2）存在；或.
【解析】（1）设，由，，，求得的值即可得椭圆的方程；
（2）设，，直线的方程为与椭圆方程联立可得，，进而可得弦长，求出点到直线的距离，解方程，求得的值即可求解.
【小问1详解】
设，因为直线的斜率为，，
所以，可得，
又因为，所以，所以，
所以椭圆的方程为
【小问2详解】
假设存在直线，使得的面积为，
当轴时，不合题意，
设，，直线的方程为，
联立 消去得：，
由可得或，
，，
所以

，
点到直线的距离，
所以，
整理可得：即，
所以或，所以或，
所以存在直线：或使得的面积为.
21、（1）
（2）或
【解析】（1）设曲线上的任意一点，由题意可得，化简即可得出
（2）分直线的斜率不存在与存在两种情况讨论，当斜率不存在时，即可求出、的坐标，从而求出，当直线的斜率存在，设直线方程为，，，联立直线与圆的方程，消元列出韦达定理，则，即可求出，从而求出直线方程，由圆心在直线上，即可求出弦长；
【小问1详解】
解：（1）设曲线上的任意一点，
由题意可得：，即，整理得
【小问2详解】
解：依题意当直线的斜率不存在时，直线方程为，则，则或，即、，所以、，所以满足条件，此时，
当直线的斜率存在，设直线方程为，，，则，消去整理得，由，解得或，所以、，因为，，所以

，解得，所以直线方程为，又直线过圆心，所以，
综上可得或；
22、（1）
（2）
【解析】（1）由条件可得，解出即可；
（2）设，，取AB的中点，联立直线与椭圆的方程消元，算出，，然后可算出，然后由可得，然后表示出的面积可得答案.
小问1详解】
令，得，所以，
解得，，所以椭圆C的方程：
【小问2详解】
设，，取AB的中点，
因为为以AB为斜边的等腰直角三角形，所以且，
联立得，则
∴
又∵，∴，且，，
∴，
由得，∴
∴