江苏省南通市如皋中学2025年高一数学第一学期期末监测试题含解析.doc

江苏省南通市如皋中学2025年高一数学第一学期期末监测试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．（ ）
A B.
C. D.
2．如果幂函数的图象经过点，则在定义域内
A.为增函数 B.为减函数
C.有最小值 D.有最大值
3．函数的定义域是　　
A. B.
C. D.
4．已知正实数满足,则最小值为
A. B.
C. D.
5．已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于x的不等式的解集是（）
A. B.
C. D.
6．如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中不正确的是

A.
B.平面
C.平面平面
D.与所成的角等于与所成的角
7．如图，网格纸上小正方形的边长均为，粗线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的体积为，则（）

A. B.
C. D.
8．已知，则下列结论正确的是（）
A. B.
C. D.
9．若，则（）
A.2 B.1
C.0 D.
10．函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于
A2 B.4
C.6 D.8
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________.
12．已知，，则________.（用m，n表示）
13．角的终边经过点，则的值为______
14．已知函数的值域为，则实数的取值范围是________
15．若，则= _________ .
16．若函数在内恰有一个零点，则实数a的取值范围为______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．某网上电子商城销售甲、乙两种品牌的固态硬盘，甲、乙两种品牌的固态硬盘保修期均为3年，现从该商城已售出的甲、乙两种品牌的固态硬盘中各随机抽取50个，统计这些固态硬盘首次出现故障发生在保修期内的数据如下：
型号
甲
乙
首次出现故障的时间x(年)

硬盘数(个)
2
1
2
1
2
3
假设甲、乙两种品牌的固态硬盘首次出现故障相互独立.
（1）从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个，试估计首次出现故障发生在保修期内的概率；
（2）某人在该商城同时购买了甲、乙两种品牌的固态硬盘各一个，试估计恰有一个首次出现故障发生在保修期的第3年(即)的概率.
18．已知函数（，）的部分图象如图所示.

（1）求的解析式；
（2）若对任意，恒成立，求实数m的取值范围；
（3）求实数a和正整数n，使得（）在上恰有2021个零点.
19．已知函数为偶函数.
（1）求的值；
（2）求的最小值；
（3）若对恒成立，求实数的取值范围.
20．已知定义域为函数是奇函数.
（1）求的值；
（2）判断的单调性，并证明；
（3）若，求实数的取值范围.
21．已知关于不等式的解集为.
（1）若，求的值；
（2）若，求实数的取值范围；
（3）若非空集合，请直接写出符合条件的整数的集合.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】由根据诱导公式可得答案.
【详解】
故选：A
2、C
【解析】由幂函数的图象经过点，得到，由此能求出函数的单调性和最值
【详解】解：幂函数的图象经过点，
，解得，
，
在递减，在递增，有最小值，无最大值
故选
【点睛】本题考查幂函数的概念和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答
3、D
【解析】由，求得的取值集合得答案
详解】解：由，得，
函数定义域是
故选：D
【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，关键是明确正切函数的定义域，属于基础题
4、A
【解析】由题设条件得，，利用基本不等式求出最值
【详解】由已知，，所以
当且仅当时等号成立，又，所以时取最小值
故选A
【点睛】本题考查据题设条件构造可以利用基本不等式的形式，利用基本不等式求最值
5、D
【解析】由偶函数的性质求得，利用偶函数的性质化不等式中自变量到上，然后由单调性转化求解
【详解】解：由题意，，的定义域，时，递减，
又是偶函数，因此不等式转化为，
，，解得
故选：D
6、D
【解析】结合直线与平面垂直判定和性质，结合直线与平面平行的判定，即可
【详解】A选项，可知可知，故，正确；
B选项，AB平行CD，故正确；
C选项，，故平面平面，正确；
D选项，AB与SC所成的角为，而DC与SA所成的角为，故错误，故选D
【点睛】考查了直线与平面垂直的判定和性质，考查了直线与平面平行的判定，考查了异面直线所成角，难度中等
7、B
【解析】作出几何体实物图，并将该几何体的体积用表示，结合题中条件可求出的值.
【详解】由三视图可知，该几何体由一个正方体截去四分之一而得，其体积为，
即，解得.

故选：B.
【点睛】本题考查利用三视图计算空间几何体的体积，解题的关键就是作出几何体的实物图，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.
8、B
【解析】先求出，再对四个选项一一验证即可.
【详解】因为，又，
解得：.
故A错误；
对于B：，故B正确；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D错误.
故选：B
9、C
【解析】根据正弦、余弦函数的有界性及，可得，，再根据同角三角函数的基本关系求出，即可得解；
【详解】解：∵，，又∵，∴，，又∵，∴，∴，
故选：C
10、D
【解析】由于函数与函数 均关于点成中心对称，结合图形以点 为中心两函数共有个交点，则有 ，同理有，所以所有交点横坐标之和为 .故正确答案为D.

考点：1.函数的对称性；2.数形结合法的应用.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】按a值对函数进行分类讨论，再结合函数的性质求解作答.
【详解】当时，函数在R上单调递增，即在上递增，则，
当时，函数是二次函数，又在上单调递增，由二次函数性质知，，
则有，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
12、
【解析】根据指数式与对数式的互化，以及对数的运算性质，准确运算，即可求解.
【详解】因为，，所以，，
所以，可得.
故答案为：
13、
【解析】以三角函数定义分别求得的值即可解决.
【详解】由角的终边经过点，可知
则，，
所以
故答案为：
14、
【解析】将题意等价于的值域包含，讨论和结合化简即可.
【详解】解：要使函数的值域为
则的值域包含
①当即时，值域为包含，故符合条件
②当时
综上，实数的取值范围是
故答案为：
【点睛】一元二次不等式常考题型：
（1）一元二次不等式在上恒成立问题：解决此类问题常利用一元二次不等式在上恒成立的条件，注意如果不等式恒成立，不要忽略时的情况.
（2）在给定区间上的恒成立问题求解方法：
若在集合中恒成立，即集合是不等式的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围).
15、
【解析】分析和的关系可知，然后用余弦的二倍角公式求解即可.
【详解】∵，
∴
.
故答案为：.
16、
【解析】根据实数a的正负性结合零点存在原理分类讨论即可.
【详解】当时，，符合题意，
当时，二次函数的对称轴为：，
因为函数在内恰有一个零点，所以有：
，或，即或，
解得：，或，
综上所述：实数a的取值范围为，
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】（1）由频率表示概率即可求出；
（2）先分别求出从甲、乙两种品牌随机抽取一个，首次出现故障发生在保修期的第3年的概率，即可求出恰有一个首次出现故障发生在保修期的第3年的概率.
【详解】解：（1）在图表中，甲品牌的个样本中，
首次出现故障发生在保修期内的概率为：，
设从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个，
其首次出现故障发生在保修期内为事件，
利用频率估计概率，得，
即从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个，
其首次出现故障发生在保修期内的概率为：；
（2）设从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个，
其首次出现故障发生在保修期的第3年为事件，
从该商城销售的乙品牌固态硬盘中随机抽取一个，
其首次出现故障发生在保修期的第3年为事件，
利用频率估计概率，得：，
则

,
某人在该商城同时购买了甲、乙两种品牌的固态硬盘各一个，恰有一个首次出现故障发生在保修期的第3年的概率为：.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用频率表示概率.
18、（1）
（2）
（3）当时，；当时，
【解析】（1）根据图象的特点，通过的周期和便可得到的解析式；
（2）通过换元转化为一元二次不等式的恒成立问题，根据二次函数的特点得到，然后解出不等式即可；
（3）将函数的零点个数问题，转化为的图象与直线的交点个数问题，然后分析在一个周期内与的交点情况，根据的取值情况分类讨论即可
【小问1详解】
根据图象可知，且，的周期为：
解得：，此时，
，且
可得：
解得：
故
【小问2详解】
当时，
令，又恒成立
等价于在上恒成立
令，
则有：开口向上，且，只需即可满足题意
故实数m的取值范围是
【小问3详解】
由题意可得：的图象与直线在上恰有2021个零点
在上时，，分类讨论如下：
①当时，的图象与直线在上无交点；
②当时，的图象与直线在仅有一个交点，此时的图象与直线在上恰有2021个交点，则；
③当或时，的图象与直线在上恰有2个交点，的图象与直线在上有偶数个交点，不会有2021个交点；
④当时，的图象与直线在上恰有3个交点，此时才能使的图象与直线在上有2021个交点.
综上，当时，；当时，.
19、（1）
（2）
（3）
【解析】（1）运用偶函数的定义和对数的运算性质，结合恒等式的性质可得所求值；
（2）运用对数运算性质及均值不等式即可得到结果；
（3）先证明函数单调性，化抽象不等式为具体不等式，转求函数的最值即可.
【小问1详解】
因为为偶函数，
所以，所以，
所以，
所以.
【小问2详解】

因为，
所以（当且仅当时等号成立），
所以最小值为.
【小问3详解】
，
任取且，
所以，
因为且，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以在上为增函数，
又因为为偶函数，所以，
当时，，
当时，，所以，
设
（当且仅当时，等号成立），
因为，所以等号能成立，
所以，
所以，
所以，
综上，.
20、（1）
（2）增函数，证明见解析
（3）或
【解析】（1）由求出，再验证此时为奇函数即可；
（2）将的解析式分离常数后可判断出单调性,再利用增函数的定义可证结论成立；
（3）利用奇函数性质化为，再利用增函数性质可求出结果.
【小问1详解】
因为是上的奇函数，所以，即，
此时，，所以为奇函数，
故.
【小问2详解】
由（1）知，为上的增函数，
证明：任取，且，
则，
因为，所以，即，又，
所以，即，
根据增函数的定义可得为上的增函数.
【小问3详解】
由得，
因为为奇函数，所以，
因为为增函数，所以，即，
所以或.
21、（1）3； （2）；
（3）.
【解析】(1)由给定解集可得2，3是方程的二根即可求解作答.
(2)根据给定条件列出关于a的不等式求解作答.
(3)分a大于2或小于2两类讨论作答.
【小问1详解】
因方程的根为或，
而不等式的解集为，则2，3是方程的二根，
所以.
【小问2详解】
因为，即有，解得：，
所以实数的取值范围为.
【小问3详解】
因非空，则，当时，，显然集合不是集合的子集，
当时，，而，则，
所以整数的集合是.