2025年广东省揭阳市重点名校高一数学第一学期期末监测试题含解析.doc

2025年广东省揭阳市重点名校高一数学第一学期期末监测试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．下列函数中，与函数有相同图象的一个是
A. B.
C. D.
2．已知是两条直线，是两个平面，则下列命题中正确的是
A. B.
C. D.
3．幂函数的图像经过点，若.则（）
A.2 B.
C. D.
4．命题p：∀x∈N，x3＞x2的否定形式¬p为（）
A.∀x∈N，x3≤x2 B.∃x∈N，x3＞x2
C.∃x∈N，x3＜x2 D.∃x∈N，x3≤x2
5．已知函数，则下列判断正确的是
A.函数是奇函数，且在R上是增函数
B.函数偶函数，且在R上是增函数
C.函数是奇函数，且在R上是减函数
D.函数是偶函数，且在R上是减函数
6．若直线l1∥l2，且l1的倾斜角为45°，l2过点（4，6），则l2还过下列各点中的
A.(1,8) B.(-2,0)
C.(9,2) D.(0,-8)
7．设，则“”是“”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8．已知函数，则（ ）
A.-1 B.2
C.1 D.5
9．设，，，则、、的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
10．若全集，且，则（）
A.或 B.或
C. D.或.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．如图，在正六边形ABCDEF中，记向量，，则向量______．（用，表示）

12．使得成立的一组，的值分别为_____.
13．已知集合A＝{﹣1，2，3}，f：x→2x是集合A到集合B的映射，则写出一个满足条件的集合B_____
14．已知，，则___________（用a、b表示）.
15．已知函数f（x）=sin（ωx+）（其中ω＞0），若x=为函数f（x）的一个零点，且函数f（x）在（，）上是单调函数，则ω的最大值为______
16．已知球O的内接圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则球O的表面积为________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知集合M是满足下列性质的函数的全体：在定义域D内存在，使得成立
函数是否属于集合M？说明理由；
若函数属于集合M，试求实数k和b满足的约束条件；
设函数属于集合M，求实数a的取值范围
18．已知函数的图象在定义域(0，+∞)上连续不断，若存在常数T>0，使得对于任意的x>0，恒成立，称函数满足性质P(T).
（1）若满足性质P(2)，且，求的值；
（2）若，试说明至少存在两个不等的正数T1、T2，同时使得函数满足性质P(T1)和P(T2)；
（3）若函数满足性质P(T)，求证：函数存在零点.
19．有两直线和，当a在区间内变化时，求直线与两坐标轴围成四边形面积的最小值
20．冰雪装备器材产业是冰雪产业的重要组成部分，加快发展冰雪装备器材产业，对筹办好北京2022年冬奥会、冬残奥会，带动我国3亿人参与冰雪运动具有重要的支撑作用.某冰雪装备器材生产企业，生产某种产品的年固定成本为300万元，每生产千件，需另投入成本（万元）.当年产量低于60千件时，；当年产量不低于60千件时，.每千件产品售价为60万元，且生产的产品能全部售完.
（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；
（2）当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？
21．已知长方体AC1中，棱AB＝BC＝3，棱BB1＝4，连接B1C，过B点作B1C的垂线交CC1于E，交B1C于F.

（1）求证A1C⊥平面EBD；
（2）求二面角B1—BE—A1的正切值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】逐一考查选项中的函数与所给的函数是否为同一个函数即可确定其图象是否相同.
【详解】逐一考查所给的选项：
A.，与题中所给函数的解析式不一致，图象不相同；
B.，与题中所给函数的解析式和定义域都一致，图象相同；
C.的定义域为，与题中所给函数的定义域不一致，图象不相同；
D.的定义域为，与题中所给函数的定义域不一致，图象不相同；
故选B.
【点睛】本题主要考查函数相等的概念，需要同时考查函数的定义域和函数的对应关系，属于中等题.
2、D
【解析】A不正确，因为n可能在平面内；
B两条直线可以不平行；
C当m在平面内时，n此时也可以在平面内．故选项不对
D 正确，垂直于同一条直线的两个平面是平行的
故答案为D
3、D
【解析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，再求时的值
详解】解：设幂函数，其图象经过点，
，
解得，
；
若，
则，
解得
故选：D
4、D
【解析】根据含有一个量词命题的否定的定义求解.
【详解】因为命题p：∀x∈N，x3＞x2的是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
所以¬p：∃x∈N，x3≤x2
故选：D
【点睛】本题主要考查含有一个量词命题的否定，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
5、A
【解析】求出的定义域，判断的奇偶性和单调性，进而可得解.
【详解】的定义域为R，且；
∴是奇函数；
又和都是R上的增函数；
是R上的增函数
故选A
【点睛】本题考查奇偶性的判断，考查了指数函数的单调性，属于基础题
6、B
【解析】由题意求出得方程，将四个选项逐一代入，即可验证得到答案.
【详解】由题直线l1∥l2，且l1的倾斜角为45°，则的倾斜角为45，斜率 由点斜式可得的方程为即四个选项中只有B满足方程.
即l2还过点(-2,0) .
故选B
【点睛】本题考查直线方程的求法，属基础题.
7、D
【解析】若，则，故不充分；若，则，而，故不必要，故选D.
考点：本小题主要考查不等式的性质，熟练不等式的性质是解答好本类题目的关键.
8、A
【解析】求分段函数的函数值，将自变量代入相应的函数解析式可得结果.
【详解】∵在这个范围之内，
∴
故选：A.
【点睛】本题考查分段函数求函数值的问题，考查运算求解能力，是简单题.
9、B
【解析】利用指数函数、对数函数的单调性比较、、三个数与、的大小关系，由此可得出、、的大小关系.
【详解】，即，，，
因此，.
故选：B.
10、D
【解析】根据集合补集的概念及运算，准确计算，即可求解.
【详解】由题意，全集，且，
根据集合补集的概念及运算，可得或.
故选：D.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、##
【解析】由正六边形的性质：三条不相邻的三边经过平移可成等边三角形，即可得，进而得到结果.
【详解】由正六边形的性质知：，
∴.
故答案为：.
12、，（不唯一）
【解析】使得成立，只需，举例即可.
【详解】使得成立，只需，
所以,，
使得成立的一组，的值分别为，
故答案为：，（不唯一）
13、{﹣2，4，6}
【解析】先利用应关系f：x→2x，根据原像求像的值，像的值即是满足条件的集合B中元素
【详解】∵对应关系为f：x→2x，={-1，2，3}，
∴2x=-2，4，6共3个值，
则-2，4，6这三个元素一定在集合B中，
根据映射的定义集合B中还可能有其他元素，
我们可以取其中一个满足条件的集合B，
不妨取集合B={-2，4，6}.
故答案为：{-2，4，6}
【点睛】本题考查映射的概念，像与原像的定义，集合A中所有元素的集合即为集合B中元素集合.
14、##
【解析】根据对数的运算性质可得，再由指对数关系有，，即可得答案.
【详解】由，又，，
∴，，故.
故答案为：.
15、
【解析】由题意，为函数的一个零点，可得，且函数在，上是单调函数可得，即可求的最大值
【详解】解：由题意，为函数的一个零点，
可得，
则．
函数在，上是单调函数，可得，
即．
当时，可得的最大值为3
故答案为3．
【点睛】本题考查了正弦型三角函数的图象及性质的应用，属于中档题．
16、
【解析】根据内接圆柱的轴截面是边长为2的正方形，确定球O的半径，再由球的表面积公式即得。
【详解】由题得，圆柱底面直径为2，球的半径为R，球O的内接圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆柱的轴截面的对角线即为球的直径，故，则球的表面积.
故答案为：
【点睛】本题考查空间几何体，球的表面积，是常见的考题。

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2），；（3）
【解析】（1）由，得，即.此方程无实根，函数不属于集合.
（2）由，得解得为任意实数；
（3）由，得，即整理得，
有解；
解得
综上
18、（1）0；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】（1）由满足性质可得恒成立，取可求，取可求，由此可求的值；
(2）设满足，利用零点存在定理证明关于的方程至少有两个解，证明至少存在两个不等的正数，
同时使得函数满足性质和；
（3）分别讨论，，时函数的零点的存在性，由此完成证明.
【小问1详解】
因为满足性质，
所以对于任意的x，恒成立.
又因为，
所以，，
由可得，
所以，；
【小问2详解】
若正数满足，等价于，
记，
显然，，
因为，所以，，即.
因为的图像连续不断，
所以存，使得，
因此，至少存在两个不等的正数，使得函数同时满足性质和.
【小问3详解】
若，则1即为零点；
因为，若，则，矛盾，故，
若，则，，，
可得.
取即可使得，又因为的图像连续不断，
所以，当时，函数在上存在零点，
当时，函数在上存在零点，
若，则由，可得，
由，可得，
由，可得.
取即可使得，又因为的图像连续不断，
所以，当时，函数在上存在零点，
当时，函数在上存在零点，
综上，函数存在零点.
【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
19、.
【解析】利用直线方程，求出相关点的坐标，利用直线系解得yE＝2．根据S四边形OCEA＝S△BCE﹣S△OAB即可得出
【详解】∵0＜a＜2，
可得l1：ax﹣2y＝2a﹣4，与坐标轴的交点A（0，﹣a+2），B（2，0）
l2：2x﹣（1﹣a2）y﹣2﹣2a2＝0，与坐标轴的交点C（a2+1，0），D（0，）
两直线ax﹣2y﹣2a+4＝0和2x﹣（1﹣a2）y﹣2﹣2a2＝0，都经过定点（2，2），即yE＝2
∴S四边形OCEA＝S△BCE﹣S△OAB
|BC|•yE|OA|•|OB|
（a21）×2（2﹣a）×（2）
＝a2﹣a+3
＝（a）2，当a时取等号
∴l1，l2与坐标轴围成的四边形面积的最小值为

【点睛】本题考查了相交直线、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
20、（1）
（2）当该企业年产量为50千件时，所获得利润最大，最大利润是950万元
【解析】(1)根据题意，分段写出年利润的表达式即可；
（2）根据年利润的解析式，分段求出两种情况下的最大利润值，比较大小，可得答案.
【小问1详解】
当时，；
当时，.
所以；
【小问2详解】
当时，.
当时，取得最大值，且最大值为950.
当时，
当且仅当时，等号成立.
因为，
所以当该企业年产量为50千件时，所获得利润最大，最大利润是950万元.
21、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）先证明平面，则，再证明平面，则，从而即可证明A1C⊥平面EBD；
（2）由平面，又，则，进而可得是二面角平面角，在中，求出，即可在中求出，从而即可得答案.
【小问1详解】
证明：平面，，又，，
平面，，
又平面，，且，，
平面，
，又，
A1C⊥平面EBD；
【小问2详解】
解：平面，又，
是二面角的平面角，
在中，，
在中，，
.