2026届陕西省汉中市重点中学高一上数学期末联考试题含解析.doc

2026届陕西省汉中市重点中学高一上数学期末联考试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知定义在R上的函数满足：对任意，则
A. B.0
C.1 D.3
2．圆的圆心到直线的距离是（ ）
A. B.
C.1 D.
3．如图所示，点P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，则PB与AC所成的角（　　）

A.90° B.60°
C.45° D.30°
4．将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，则函数的图象的一条对称轴为
A. B.
C. D.
5．直线的倾斜角
A. B.
C. D.
6．若指数函数，则有（）
A.或 B.
C. D.且
7．已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为
A. B.
C. D.
8．点A，B，C，D在同一个球的球面上，，，若四面体ABCD体积的最大值为，则这个球的表面积为
A. B.
C. D.
9．若函数，则的单调递增区间为（ ）
A. B.
C. D.
10．某班有50名学生，编号从1到50，现在从中抽取5人进行体能测试，用系统抽样确定所抽取的第一个样本编号为3，则第四个样本编号是
A.13 B.23
C.33 D.43
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是______
12．函数的最小正周期为，且.当时，则函数的对称中心__________;若，则值为__________.
13．函数的图像恒过定点的坐标为_________.
14．的值为______.
15．，若，则________.
16．已知函数，若函数恰有三个不同的零点，则实数k的取值范围是_____________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．正数x，y满足.
(1)求xy的最小值；
(2)求x＋2y的最小值
18．已知,当时，.
（1）若函数的图象过点，求此时函数的解析式；
（2）若函数只有一个零点，求实数a的值.
19．如图所示，矩形所在平面，分别是的中点.

（1）求证：平面.
（2）
20．设函数
（1）求函数的值域；
（2）设函数，若对，求正实数a的取值范围
21．已知全集为实数集，集合，.
（1）求及；
（2）设集合，若，求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】，且，又，，由此可得，，是周期为的函数，，，故选B.
考点：函数的奇偶性，周期性，对称性，是对函数的基本性质的考察.
【易错点晴】函数满足则函数关于中心对称，,则函数关于轴对称，常用结论：若在上的函数满足，则函数以为周期.本题中，利用此结论可得周期为，进而，需要回到本题利用题干条件赋值即可.
2、A
【解析】根据圆的方程得出圆心坐标（1，0），直接依据点到直线的距离公式可以得出答案.
【详解】圆的圆心坐标为（1，0），
∴圆心到直线的距离为.
故选：A.
【点睛】本题考查点到直线距离公式，属于基础题型.
3、B
【解析】将原图还原到正方体中，连接SC，AS，可确定（或其补角）是PB与AC所成的角.
【详解】因为ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，可将原图还原到正方体中，连接SC，AS，则PB平行于SC，如图所示.

∴（或其补角）是PB与AC所成的角，∵为正三角形，
∴，∴PB与AC所成角为.
故选：B.
4、C
【解析】，
所以，所以，所以是一条对称轴
故选C
5、A
【解析】先求得直线的斜率，然后根据斜率和倾斜角的关系，求得.
【详解】可得直线的斜率为，
由斜率和倾斜角的关系可得，
又∵
∴
故选：A.
【点睛】本小题主要考查直线倾斜角与斜率，属于基础题.
6、C
【解析】根据指数函数的概念，由所给解析式，可直接求解.
【详解】因为是指数函数，
所以，解得.
故选：C
7、C
【解析】由题意：，
且：，
据此：，
结合函数的单调性有：，
即.
本题选择C选项.
【考点】 指数、对数、函数的单调性
【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.
8、D
【解析】根据题意，画出示意图，结合三角形面积及四面积体积的最值，判断顶点D的位置；然后利用勾股定理及球中的线段关系即可求得球的半径，进而求得球的面积
【详解】根据题意，画出示意图如下图所示

因为 ，所以三角形ABC为直角三角形，面积为 ，其所在圆面的小圆圆心在斜边AC的中点处，设该小圆的圆心为Q
因为三角形ABC的面积是定值，所以当四面体ABCD体积取得最大值时，高取得最大值
即当DQ⊥平面ABC时体积最大
所以
所以
设球心为O，球的半径为R，则
即
解方程得
所以球的表面积为
所以选D
【点睛】本题考查了空间几何体的外接球面积的求法，主要根据题意，正确画出图形并判断点的位置，属于难题
9、A
【解析】令，则，根据解析式，先求出函数定义域，结合二次函数以及对数函数的性质，即可得出结果.
【详解】令，则，由真数得，
∵抛物线的开口向下，对称轴，
∴在区间上单调递增，在区间上单调递减，
又∵在定义域上单调递减，
由复合函数的单调性可得：
的单调递增区间为.
故选：A.
10、C
【解析】根据系统抽样的定义，求出抽取间隔，即可得到结论.
【详解】由题意，名抽取名学生，则抽取间隔为，
则抽取编号为，则第四组抽取的学生编号为.
故选：
【点睛】本题考查系统抽样，等间距抽取，属于简单题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】根据指数函数与二次函数的单调性，以及复合函数的单调性的判定方法，求得在上单调递增，在区间上单调递减，再结合题意，即可求解.
【详解】令，可得抛物线的开口向上，且对称轴为，
所以函数在上单调递减，在区间上单调递增，
又由函数，
根据复合函数的单调性的判定方法，
可得函数在上单调递增，在区间上单调递减，
因为函数在上单调递减，则，
可得实数的取值范围是.
故答案：.
12、 ①. ②.
【解析】根据最小正周期以及关于的方程求解出的值，根据对称中心的公式求解出在上的对称中心；先求解出的值，然后根据角的配凑结合两角差的正弦公式求解出的值.
【详解】因为最小正周期为，所以，
又因为，所以，
所以或，
又因为，所以，所以，
所以，
令，所以，
又因为，所以，所以对称中心为；
因为，，所以，
若，则，不符合，
所以，所以，
所以，
故答案为：；.
13、 (1,2)
【解析】令真数，求出的值和此时的值即可得到定点坐标
【详解】令得：，
此时，
所以函数的图象恒过定点，
故答案为：
14、11
【解析】进行对数和分数指数幂的运算即可
【详解】原式
故答案为：11
15、
【解析】分和两种情况解方程，由此可得出的值.
【详解】当时，由，解得；
当时，由，解得（舍去）.
综上所述，.
故答案为：.
16、
【解析】根据函数解析式画出函数图象，则函数的零点个数，转化为函数与有三个交点，结合函数图象判断即可；
【详解】解：因为，函数图象如下所示：

依题意函数恰有三个不同的零点，即函数与有三个交点，
结合函数图象可得，即；
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1)36；(2)
【解析】(1)由基本不等式可得，再求解即可；
(2)由，再求解即可.
【详解】解：(1)由得xy≥36，当且仅当，即时取等号，
故xy的最小值为36.
(2)由题意可得，
当且仅当，即时取等号，
故x＋2y的最小值为.
【点睛】本题考查了基本不等式的应用，重点考查了拼凑法构造基本不等式，属中档题.
18、 (1) (2)或.
【解析】（1）由计算；
（2）只有一个解，由对数函数性质转化为方程只有一个正根，分，和讨论
【详解】（1）,当时，.
函数的图象过点，
，解得，
此时函数.
（2）
，
∵函数只有一个零点，
只有一个正解，
∴当时，，满足题意；
当时，只有一个正根，若，解得，此时，满足题意；
若方程有两个相异实根，则两根之积为，此时方程有一个正根，符合题意；
综上，或.
【点睛】本题考查函数零点与方程根的分布问题．解题时注意函数的定义域，在转化时要正确确定　方程根的范围，对多项式方程，要按最高次项系数为0和不为0进行分类讨论
19、 (1)见解析；（2）见解析
【解析】试题分析：（1）取的中点，连接，构造平行四边形，证得线线平行，进而得到线面平行；（2）由第一问得到，又因为平面,,进而证得结论
解析：
（1）证明：取的中点，连接,
分别是的中点,

,,四边形是平行四边形，
平面，平面, 平面.
（2） 平面， ,又, 平面,
,又，.
点睛：这个题目考查了线面平行的证明，线线垂直的证明．一般证明线面平行是从线线平行入手，通过构造平行四边形，三角形中位线，梯形底边等，找到线线平行，再证线面平行．证明线线垂直也可以从线面垂直入手
20、（1）函数的值域为.
（2）
【解析】(1)由已知，利用基本不等式可求函数的值域；(2)由对可得函数函数在上的值域包含与函数在上的值域，由此可求正实数a的取值范围
【小问1详解】
，
，则，当且仅当时取“=”，
所以，即函数的值域为.
【小问2详解】
设，因为所以，函数在上单调递增，
则函数在上单调递增，，设时，函数的值域为A．由题意知．函数图象的对称轴为，
当，即时，函数在上递增，则，解得，
当时，即时，函数在上的最大值为，中的较大者，而且，不合题意，
当，即时，函数在上递减，则，满足条件的不存在，
综上，
21、（1），
（2）
【解析】（1）先求出集合A、B，再求，；
（2）对是否为分类讨论，分别求出a的范围.
【小问1详解】
由可得
又，则
所以，
【小问2详解】
当时，，此时；
当时，，则；
综上可得