2025年东北师大附中等六校数学高一第一学期期末考试模拟试题含解析.doc

2025年东北师大附中等六校数学高一第一学期期末考试模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是（）
A.x＋y＋3＝0 B.2x－y－5＝0
C.3x－y－9＝0 D.4x－3y＋7＝0
2．已知函数，且在上的最大值为，若函数有四个不同的零点，则实数a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
3．将函数（）的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若为偶函数，则（）
A.5 B.
C.4 D.
4．已知函数，则方程的实数根的个数为（）
A. B.
C. D.
5． “”是“为锐角”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件
6．设集合，若，则实数（）
A.0 B.1
C. D.2
7．命题“∃x＞0，x2＝x﹣1”的否定是（　　）
A.∃x＞0，x2≠x﹣1 B.∀x≤0，x2＝x﹣1
C.∃x≤0，x2＝x﹣1 D.∀x＞0，x2≠x﹣1
8．函数在区间上的最小值是　　
A. B.0
C. D.2
9．下列函数中为奇函数的是（ ）
A. B.
C. D.
10．已知向量，，且，若，均为正数，则的最大值是
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若则函数的最小值为________
12．如图，在正方体中，、分别是、上靠近点的三等分点，则异面直线与所成角的大小是______.

13．若函数在上存在零点，则实数的取值范围是________
14．边长为3的正方形的四个顶点都在球上，与对角线的夹角为45°，则球的体积为______.
15．—个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________

16．定义在上的函数满足则________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数（且）的图象过点.
（1）求函数的解析式；
（2）解不等式.
18．已知，．若，求的取值范围.
19．已知函数，，且.
（1）求实数m的值，并求函数有3个不同的零点时实数b的取值范围；
（2）若函数在区间上为增函数，求实数a的取值范围.
20．某企业生产，两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图（1）所示；产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示（注：利润和投资的单位均为万元）

图（1） 图（2）
（1）分别求，两种产品的利润关于投资的函数解析式
（2）已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入，两种产品的生产
①若平均投入两种产品的生产，可获得多少利润？
②如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润为多少万元？
21．已知，，，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】两圆公共弦的垂直平分线的方程即为两圆圆心所在直线的方程，求出两圆的圆心，从而可得答案.
【详解】解：AB的垂直平分线的方程即为两圆圆心所在直线的方程，
圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心为，
圆x2＋y2－6x＝0的圆心为，
则两圆圆心所在直线的方程为，即3x－y－9＝0.
故选：C.
2、B
【解析】由在上最大值为，讨论可求出，从而，若有4个零点，则函数与有4个交点，画出图象，结合图象求解即可
【详解】若，则函数在上单调递增，
所以的最小值为，不合题意，则，
要使函数在上的最大值为
如果，即，则，解得，不合题意；
若，即，则解得即，
则
如图所示，若有4个零点，则函数与有4个交点，
只有函数的图象开口向上，即
当与）有一个交点时，方程有一个根，
得，此时函数有二个不同的零点，
要使函数有四个不同的零点，与有两个交点，则抛物线的图象开口要比的图象开口大，可得，
所以，即实数a的取值范围为
故选：B

【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查二次函数的性质的应用，考查数形结合的思想，解题的关键是由已知条件求出的值，然后将问题转化为函数与有4个交点，画出函数图象，结合图象求解即可，属于较难题
3、C
【解析】先由函数图象平移规律可得，再由为偶函数，可得（），则（），再由可得出的值.
【详解】由题意可知，
因为为偶函数，所以（），则（），
因为，所以.
故选：C.
4、B
【解析】由已知，可令，要求，即为，原题转化为直线与的图象的交点情况，通过画出函数的图象，讨论的取值，即可直线与的图象的交点情况.
【详解】令，则，
①当时，，，，即，
②当时，，，
画出函数的图象，如图所示，

若，即，无解；
若，直线与的图象有3个交点，即有3个不同实根；
若，直线与的图象有2个交点，即有2个不同实根；
综上所述，方程的实数根的个数为5个，
故选：
5、B
【解析】根据充分条件与必要条件的定义判断即可.
【详解】解：因为为锐角，所以，所以，所以“”是“为锐角”的必要条件；
反之，当时，，但是不是锐角，所以“”是“为锐角”的非充分条件.
故“”是“为锐角”必要不充分条件.
故选：B.
【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件，与角的余弦在各象限的正负，属于基础题.
6、B
【解析】可根据已知条件，先求解出的值，然后分别带入集合A和集合B中去验证是否满足条件，即可完成求解.
【详解】集合，，所以，
①当时，集合，此时，成立；
②当时，集合，此时，不满足题意，排除.
故选：B.
7、D
【解析】根据特称命题的否定是全称命题的知识选出正确结论.
【详解】因为特称命题的否定是全称命题，注意到要否定结论，所以：命题“∃x＞0，x2＝x﹣1”的否定是：∀x＞0，x2≠x﹣1
故选：D
【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题，考查特称命题的否定，属于基础题.
8、A
【解析】函数，可得的对称轴为，利用单调性可得结果
【详解】函数，
其对称轴为，在区间内部，
因为抛物线的图象开口向上，
所以当时，在区间上取得最小值，
其最小值为，故选A
【点睛】本题考查二次函数的最值，注意分析的对称轴，属于基础题．若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域.
9、D
【解析】利用奇函数的定义逐个分析判断
【详解】对于A，定义域为，因为，所以是偶函数，所以A错误，
对于B，定义域为，因为，且，所以是非奇非偶函数，所以B错误，
对于C，定义域为，因为定义域不关于原点对称，所以是非奇非偶函数，所以C错误，
对于D，定义域为，因为，所以是奇函数，所以D正确，
故选：D
10、C
【解析】利用向量共线定理可得2x+3y=5，再利用基本不等式即可得出
【详解】∵，∴(3y－5)×1＋2x＝0，即2x＋3y＝5.
∵x＞0，y＞0，
∴5＝2x＋3y≥2，∴xy≤，当且仅当3y＝2x时取等号
故选C.
点睛】本题考查了向量共线定理和基本不等式，属于中档题

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、1
【解析】结合图象可得答案.
【详解】
如图，函数在同一坐标系中，
且，所以在时有最小值，即.
故答案为：1.
12、
【解析】连接，可得出，证明出四边形为平行四边形，可得，可得出异面直线与所成角为或其补角，分析的形状，即可得出的大小，即可得出答案.
【详解】连接、、，，，
在正方体中，，，，
所以，四边形为平行四边形，，
所以，异面直线与所成的角为.
易知为等边三角形，.

故答案为：.
【点睛】本题考查异面直线所成角的计算，一般利用平移直线法，选择合适的三角形求解，考查计算能力，属于中等题.
13、
【解析】分和并结合图象讨论即可
【详解】解：令，则有，
原命题等价于函数与在上有交点，
又因为在上单调递减，且当时，，
在上单调递增，
当时，作出两函数的图像，

则两函数在上必有交点，满足题意；
当时，如图所示，只需，
解得，即，

综上所述实数的取值范围是.
故答案为：
14、
【解析】根据给定条件结合球的截面小圆性质求出球O的半径，再利用球的体积公式计算作答.
【详解】因边长为3的正方形的四个顶点都在球上，则正方形的外接圆是球O的截面小圆，其半径为，
令正方形的外接圆圆心为，由球面的截面小圆性质知是直角三角形，且有，
而与对角线的夹角为45°，即是等腰直角三角形，球O半径，
所以球体积为.
故答案为：
【点睛】关键点睛：涉及求球的表面积、体积问题，利用球的截面小圆性质是解决问题的关键.
15、30
【解析】由三视图可知这是一个下面是长方体，上面是个平躺着的五棱柱构成的组合体
长方体的体积为
五棱柱的体积是
故该几何体的体积为
点睛：本题主要考查的知识点是由三视图求面积，体积．本题通过观察三视图这是一个下面是长方体，上面是个平躺着的五棱柱构成的组合体，分别求出长方体和五棱柱的体积，然后相加可得答案
16、
【解析】表示周期为3的函数，故，故可以得出结果
【详解】解：
表示周期为3的函数，

【点睛】本题考查了函数的周期性，解题的关键是要能根据函数周期性的定义得出函数的周期，从而进行解题

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）把已知点的坐标代入求解即可；
（2）直接利用函数单调性即可求出结论，注意真数大于0的这一隐含条件
【小问1详解】
因为函数（且）的图象过点.
，所以，即；
【小问2详解】
因为单调递增，所以，
即不等式的解集是
18、.
【解析】
利用对函数数的性质化简，利用一元二次不等式的解法，讨论，， 三种情况，分别分析集合，再结合，解得的取值范围
【详解】由，得，
解得，即，
由，得，
当时，是空集，不满足，不符合题意，舍去；
当时，，不满足，不符合题意，舍去；
当时，解得，因为，
所以的取值范围是.
19、（1）..（2）
【解析】
（1）由求得，作出函数图象可知的范围；
（2）由函数图象可知区间所属范围，列不等式示得结论．
【详解】（1）因为，所以.
函数大致图象如图所示

令，得.
故有3个不同的零点.
即方程有3个不同的实根.
由图可知.
（2）由图象可知，函数在区间和上分别单调递增.
因为，且函数在区间上为增函数，
所以可得，解得.
所以实数a的取值范围为.
【点睛】本题考查由函数值求参数，考查分段函数的图象与性质．考查零点个数问题与转化思想．属于中档题．
20、 (1) ，;(2) 当，两种产品分别投入2万元，16万元时，可使该企业获得最大利润，最大利润为万元
【解析】（1）设投资为万元（），设，，根据函数的图象，求得的值，即可得到函数的解析式；，
（2）①由（1）求得，，即可得到总利润．②设产品投入万元，产品投入万元，得到则，结合二次函数的图象与性质，即可求解
【详解】（1）设投资为万元（），，两种产品所获利润分别为，万元，
由题意可设，，其中，是不为零的常数
所以根据图象可得，，，，
所以，
（2）①由（1）得，，所以总利润为万元
②设产品投入万元，产品投入万元，该企业可获总利润为万元，
则，
令，则，且，
则，
当时，，此时，
当，两种产品分别投入2万元，16万元时，可使该企业获得最大利润，最大利润为万元
【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中能够从图象中准确地获取信息，利用待定系数法求得函数的解析式，再结合二次函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题
21、（1）.（2）
【解析】（1）由已知根据同角三角函数的基本关系可求得,根据代入即可求得求得结果.
（2）由(1)利用二倍角公式,可求得,进而可得的值,根据角的范围,即可确定结果.
【详解】（1）∵，且
∴∴
又∵
∴
（2）∴∴或
∵∴
又∵∴
∵，且∴
又∵∴∴
【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系,二倍角公式,两角和与差的三角函数,考查已知三角函数值求角,属于基础题.