广渠门中学2025-2026学年数学高一第一学期期末检测试题含解析.doc

广渠门中学2025-2026学年数学高一第一学期期末检测试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．以下元素的全体不能够构成集合的是
A.中国古代四大发明 B.周长为的三角形
C.方程的实数解 D.地球上的小河流
2．已知全集 ，集合 ，集合 ，则集合
A. B.
C. D.
3．函数在区间上的最大值为
A.2 B.1
C. D.1或
4．函数的零点所在的区间（ ）
A. B.
C. D.
5．给定函数：①；②；③；④，其中在区间上单调递减的函数序号是（）
A.①② B.②③
C.③④ D.①④
6．设，则“”是“”（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7．若点关于直线的对称点是，则直线在轴上的截距是
A.1 B.2
C.3 D.4
8．已知集合，则
A. B.
C.（ D.）
9．为了得到函数的图象，只需将函数上所有的点（ ）
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
10．定义在R上的函数满足，且当时，，，若任给，存在，使得，则实数a的取值范围为（ ）.
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．设函数和函数，若对任意都有使得，则实数a的取值范围为______
12．①函数y=sin2x的单调增区间是[]，（k∈Z）；②函数y=tanx在它的定义域内是增函数；③函数y=|cos2x|的周期是π；④函数y=sin（）是偶函数；其中正确的是____________
13．已知函数，，若关于x的方程（）恰好有6个不同的实数根，则实数λ的取值范围为_______.
14．为偶函数，则___________.
15．某时钟的秒针端点到中心点的距离为6cm，秒针均匀地绕点旋转，当时间时，点与钟面上标12的点重合，将，两点的距离表示成的函数，则_______，其中
16．若函数在上单调递增，则的取值范围是__________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，为等边三角形，平面，，，为的中点.

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面平面.
18．某商品上市天内每件的销售价格(元)与时间(天)函数的关系是，该商品的日销售量(件)与时间(天)的函数关系是.
（1）求该商品上市第天的日销售金额；
（2）求这个商品的日销售金额的最大值.
19．已知A（1，1）和圆C：（x+2）2+（y﹣2）2＝1，一束光线从A发出，经x轴反射后到达圆C
（1）求光线所走过的最短路径长；
（2）若P为圆C上任意一点，求x2+y2﹣2x﹣4y的最大值和最小值
20．设函数的定义域为集合的定义域为集合
（1）当时，求；
（2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围
21．已知关于x的不等式对恒成立.
（1）求的取值范围；
（2）当取得最小值时，求的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】地球上的小河流不确定，因此不能够构成集合，选D.
2、A
【解析】,所以，故选A.
考点：集合运算.
3、A
【解析】利用同角三角函数的基本关系化简函数f（x）的解析式为﹣（sinx﹣1）2+2，根据二次函数的性质，求得函数f（x）的最大值
【详解】∵函数f（x）＝cos2x+2sinx
＝1﹣sin2x+2sinx＝﹣（sinx﹣1）2+2，
∴sinx≤1，
∴当sinx＝1时，函数f（x）取得最大值为2，
故选A
【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，正弦函数的定义域和值域，二次函数的性质，属于中档题
4、B
【解析】，
，
零点定理知，
的零点在区间上
所以选项是正确的
5、B
【解析】①，为幂函数，且的指数，在上为增函数；②，，为对数型函数，且底数，在上为减函数；③，在上为减函数，④为指数型函数，底数在上为增函数，可得解.
【详解】①，为幂函数，且的指数，在上为增函数，故①不可选；
②，，为对数型函数，且底数，在上为减函数，故②可选；
③，在上为减函数，在上为增函数，故③可选；
④为指数型函数，底数在上为增函数，故④不可选；
综上所述，可选的序号为②③，
故选B.
【点睛】本题考查基本初等函数的单调性，熟悉基本初等函数的解析式、图像和性质是解决此类问题的关键，属于基础题.
6、A
【解析】解不等式，再判断不等式解集的包含关系即可.
【详解】由得，
由得，
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
7、D
【解析】∵点A（1，1）关于直线y=kx+b的对称点是B（﹣3，3），
由中点坐标公式得AB的中点坐标为，
代入y=kx+b得 ①
直线AB得斜率为，则k=2.
代入①得， ．
∴直线y=kx+b为 ，解得：y=4．
∴直线y=kx+b在y轴上的截距是4．
故选D．
8、C
【解析】因为所以，故选.
考点：1.集合的基本运算；2.简单不等式的解法.
9、A
【解析】根据函数图象的平移变换即可得到答案.
【详解】选项A：把函数上所有的点向左平移个单位长度可得的图象，选项A正确；
选项B：把函数上所有的点向右平移个单位长度可得的图象，选项B错误；
选项C：把函数上所有的点向左平移个单位长度可得的图象，选项C错误；
选项D：把函数上所有的点向右平移个单位长度可得的图象，选项D错误；
故选：A.
10、D
【解析】求出在，上的值域，利用的性质得出在，上的值域，再求出在，上的值域，根据题意得出两值域的包含关系，从而解出的范围
【详解】解：当时，，
可得在，上单调递减，在上单调递增，
在，上的值域为，，
在上的值域为，，
在上的值域为，，
，
，
在上的值域为，，
当时，为增函数，
在，上的值域为，，
，解得；
当时，为减函数，
在，上的值域为，，
，解得；
当时，为常数函数，值域为，不符合题意；
综上，的范围是或
故选：
【点睛】本题考查了分段函数的值域计算，集合的包含关系，对于不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则值域是值域的子集

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】先根据的单调性求出的值域A，分类讨论求得的值域B，再将条件转化为A，进行判断求解即可
【详解】是上的递减函数，
∴的值域为，令A=，
令的值域为B，
因为对任意都有使得，则有A，
而，当a=0时，不满足A；
当a>0时，，∴解得；
当a<0时，，∴不满足条件A,
综上得.
故答案为.
【点睛】本题考查了函数的值域及单调性的应用，关键是将条件转化为两个函数值域的关系，运用了分类讨论的数学思想，属于中档题
12、①④
【解析】①由，解得．可得函数单调增区间；
②函数在定义域内不具有单调性；
③由，即可得出函数的最小正周期；
④利用诱导公式可得函数，即可得出奇偶性
【详解】解：①由，解得．可知：函数的单调增区间是，，，故①正确；
②函数在定义域内不具有单调性，故②不正确；
③，因此函数的最小正周期是，故③不正确；
④函数是偶函数，故④正确
其中正确的是①④
故答案为：①④
【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题
13、
【解析】令，则方程转化为，可知可能有个不同解，二次函数可能有个不同解，由恰好有6个不同的实数根，可得有2个不同的实数根，有3个不同的实数根，则，然后根据，，分3种情况讨论即可得答案.
【详解】解：令，则方程转化为，画出的图象，如图

可知可能有个不同解，二次函数可能有个不同解，
因为恰好有6个不同的实数根，所以有2个不同的实数根，有3个不同的实数根，则，
因为，解得，，解得，
所以，，每个方程有且仅有两个不相等的实数解，
所以由，可得，即，解得；
由，可得，即，解得；
由，可得，
即，而在上恒成立，
综上，实数λ的取值范围为.
故答案为：.
14、
【解析】根据偶函数判断参数值，进而可得函数值.
【详解】由为偶函数，
得，
，
不恒为，
，
，
，
故答案为：.
15、
【解析】设函数解析式为，由题意将、代入求出参数值，即可得解析式.
【详解】设，由题意知：，
当时，，则，，令得；
当时，，则，，令得，
所以.
故答案为：.
16、
【解析】由题意根据函数在区间上为增函数及分段函数的特征，可求得的取值范围
【详解】∵函数在上单调递增，
∴函数在区间上为增函数，
∴，解得，
∴实数的取值范围是
故答案为
【点睛】解答此类问题时要注意两点：一是根据函数在上单调递增得到在定义域的每一个区间上函数都要递增；二是要注意在分界点处的函数值的大小，这一点容易忽视，属于中档题

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1)见解析(2)见解析
【解析】（Ⅰ）取的中点，连结，由三角形中位线定理可得，，结合已知，可得四边形为平行四边形，得到，由线面平行的判定可得平面；（Ⅱ）由线面垂直的性质可得平面，得到，再由为等边三角形，得，结合线面垂直的判定可得平面，再由面面垂直的判定可得面面
【详解】（Ⅰ）证明：取的中点，连结
∵在中，，
∵， ∴，
∴四边形为平行四边形 ∴
又∵平面 ∴平面
（Ⅱ）证：∵面，平面，∴，
又∵为等边三角形，∴，
又∵，∴平面，
又∵，∴面，
又∵面，∴面面

18、（1）750元；（2）元.
【解析】（1）根据题目提供的函数关系式分别算出该商品上市第20天的销售价格和日销售量即可；
（2）设日销售金额为元，则，分别讨论当时以及当时的情况即可
【详解】解：（1）该商品上市第天的销售价格是元，日销售量为件.
所以该商品上市第天的日销售金额是元.
（2）设日销售金额为(元)，则.
当，
时，取得最大值为（元），
当，
时，取得最大值为(元).
所以第天时，这个商品的日销售金额最大，最大值为(元).
19、（1）；（2）最大值为11，最小值为﹣1
【解析】
(1)点关于x轴的对称点在反射光线上,当反射光线从点经轴反射到圆周的路程最短,最短为;
(2)将式子化简得到,转化为点点距,进而转化为圆心到的距离,加减半径,即可求得最值.
【详解】（1）关于x轴的对称点为，
由圆C：（x+2）2+（y﹣2）2＝1得圆心坐标为C（﹣2，2），
∴，
即光线所走过的最短路径长为；
（2）x2+y2﹣2x﹣4y＝（x﹣1）2+（y﹣2）2﹣5
（x﹣1）2+（y﹣2）2表示圆C上一点P（x，y）到点（1，2）的距离的平方，
由题意，得，
因此，x2+y2﹣2x﹣4y的最大值为11，最小值为﹣1

【点睛】本题考查最短路径问题,以及圆外一点到圆上一点的距离的最值问题,属于基础题;求最短路径时作对称点,由两点之间线段最短的原理确定长度,将圆外一点距离的最值转化为点到圆心的距离和半径之间的关系.
20、（1）
（2）
【解析】（1）求出集合A，B，根据集合的补集、交集运算求解即可；
（2）由必要条件转化为集合间的包含关系，建立不等式求解即可.
【小问1详解】
由，解得或，
所以

当时，由，即，解得，
所以．所以
小问2详解】
由（1）知，
由，即，解得，
所以
因为“”是“”的必要条件，
所以．所以，解得
所以实数的取值范围是
21、（1）
（2）
【解析】（1）根据已知条件，利用判别式小于等于零列不等式可得范围；
（2）根据（1）可得，利用转化分母，把正弦和余弦化为正切值，可得答案.
【小问1详解】
关于x的不等式对恒成立，
所以，解得.
【小问2详解】
由（1）可知，由得
.