天津市武清区杨村第一中学2025年高一上数学期末综合测试试题含解析.doc

天津市武清区杨村第一中学2025年高一上数学期末综合测试试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．如图，直角梯形ABCD中，A＝90°，B＝45°，底边AB＝5，高AD＝3，点E由B沿折线BCD向点D移动，EMAB于M，ENAD于N，设BM＝，矩形AMEN的面积为，那么与的函数关系的图像大致是（ ）

A. B.
C. D.
2．若“”是“”的充分不必要条件，则（）
A. B.
C. D.
3．函数y＝f（x）在R上为增函数，且f（2m）＞f(﹣m+9），则实数m的取值范围是（　　）
A.(﹣∞，﹣3) B.(0，+∞)
C.(3，+∞) D.(﹣∞，﹣3)∪(3，+∞)
4．形如的函数因其图像类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称为“囧函数”.若函数有最小值，则“囧函数”与函数的图像交点个数为（）
A.1 B.2
C.4 D.6
5．已知六边形是边长为1的正六边形，则的值为
A. B.
C. D.
6．设集合，则中元素的个数为（ ）
A.0 B.2
C.3 D.4
7．已知定义在R上的奇函数满足：当时，.则（ ）
A.2 B.1
C.-1 D.-2
8．已知函数，且f（5a﹣2）＞﹣f（a﹣2），则a的取值范围是（　　）
A.（0，+∞） B.（﹣∞，0）
C. D.
9．已知函数，则使得成立的的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
10．已知，则（）
A.－3 B.－1
C.1 D.3
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．下面四个命题：
①定义域上单调递增；
②若锐角，满足，则；
③是定义在上的偶函数，且在上是增函数，若，则；
④函数的一个对称中心是；
其中真命题的序号为______.
12．已知定义在上的函数，满足不等式，则的取值范围是______
13．集合，，则__________.
14．化简求值
（1）化简
（2）已知：，求值
15．若在幂函数的图象上，则______
16．已知曲线且过定点，若且，则的最小值为_____
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数，.求：

（1）求函数在上的单调递减区间
（2）画出函数在上的图象；
18．某校对100名高一学生的某次数学测试成绩进行统计，分成五组，得到如图所示频率分布直方图.

（1）求图中a值；
（2）估计该校高一学生这次数学成绩的众数和平均数；
（3）估计该校高一学生这次数学成绩的75%分位数.
19．设函数
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）求函数在上的最大值与最小值及相应的x的值.
20．2015年10月5日，我国女药学家屠呦呦获得2015年诺贝尔医学奖.屠呦呦和她的团队研制的抗疟药青蒿素，是科学技术领域的重大突破，开创了定疾治疗新方法，挽救了全球特别是发展中国家数百万人的生命，对促进人类健康、减少病痛发挥了难以估量的作用.当年青蒿素研制的过程中，有一个小插曲：虽然青蒿素化学成分本身是有效的，但是由于实验初期制成的青蒿素药片在胃液中的溶解速度过慢，导致药片没有被人体完全吸收，血液中青蒿素的浓度（以下简称为“血药浓度”）的峰值（最大值）太低，导致药物无效.后来经过改进药片制备工艺，使得青蒿素药片的溶解速度加快，血药浓度能够达到要求，青蒿素才得以发挥作用.已知青蒿素药片在体内发挥作用的过程可分为两个阶段，第一个阶段为药片溶解和进入血液，即药品进入人体后会逐渐溶解，然后进入血液使得血药浓度上升到一个峰值；第二个阶段为吸收和代谢，即进入血液的药物被人体逐渐吸收从而发挥作用或者排出体外，这使得血药浓度从峰值不断下降，最后下降到一个不会影响人体机能的非负浓度值.人体内的血药浓度是一个连续变化的过程，不会发生骤变.现用t表示时间（单位：），在时人体服用青蒿素药片；用C表示青蒿素的血药浓度（单位：）.根据青蒿素在人体发挥作用的过程可知，C是t的函数.已知青蒿素一般会在1.5小时达到需要血药浓度的峰值.请根据以上描述完成下列问题：
（1）下列几个函数中，能够描述青蒿素血药浓度变化过程的函数的序号是___________.
①
②
③
④
（2）对于青蒿素药片而言，若血药浓度的峰值大于等于0.1，则称青蒿素药片是合格的.基于（1）中你选择的函数（若选择多个，则任选其中一个），可判断此青蒿素药片___________；（填“合格”、“不合格”）
（3）记血药浓度的峰值为，当时，我们称青蒿素在血液中达到“有效浓度”，基于（1）中你选择的函数（若选择多个，则任选其中一个），计算青蒿素在血液中达到“有效浓度”的持续时间.
21．如图，正方体的棱长为1，CB′∩BC′＝O，

求：（1）AO与A′C′所成角的度数；
（2）AO与平面ABCD所成角的正切值；
（3）证明平面AOB与平面AOC垂直.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】根据已知可得：点E在未到达C之前，y=x（5-x）=5x-x2；且x≤3，当x从0变化到2.5时，y逐渐变大，
当x=2.5时，y有最大值，当x从2.5变化到3时，y逐渐变小，
到达C之后，y=3（5-x）=15-3x，x＞3，
根据二次函数和一次函数的性质．故选A．
考点：动点问题的函数图象；二次函数的图象．
2、B
【解析】转化“”是“”的充分不必要条件为Ü，分析即得解
【详解】由题意，“”是“”的充分不必要条件
故Ü
故
故选：B
3、C
【解析】根据增函数的定义求解
【详解】解：∵函数y＝f（x）在R上为增函数，且f（2m）f（﹣m+9），
∴2m﹣m+9，解得m3，
故选：C
4、C
【解析】令，根据函数有最小值，可得，由此可画出“囧函数”与函数在同一坐标系内的图象，由图象分析可得结果.
【详解】令，则函数有最小值
∵，
∴当函数是增函数时，在上有最小值，
∴当函数是减函数时，在上无最小值，
∴.此时“囧函数”与函数在同一坐标系内的图象如图所示，

由图象可知，它们的图象的交点个数为4.
【点睛】本题考查对数函数的性质和函数图象的应用，考查学生画图能力和数形结合的思想运用，属中档题.
5、D
【解析】如图，，选D.

6、B
【解析】先求出集合,再求,最后数出中元素的个数即可.
【详解】因集合,,
所以,
所以,
则中元素的个数为2个.
故选：B
7、D
【解析】由奇函数定义得，从而求得，然后由计算
【详解】由于函数是定义在R上的奇函数，
所以，而当时，，
所以，
所以当时，，
故.
由于为奇函数，
故.
故选：D.
【点睛】本题考查奇函数的定义，掌握奇函数的概念是解题关键
8、D
【解析】由定义可求函数的奇偶性，进而将所求不等式转化为f（5a﹣2）＞f（﹣a+2），结合函数的单调性可得关于a的不等式，从而可求出a的取值范围.
【详解】解：根据题意，函数，其定义域为R，
又由f（﹣x）f（x），f（x）为奇函数，
又，函数y＝9x+1为增函数，则f（x）在R上单调递增；
f（5a﹣2）＞﹣f（a﹣2）⇒f（5a﹣2）＞f（﹣a+2）⇒5a﹣2＞﹣a+2，解可得，
故选:D.
【点睛】关键点睛：本题的关键是由奇偶性转化已知不等式，再求出函数单调性求出关于a的不等式.
9、C
【解析】令，则，从而，即可得到，然后构造函数，利用导数判断其单调性，进而可得，解不等式可得答案
【详解】令，则，
，
所以，
所以，
令，则，
所以，所以，
所以在单调递增，
所以由，得，
所以，解得，
故选：C
【点睛】关键点点睛：此题考查不等式恒成立问题，考查函数单调性的应用，解题的关键是换元后对不等式变形得，再构造函数，利用函数的单调性解不等式.
10、D
【解析】利用同角三角函数基本关系式中的技巧弦化切求解.
【详解】.
故选：D
【点睛】本题考查了同角三角函数基本关系中的弦化切技巧，属于容易题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、②③④
【解析】由正切函数的单调性，可以判断①真假；根据正弦函数的单调性，结合诱导公式，可以判断②的真假；根据函数奇偶性与单调性的综合应用，可以判断③的真假；根据正弦型函数的对称性，我们可以判断④的真假，进而得到答案
【详解】解：由正切函数的单调性可得①“在定义域上单调递增”为假命题；
若锐角、满足，即，即，则，故②为真命题；
若是定义在上的偶函数，且在上是增函数，则函数在上为减函数，
若，则，则，故③为真命题；
由函数则当时，故可得是函数的一个对称中心，故④为真命题；
故答案为：②③④
【点睛】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，函数单调性的性质，偶函数，正弦函数的对称性，是对函数性质的综合考查，熟练掌握基本初等函数的性质是解答本题的关键
12、
【解析】观察函数的解析式，推断函数的性质，借助函数性质解不等式
【详解】令 ，则，得，即函数的图像关于中心对称，且单调递增，不等式可化为，即，得，解集为
【点睛】利用函数解决不等式问题，关键是根据不等式构造适当的函数，通过研究函数的单调性等性质解决问题
13、
【解析】通过求二次函数的值域化简集合,再根据交集的概念运算可得答案.
【详解】因为,,
所以.
故答案为:
【点睛】本题考查了交集的运算,考查了求二次函数的值域,搞清楚集合中元素符号是解题关键,属于基础题.
14、（1）
（2）
【解析】（1）利用诱导公式化简即可；
（2）先进行弦化切，把代入即可求解.
【小问1详解】

.
【小问2详解】
因为，所以.
所以.
又，所以.
15、27
【解析】由在幂函数的图象上，利用待定系数法求出幂函数的解析式，再计算的值
【详解】设幂函数，，
因为函数图象过点，
则，，
幂函数，
，故答案为27
【点睛】本题主要考查了幂函数的定义与解析式，意在考查对基础知识的掌握情况，是基础题
16、
【解析】
由指数函数图象所过定点求出，利用“1”的代换凑配出定值后用基本不等式得出最小值．
【详解】令，，则，∴定点为，，
，当且仅当时等号成立，即时取得最小值.
故答案为：．
【点睛】本题考查指数函数的图象与性质，考查用基本不等式求最值．“1”的代换是解题关键．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）图象见解析
【解析】（1）由，得的范围，即可得函数在，上的单调递减区间
（2）根据用五点法作函数的图象的步骤和方法，作出函数在，上的图象
【小问1详解】
因为，
令，，解得，，
令得：函数在区间，上的单调递减区间为：，
【小问2详解】
，列表如下：

0

1

0

0
1
描点连线画出函数在一个周期上，的图象如图所示：

18、（1）
（2）众数为，平均数为
（3）
【解析】（1）由频率分布直方图的性质，列出方程，即可求解；
可得，
（2）根据频率分布直方图的中众数的概念和平均数的计算公式，即可求解；
（3）因为50到80的频率和为0.65，50到90的频率和为0.9，结合百分数的计算方法，即可求解.
【小问1详解】
解：由频率分布直方图的性质，可得，
解得.
【小问2详解】
解：根据频率分布直方图的中众数的概念，可得众数为，
平均数为.
【小问3详解】
解：因为50到80的频率和为0.65，50到90的频率和为0.9，
所以75%分位数为.
19、（1）最小正周期，单调递增区间为，；
（2）时函数取得最小值，时函数取得最大值；
【解析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2）由的取值范围，求出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得；
【小问1详解】
解：因为

，
即，所以函数的最小正周期，
令，，
解得，，
所以函数的单调递增区间为，；
【小问2详解】
解：因为，所以，
所以当，即时函数取得最小值，即，
当，即时函数取得最大值，即；
20、（1）④（2）合格
（3）
【解析】（1）先分析函数同时满足的条件，再逐一对每个函数进行验证；
（2）作差比较进行判断；
（3）令，分段解不等式，再取并集即可求解.
【小问1详解】
解：根据题意，得函数同时满足以下条件：
A.函数在上单调递增，在上单调递减；
B.当时，函数取得最大值；函数的最小值非负；
C.函数是一个连续变化的函数，不会发生骤变.
选择①：，
因为不满足条件B，
所以①不能描述青蒿素血药浓度变化过程；
选择②：，
当时，，
当时，函数取得最大值，不满足条件B，
所以②不能描述青蒿素血药浓度变化过程；
选择③：，
因为，
，
所以不满足条件C,
所以③不能描述青蒿素血药浓度变化过程；
选择④：，
因为，
且当时，，
所以同时满足三个条件，
即④能描述青蒿素血药浓度变化过程；
综上所述，能够描述青蒿素血药浓度变化过程的函数的序号是④.
【小问2详解】
解：由（1）得：函数④：
因为，
即血药浓度的峰值大于0.1，
所以此青蒿素药片合格，
即答案为：合格；
【小问3详解】
解：当时，令，
所以，即，
即，解得或，
即；
当时，令，
则，解得，
即；
综上所述，青蒿素在血液中达到“有效浓度”的持续时间
为.
21、（1）30°
（2）
（3）见解析
【解析】（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求AO与A′C′所成角的度数；（2）利用向量法求AO与平面ABCD所成角的正切值；（3）证明平面AOB与平面AOC的法向量垂直.
【详解】（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
A（1，0，0），O（），（1，0，1），C′（0，1，1），
（，1，），（﹣1，1，0），
设AO与A′C′所成角为θ，
则cosθ，∴θ＝30°，
∴AO与A′C′所成角为30°.
（2）∵（），面ABCD的法向量为（0，0，1），
设AO与平面ABCD所成角为α，
则sinα＝|cos|，
cosα，
∴tanα.
∴AO与平面ABCD所成角的正切值为.
（3）C（0，1，0），（），（0，1，0），（﹣1，1，0），
设平面AOB的法向量（x，y，z），
则，取x＝1，得（1，0，1），
设平面AOC的法向量（a，b，c），
则，取a＝1，得（1，1，﹣1），
∵1+0﹣1＝0，
∴平面AOB与平面AOC垂直.

【点睛】本题主要考查空间角的求法和面面垂直的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.