2026届重庆市开州中学高一上数学期末预测试题含解析.doc

2026届重庆市开州中学高一上数学期末预测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在空间四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，E为对角线AC的中点，下列判断正确的是(　　)
A平面ABC⊥平面BED B.平面ABC⊥平面ABD
C.平面ABC⊥平面ADC D.平面ABD⊥平面BDC
2．已知,，则（ ）
A. B.
C. D.
3．已知函数的图象关于直线对称，且，则的最小值为 （ ）
A. B.
C. D.
4．在同一直角坐标系中，函数和（且）的图像可能是（）
A. B.
C. D.
5．在长方体中， ， ，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B.
C. D.
6．在正方体中，分别是的中点，则直线与平面所成角的余弦值为
A. B.
C. D.
7．下图是一几何体的平面展开图，其中四边形为正方形，，，，为全等的等边三角形，分别为的中点.在此几何体中，下列结论中错误的为

A.直线与直线共面 B.直线与直线是异面直线
C.平面平面 D.面与面的交线与平行
8．复利是一种计算利息的方法.即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.某同学有压岁钱1000元，存入银行，年利率为2.25%；若放入微信零钱通或
者支付宝的余额宝，年利率可达4.01%.如果将这1000元选择合适方式存满5年，可以多获利息( )元.（参考数据：）
A.176 B.100
C.77 D.88
9．若a，b都为正实数且，则的最大值是（）
A. B.
C. D.
10．设，，，则
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数，若关于的不等式在[0，1]上有解，则实数的取值范围为______
12．若函数过点，则的解集为___________.
13．不等式的解集是______
14．等于_______.
15．如图，已知四棱锥P－ABCD，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD．给出下列命题：①PB⊥AC；②平面PAB与平面PCD的交线与AB平行；③平面PBD⊥平面PAC；④△PCD为锐角三角形．其中正确命题的序号是________

16．已知圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是__．(请填写：相切、相交、相离)
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．近年来，随着我市经济的快速发展，政府对民生越来越关注市区现有一块近似正三角形的土地（如图所示），其边长为2百米，为了满足市民的休闲需求，市政府拟在三个顶点处分别修建扇形广场，即扇形和，其中与、分别相切于点，且与无重叠，剩余部分（阴影部分）种植草坪.设长为（单位：百米），草坪面积为（单位：万平方米）.

（1）试用分别表示扇形和的面积，并写出的取值范围；
（2）当为何值时，草坪面积最大？并求出最大面积.
18．△ABC的两顶点A（3，7），B（，5），若AC的中点在轴上，BC的中点在轴上
（1）求点C的坐标；
（2）求AC边上中线BD的长及直线BD的斜率
19．已知角终边上一点.
（1）求的值；
（2）求的值.
20．已知函数 .
（1）当时，求函数的值域；
（2）若函数的值域为R，求实数取值范围.
21．如图，以Ox为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于P，Q两点，已知点P的坐标为

（1）求的值；
（2）若，求的值
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】利用面面垂直的判定定理逐一判断即可
【详解】连接DE，BE．因为E为对角线AC的中点，
且AB＝BC，AD＝CD，
所以DE⊥AC，BE⊥AC
因为DE∩BE＝E，
所以AC⊥面BDE
AC⊂面ABC，
所以平面ABC⊥平面BED，
故选A

【点睛】本题主要考查了面面垂直的判定，要求熟练掌握面面垂直的判定定理
2、C
【解析】求出集合，，直接进行交集运算即可.
【详解】，，

故选：C
【点睛】本题考查集合的交集运算，指数函数的值域，属于基础题.
3、D
【解析】由辅助角公式可得，由函数关于直线对称，可得，可取．从而可得，由此结合，可得一个最大值一个最小值，从而可得结果.
【详解】，
，
函数关于直线对称，
，
即，，故可取
故，，
即可得：
，
故可令，，
，，即，，其中，，
，
故选D
【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用、三角函数的最值、三角函数的对称性，转化与划归思想的应用，属于难题.由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.
4、B
【解析】利用函数的奇偶性及对数函数的图象的性质可得.
【详解】由函数，可知函数为偶函数，函数图象关于轴对称，可排除选项AC，
又的图象过点，可排除选项D.
故选：B.
5、D
【解析】如图，连接交于点 ，连接，则结合已知条件可证得为直线与平面 所成角，然后根据已知数据在求解即可
【详解】解：如图，连接交于点 ，连接，
因为长方体中， ，
所以四边形为正方形，
所以，，所以 ，
因为平面，所以 ，
因为，所以 平面，
所以为直线与平面所成角，
因为，，所以，
在中，，
所以直线与平面所成角的正弦值为 ，
故选：D

【点睛】此题考查线面角的求法，考查空间想象能力和计算能力，属于基础题
6、C
【解析】设正方体的棱长为，如图，连接，它们交于，连接，则平面，而，故就是直线与平面所成的余角，又为直角三角形且，所以，，设直线与平面所成的角为，则，选C.

点睛：线面角的计算往往需要先构造面的垂线，必要时还需将已知的面的垂线适当平移才能构造线面角，最后把该角放置在容易计算的三角形中计算其大小.
7、C
【解析】画出几何体的图形，如图，
由题意可知，A，直线BE与直线CF共面，正确，
因为E，F是PA与PD的中点，可知EF∥AD，
所以EF∥BC，直线BE与直线CF是共面直线；
B，直线BE与直线AF异面；满足异面直线的定义，正确
C，因为△PAB是等腰三角形，BE与PA的关系不能确定，所以平面BCE⊥平面PAD，不正确
D，∵AD∥BC，∴AD∥平面PBC，∴面PAD与面PBC的交线与BC平行，正确
故答案选C
8、B
【解析】由题意，某同学有压岁钱1000元，分别计算存入银行和放入微信零钱通或者支付宝的余额宝所得利息，即可得到答案
【详解】由题意，某同学有压岁钱1000元，存入银行，年利率为2.25%，若在银行存放5年，可得金额为元，即利息为元，若放入微信零钱通或者支付宝的余额宝时，利率可达4.01%，若存放5年，可得金额为元，即利息为元，所以将这1000元选择合适方式存满5年，可以多获利息元，故选B
【点睛】本题主要考查了等比数列的实际应用问题，其中解答中认真审题，准确理解题意，合理利用等比数列的通项公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题
9、D
【解析】由基本不等式，结合题中条件，直接求解，即可得出结果.
【详解】因为，都为正实数，，
所以，
当且仅当，即时，取最大值.
故选：D
10、B
【解析】本题首先可以通过函数的性质判断出和的大小，然后通过对数函数的性质判断出与的大小关系，最后即可得出结果
【详解】因为函数是增函数，，，
所以，
因为，
所以，故选B
【点睛】本题主要考查了指数与对数的相关性质，考查了运算能力，考查函数思想，体现了基础性与应用性，考查推理能力，是简单题

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】不等式在[0，1]上有解等价于，令，则.
【详解】由 在[0，1]上有解，
可得，即
令，则，
因为，所以，
则当，即时，，
即，故实数的取值范围是
故答案为
【点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
12、
【解析】由函数过点可求得参数a的值，进而解对数不等式即可解决.
详解】由函数过点可得，
，则，即，此时
由可得即
故答案为：
13、
【解析】先利用指数函数的单调性得，再解一元二次不等式即可
【详解】
故答案为
【点睛】本题考查了指数不等式和一元二次不等式的解法，属中档题
14、
【解析】直接利用诱导公式即可求解.
【详解】由诱导公式得：
.
故答案为：.
15、②③
【解析】设AC∩BD=O，由题意证明AC⊥PO，由已知可得AC⊥PA，与在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾说明①错误；由线面平行的判定和性质说明②正确；由线面垂直的判定和性质说明③正确；由勾股定理即可判断，说明④错误
【详解】设AC∩BD=O,如图，

①若PB⊥AC，∵AC⊥BD，则AC⊥平面PBD，∴AC⊥PO，
又PA⊥平面ABCD，则AC⊥PA，在平面PAC内过P有两条直线与AC垂直，与在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾，①错误；
②∵CD∥AB，则CD∥平面PAB，∴平面PAB与平面PCD的交线与AB平行，②正确；
③∵PA⊥平面ABCD，∴平面PAC⊥平面ABCD，
又BD⊥AC，∴BD⊥平面PAC，则平面PBD⊥平面PAC，③正确；
④∵PD2=PA2+AD2，PC2=PA2+AC2，AC2=AD2+CD2，AD=CD，
∴PD2+CD2=PC2，
∴④△PCD为直角三角形，④错误，
故答案为：②③
16、相交
【解析】求得的圆心到直线的距离，与圆的半径比较大小，即可得出结论.
【详解】圆的圆心为、半径为，
圆心到直线的距离为，小于半径，
所以直线和圆相交，故答案为相交.
【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系的判断方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题.解答直线与圆的位置关系的题型，常见思路有两个：一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系；二是直线方程与圆的方程联立，考虑运用判别式来解答.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），，；（2）时，草坪面积最大，最大面积为万平方米.
【解析】（1）因为，所以可得三个扇形的半径，圆心角都为，由扇形的面积公式可得答案；
（2）用三角形面积减去三个扇形面积可得草坪面积，再利用二次函数可求出最值.
【详解】（1），则，，
在扇形中，的长为，
所以，
同理，.
∵与无重叠，∴，即，则.
又三个扇形都在三角形内部，则，∴.
（2）∵，
∴

，
∴当时，取得最大值，为.
故当长为百米时，草坪面积最大，最大面积为万平方米.
【点睛】弧度制中求扇形弧长和面积的关键在于确定半径和扇形圆心角弧度数，解题时通常要根据已知条件列出方程，运用方程思想求解，强化了数学运算的素养.属于中档题.
18、（1）（2），
【解析】（1）由条件利用线段的中点公式求得点C的坐标；（2）求得线段AC的中点D的坐标，再利用两点间的距离公式、斜率公式求得AC边上的中线BD的长及直线BD的斜率
试题解析：（1）设,

考点：1.待定系数法求直线方程；2.中点坐标公式
19、（1）4；（2）.
【解析】(1)根据三角函数的定义可求出，然后分子分母同时除以，将弦化切，即可求出结果；
(2) 根据三角函数的定义可求出，，再利用诱导公式将表达式化简，即可求出结果.
【详解】解：（1）因为终边上一点，所以，
所以.
（2）已知角终边上一点，则，
所以，，
所以
20、（1）；
（2）.
【解析】（1）当时，，利用二次函数的性质求出真数部分的范围，根据对数函数的单调性可求出值域；
（2）的值域为等价于的值域包含，故，即求.
小问1详解】
当时，，
∵，
∴，
∴函数的值域；
【小问2详解】
要使函数的值域为R，则的值域包含，
∴，
解得或，
∴实数取值范围为.
21、（1）（2）
【解析】(1)由三角函数的定义首先求得的值，然后结合二倍角公式和同角三角函数基本关系化简求解三角函数式的值即可；
(2)由题意首先求得的关系，然后结合诱导公式和两角和差正余弦公式即可求得三角函数式的值.
【详解】（1）由三角函数定义得，，
∴原式
（2）∵，且，
∴，，
∴，
∴
【点睛】本题主要考查三角函数的定义，二倍角公式及其应用，两角和差正余弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.