安徽省芜湖市中小学校2025-2026学年数学高一上期末监测试题含解析.doc

安徽省芜湖市中小学校2025-2026学年数学高一上期末监测试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．下列关系中，正确的是（ ）
A. B.
C D.
2．已知函数（且），若函数图象上关于原点对称的点至少有3对，则实数a的取值范围是（ ）.
A. B.
C. D.
3．若，分别是方程，的解，则关于的方程的解的个数是（ ）
A B.
C. D.
4．已知，，，则a，b，c的大小关系是（）
A. B.
C. D.
5．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A.沿轴向左平移个单位 B.沿轴向右平移个单位
C.沿轴向左平移个单位 D.沿轴向右平移个单位
6．在空间给出下面四个命题（其中、为不同的两条直线），、为不同的两个平面）
①
②
③
④
其中正确的命题个数有
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
7．心理学家有时用函数测定在时间t（单位：min）内能够记忆的量L，其中A表示需要记忆的量，k表示记忆率．假设一个学生需要记忆的量为200个单词，此时L表示在时间t内该生能够记忆的单词个数．已知该生在5min内能够记忆20个单词，则k的值约为（，）
A.0.021 B.0.221
C.0.461 D.0.661
8．函数的一个单调递增区间是（）
A. B.
C. D.
9．已知向量，，且，那么（）
A.2 B.-2
C.6 D.-6
10．将函数的图像向左、向下各平移1个单位长度，得到的函数图像，则（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．如图，在中，，，若，则_____.

12．已知函数，若函数有3个零点，则实数a的取值范围是_______.
13．若关于的方程的一个根在区间上，另一个根在区间上，则实数的取值范围是__________
14．设函数，其图象的一条对称轴在区间内，且的最小正周期大于，则的取值范围是____________
15．已知函数恰有2个零点，则实数m的取值范围是___________.
16．直线关于定点对称的直线方程是_________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知A（﹣1，0），B（1，0），动点G满足GA⊥GB，记动点G的轨迹为曲线C

（1）求曲线C的方程；
（2）如图，点M是C上任意一点，过点（3，0）且与x轴垂直的直线为l，直线AM与l相交于点E，直线BM与l相交于点F，求证：以EF为直径的圆与x轴交于定点T，并求出点T的坐标
18．已知定义域为的函数是奇函数
（1）求的值;
（2）判断的单调性，并用定义证明;
（3）若对任意的，恒成立，求的取值范围
19．已知函数为奇函数，且
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数在的单调性并证明；
（3）解关于的x不等式：
20．如图：PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形,PA=AB=1，AD=，点F是PB的中点，点E在边BC上移动

（Ⅰ）求三棱锥E-PAD的体积;
（Ⅱ）当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；
（Ⅲ）证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF
21．已知函数的最小正周期为，再从下列两个条件中选择一个作为已知条件：
条件①：的图象关于点对称；
条件②：的图象关于直线对称
（1）请写出你选择的条件，并求的解析式；
（2）在（1）的条件下，当时，求的最大值和最小值，并指出相应的取值
注；如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】根据对数函数的性质判断A，根据指数函数的性质判断B，根据正弦函数的性质及诱导公式判断C，根据余弦函数的性质及诱导公式判断D；
【详解】解：对于A：因为，，，故A 错误；
对于B：因为在定义域上单调递减，因为，所以，又，，因为在上单调递增，所以，所以，所以，故B正确；
对于C：因为在上单调递减，因为，所以，又，所以，故C错误；
对于D：因为在上单调递减，又，所以，又，所以，故D错误；
故选：B
2、A
【解析】由于关于原点对称得函数为，由题意可得，与的图像在的交点至少有3对，结合函数图象，列出满足要求的不等式，即可得出结果.
【详解】关于原点对称得函数为
所以与的图像在的交点至少有3对，可知，
如图所示，

当时，，则
故实数a的取值范围为
故选：A
【点睛】本题考查函数的对称性，难点在于将问题转换为与的图像在的交点至少有3对，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于难题.
3、B
【解析】∵，分别是方程，的解，
∴，，
∴，，
作函数与的图象如下：

结合图象可以知道，有且仅有一个交点，
故，即
分类讨论：
（）当时，方程可化为，
计算得出，
（）当时，方程可化，
计算得出，；
故关于的方程的解的个数是，
本题选择B选项.
点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值
(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围
4、B
【解析】根据指数函数的单调性分析出的范围，根据对数函数的单调性分析出的范围，结合中间值，即可判断出的大小关系.
【详解】因为在上单调递减，所以，所以，
又因为且在上单调递增，所以，所以，
又因为在上单调递减，所以，所以，
综上可知：，
故选：B.
【点睛】方法点睛：常见的比较大小的方法：
（1）作差法：作差与作比较；
（2）作商法：作商与作比较（注意正负）；
（3）函数单调性法：根据函数单调性比较大小；
（4）中间值法：取中间值进行大小比较.
5、C
【解析】利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论
【详解】，
将函数的图象沿轴向左平移个单位，
即可得到函数的图象，
故选：C
【点睛】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题
6、C
【解析】：①若α，则，根据线面垂直的性质可知正确；
②若，则；不正确，也可能是m在α内；错误；
③若，则；据线面垂直的判定定理可知正确；
④若，根据线面平行判定的定理可知正确
得到①③④正确，故选C
7、A
【解析】由题意得出，再取对数得出k的值.
【详解】由题意可知，所以，解得
故选：A
8、A
【解析】利用正弦函数的性质，令即可求函数的递增区间，进而判断各选项是否符合要求.
【详解】令，可得，
当时，是的一个单调增区间，而其它选项不符合.
故选：A
9、B
【解析】根据向量共线的坐标表示，列出关于m的方程，解得答案.
【详解】由向量，，且，
可得: ,
故选：B
10、B
【解析】根据函数的图象变换的原则，结合对数的运算性质，准确运算，即可求解.
【详解】由题意，将函数的图像向左、向下各平移1个单位长度，
可得.
故选：B.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】根据平面向量基本定理，结合向量加法、减法法则，将向量、作为基向量,把向量表示出来，即可求出.
【详解】
即：
【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用问题，解题时根据向量加法与减法法则将所求向量用题目选定的基向量表示出来，是基础题目.
12、（0，1]
【解析】先作出函数f（x）图象，根据函数有3个零点，得到函数f（x）的图象与直线y＝a有三个交点，结合图象即可得出结果
【详解】由题意，作出函数的图象如下：
因为函数有3个零点，
所以关于x的方程f（x）﹣a＝0有三个不等实根；
即函数f（x）的图象与直线y＝a有三个交点，
由图象可得：0＜a≤1
故答案为：（0，1]

【点睛】本题主要考查函数的零点，灵活运用数形结合的思想是求解的关键
13、
【解析】设，时，方程只有一个根，不合题意，时，方程的根，就是函数的零点，方程的一个根在区间上，另一个根在区间上，且只需，即，解得，故答案为.
14、
【解析】由题可得，利用正弦函数的性质可得对称轴为，结合条件即得.
【详解】∵，
由，得，
当时，，则，解得此时，
当时，，则，解得此时，不合题意，
当取其它整数时，不合题意，
∴.
故答案：.
15、
【解析】讨论上的零点情况，结合题设确定上的零点个数，根据二次函数性质求m的范围.
【详解】当时，恒有，此时无零点，则，
∴要使上有2个零点，只需即可，
故有2个零点有；
当时，存在，此时有1个零点，则，
∴要使上有1个零点，只需即可，
故有2个零点有；
综上，要使有2个零点，m的取值范围是.
故答案为：.
16、
【解析】先求出原直线上一个点关于定点的对称点，然后用对称后的直线与原直线平行
【详解】在直线上取点，点关于的对称点为
过与原直线平行的直线方程为，即为对称后的直线
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）x2+y2＝1；（2）证明见解析，T（3+2，0）或T（3﹣2，0）
【解析】(1)由可得,列出等式即可求动点的轨迹方程;
(2)设出点M的坐标,我们可以得到直线AM、直线BM的方程,与直线方程联立求得点E、点F的坐标,进而得到以为直径的圆的方程,最后求出定点坐标.
【详解】（1）设G（x，y）（x≠±1），
因为GA⊥GB，所以，
整理得C的方程为x2+y2＝1（x≠±1）；
（2）设点M（x0，y0）（x0≠±1），且有x02+y02＝1，
则直线AM的方程为y，令x＝3，得E（3，），
直线BM的方程为y，令x＝3，得F（3，），
从而以EF为直径的圆方程为（x﹣3）2+（y）（y）＝0，
令y＝0，则（x﹣3）2•0，即（x﹣3）20，
又因为x02+y02＝1，所以，代入可得x2﹣6x+1＝0，
解得x＝3±2，
所以定点T（3+2，0）或T（3﹣2，0）
【点睛】本题考查动点的轨迹方程,考查直线与圆的方程的应用问题,属于中档题,涉及到的知识点有直线的点斜式方程,由圆上两点的坐标列出圆的方程,认真分析题意求得结果.
18、（1）（2）减函数（3）
【解析】（1）利用奇函数定义，在f（-x）=-f（x）中的运用特殊值求a，b的值；（2）根据函数单调性的定义进行证明即可；（3）结合函数的单调性和奇偶性把不等式转化为关于t的恒成立问题，最后变量分离求出k的取值范围
解析：（1）法1：是R上的奇函数，
即
经检验符合题意，
法2：是R上的奇函数，

（2）
在R上是减函数，证明如下：
任取，且，

在R上是减函数
（3）
是R上的奇函数，有
在R上是减函数，得当时，

19、（1）；
（2）在上单调递增，证明见解析；
（3）.
【解析】（1）由奇函数的定义有，可求得的值，又由，可得的值，从而即可得函数的解析式；
（2）任取，，且，由函数单调性的定义即可证明函数在上单调递增；
（3）由（2）知在上单调递增，因为为奇函数，所以在上也单调递增，又，从而利用单调性即可求解.
【小问1详解】
解：因为函数为奇函数，定义域为，
所以，即，
所以，又，所以，
所以；
【小问2详解】
解：在上单调递增，证明如下：
任取，，且，
则，
又，，且，
所以，，，
所以，即，
所以在上单调递增；
【小问3详解】
解：由（2）知在上单调递增，
因为为奇函数，所以在上也单调递增，
令，解得或
因为，且，
所以，
所以，解得，又，
所以原不等式的解集为.
20、（Ⅰ）（Ⅱ）平行，（Ⅲ）详见解析
【解析】(1)三棱锥的体积＝＝·＝.

(2)当点为的中点时，与平面平行
∵在中，分别为、的中点，
∴，又平面，平面，
∴平面
(3)证明：∵⊥平面，平面，
∴，又，，平面，
平面.又平面，∴.
又，点是的中点，∴，
又,平面，
∴⊥平面.
∵平面，∴.
考点：本小题主要考查三棱锥体积的计算、线面平行、线面垂直等的证明，考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力.
点评：计算三棱锥体积时，注意可以根据需要让任何一个面作底面，还经常利用等体积法求三棱锥
21、（1）；
（2）时，有最小值，时，有最大值2.
【解析】（1）若选①，根据周期求出，然后由并结合的范围求出，最后求出答案；若选②，根据周期求出，然后由并结合的范围求出，最后求出答案；
（2）结合（1），先求出的范围，然后结合正弦函数的性质求出答案.
【小问1详解】
若选①，由题意，，因为函数的图象关于点对称，所以，而，则，于是.
若选②，由题意，，因为函数的图象关于直线对称，所以，而，则，于是.
【小问2详解】
结合（1），因为，所以，则当时，有最小值为，当时，有最大值为.