全国18名校大联考2025-2026学年数学高二上期末质量检测模拟试题含解析.doc

全国18名校大联考2025-2026学年数学高二上期末质量检测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知数列的前项和满足，记数列的前项和为，.则使得的值为（ ）
A. B.
C. D.
2．数列满足且，则的值是（）
A.1 B.4
C.－3 D.6
3．不等式的解集为（）
A. B.
C.或 D.或
4．已知空间中三点，，，则下列结论中正确的有（）
A.平面ABC的一个法向量是 B.的一个单位向量的坐标是
C. D.与是共线向量
5．在正方体中，与直线和都垂直，则直线与的关系是（ ）

A.异面 B.平行
C.垂直不相交 D.垂直且相交
6．某公司有1000名员工，其中：高层管理人员为50名，属于高收入者；中层管理人员为150名，属于中等收入者；一般员工为800名，属于低收入者．要对这个公司员工的收入情况进行调查，欲抽取100名员工，应当抽取的一般员工人数为（ ）
A.100 B.15
C.80 D.50
7．设，若，则（ ）
A. B.
C. D.
8．已知等比数列的首项为1，公比为2，则=（）
A. B.
C. D.
9．已知向量，则（）
A. B.
C. D.
10．某种心脏手术成功率为0.9，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率.先利用计算器或计算机产生09之间取整数值的随机数，由于成功率是0.9，故我们用0表示手术不成功，1，2，3，4，5，6，7，8，9表示手术成功，再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果.经随机模拟产生如下10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（）
A.0.9 B.0.8
C.0.7 D.0.6
11．一质点从出发，做匀速直线运动，每秒的速度为秒后质点所处的位置为（ ）
A. B.
C. D.
12．抛物线的焦点到其准线的距离是（）
A.4 B.3
C.2 D.1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设，，，则动点P的轨迹方程为______，P到坐标原点的距离的最小值为______
14．已知双曲线C：的一条渐近线与直线l：平行，则双曲线C的离心率是______
15．已知空间向量，，若，则______
16．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2+n，则an＝_____
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知的二项展开式中所有项的二项式系数之和为，
（1）求的值；
（2）求展开式的所有有理项(指数为整数)，并指明是第几项
18．（12分）已知数列的前项和是，且，等差数列中，
（1）求数列的通项公式；
（2）定义：记，求数列的前20项和
19．（12分）已知是抛物线上的焦点，是抛物线上的一个动点，若动点满足，则的轨迹方程.
20．（12分）设等差数列的前项和为，已知.
（1）求数列的通项公式;
（2）当为何值时，最大，并求的最大值.
21．（12分）已知等差数列的前项和为，数列是等比数列，，，，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，设数列的前项和为，求.
22．（10分）如图，在多面体ABCEF中，和均为等边三角形，D是AC的中点，

（1）证明：
（2）若平面平面ACE，求二面角的余弦值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】由，求得，得到，结合裂项法求和，即可求解.
【详解】数列的前项和满足，
当时，；
当时，，
当时，适合上式，所以，
则，
所以.
故选：B.
2、A
【解析】根据题意，由于，可知数列是公差为-3的等差数列，则可知d=-3,由于= ，故选A
3、A
【解析】先将分式不等式转化为一元二次不等式，然后求解即可
【详解】由，得，
解得，
所以原不等式的解集为，
故选：A
4、A
【解析】根据已知条件，结合空间中平面法向量的定义，向量模长的求解，以及共线定理，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】因为，，，故可得，
因为，故，不平行，则D错误；
对A：不妨记向量为，则，
又，不平行，故向量是平面的法向量，则A正确；
对B：因为向量的模长为，其不是单位向量，故B错误；
对C：因为，故可得，故C错误；
故选：A.
5、B
【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，根据向量垂直的坐标表示求出，再利用向量的坐标运算可得，根据共线定理即可判断.
【详解】设正方体的棱长为1.
以为坐标原点，所在直线
分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

则.
设，则，取.
，
.
故选：B
【点睛】本题考查了空间向量垂直的坐标表示、空间向量的坐标表示、空间向量共线定理，属于基础题.
6、C
【解析】按照比例关系，分层抽取.
【详解】由题意可知，
所以应当抽取的一般员工人数为.
故选：C
7、B
【解析】先求出，再利用二倍角公式、和差角公式即可求解.
【详解】因为，且，所以.
所以，，
所以.
故选：B
8、D
【解析】数列是首项为1，公比为4的等比数列，然后可算出答案.
【详解】因为等比数列的首项为1，公比为2，
所以数列是首项为1，公比为4的等比数列
所以
故选：D
9、B
【解析】根据向量加减法运算的坐标表示即可得到结果
【详解】
故选：B.
10、B
【解析】由题可知10组随机数中表示“3例心脏手术全部成功”的有8组，即求.
【详解】由题意，10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，表示“3例心脏手术全部成功”的有：812,832,569,683,271,989, 537,925,故8个，
故估计“3例心脏手术全部成功”的概率为.
故选：B.
11、A
【解析】利用空间向量的线性运算即可求解.
【详解】2秒后质点所处的位置为.
故选：A
【点睛】本题考查了空间向量的线性运算，考查了基本知识掌握的情况以及学生的综合素养，属于基础题.
12、C
【解析】由抛物线焦点到准线的距离为求解即可.
【详解】因为抛物线焦点到准线的距离为,故抛物线的焦点到其准线的距离是2.
故选：C
【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程中的几何意义,属于基础题型.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、 ①. ②.l
【解析】根据双曲线的定义得到动点的轨迹方程，从而求出到坐标原点的距离的最小值；
【详解】解：因为，所以动点P的轨迹为以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线的下支．因为，，所以，，，所以动点P的轨迹方程为
故P到坐标原点的距离的最小值为
故答案为：；；
14、
【解析】先用两直线平行斜率相等求出，再利用离心率的定义求解即可.
【详解】由题意可得双曲线C的一条渐近线方程为，则，即，
则，
故双曲线C的离心率
故答案为：.
15、7
【解析】根据题意，结合空间向量的坐标运算，即可求解.
【详解】根据题意，易知，因为，所以，
即，解得
故答案为：7
16、2n
【解析】根据数列的通项与前n项和的关系求解即可.
【详解】由题,当时,,
当时.当时也满足.
故.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了根据数列的通项与前n项和的关系求通项公式的方法,属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）由二项式系数和公式可得答案；
（2）求出的通项，利用的指数为整数可得答案.
【小问1详解】
的二项展开式中所有项的二项式系数之和，
所以.
【小问2详解】
，
因此时，有理项，
有理项是第一项和第七项.
18、（1）；
（2）
【解析】（1）利用求得递推关系得等比数列，从而得通项公式，再由等差数列的基本时法求得通项公式；
（2）根据定义求得，然后分组求和法求得和
【小问1详解】
由题意，当时，

两式相减，得，即
是首项为3，公比为3的等比数列

设数列的公差为，

小问2详解】
由

19、
【解析】由抛物线的方程可得到焦点坐标，设，写出向量的坐标，由向量间的关系得到，将点代入物线即可得到轨迹方程.
【详解】由抛物线可得：
设
①
在上，将①代入可得：
，即 .
【点睛】求轨迹方程，一般是求谁设谁的坐标然后根据题目等式直接求解即可，而对于直线与曲线的综合问题要先分析题意转化为等式，例如，可以转化为向量坐标进行运算也可以转化为斜率来理解，然后借助韦达定理求解即可运算此类题计算一定要仔细.
20、（1）
（2）n为6或7；126
【解析】（1）设等差数列的公差为d，利用等差数列的通项公式求解；
（2）由，利用二次函数的性质求解.
【小问1详解】
解：设等差数列的公差为d，
因为.
所以，
解得，
所以；
【小问2详解】
，
当或7时，最大，的最大值是126.
21、（1），；（2）.
【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为,根据题意列出表达式，解出公比和公差，再根据等差数等比列的通项公式的求法求出通项即可；（2）根据第一问得到前n项和，数列,分组求和即可.
解析：
(1)设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
∵，，，，∴，
∴，，∴，.
(2)由(1)知，，∴，
∴.
22、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得到、，即可得到平面，再根据，即可得证；
（2）由面面垂直的性质得到平面，建立如图所示空间直角坐标系，设，即可得到点，，的坐标，最后利用空间向量法求出二面角的余弦值；
小问1详解】
证明：连接DE
因为，且D为AC的中点，所以
因为，且D为AC的中点，所以
因为平面BDE，平面BDE，且，所以平面
因为，所以平面BDE，所以
【小问2详解】
解：由（1）可知
因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以DC，DB，DE两两垂直
以D为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系

设．则，，．从而，
设平面BCE的法向量为，
则令，得
平面ABC的一个法向量为
设二面角为，由图可知为锐角，
则