2025-2026学年甘肃省古浪县第二中学数学高一第一学期期末经典试题含解析.doc

2025-2026学年甘肃省古浪县第二中学数学高一第一学期期末经典试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．命题“，是4的倍数”的否定为（ ）
A.，是4的倍数 B.，不是4的倍数
C.，不是4的倍数 D.，不是4的倍数
2．已知，则角的终边所在的象限是（ 　）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3．定义在R上的偶函数f(x)满足，当x∈[0，1]时，则函数在区间上的所有零点的和为（）
A.10 B.9
C.8 D.6
4．规定从甲地到乙地通话 min的电话费由(元)决定，其中>0，[]是大于或等于的最小整数，如[2]＝2，[2.7]＝3，[2.1]＝3，则从甲地到乙地通话时间为4.5 min的电话费为( )元
A.4.8 B.5.2
C.5.6 D.6
5．正割及余割这两个概念是由伊朗数学家阿布尔威发首先引入的．定义正割，余割．已知为正实数，且对任意的实数均成立，则的最小值为（）
A. B.
C. D.
6．若角满足条件，且，则在
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
7．的值为（）
A. B.
C. D.
8．若函数为上的奇函数，则实数的值为（）
A. B.
C.1 D.2
9．函数的零点个数为
A.1 B.2
C.3 D.4
10．下列函数中，在区间上是减函数的是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知幂函数的图象过点，则_____________
12．已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则______
13．在区间上随机地取一个实数，若实数满足的概率为，则________.
14．已知直线，互相平行，则__________.
15．已知扇形的弧长为2cm，圆心角为1rad，则扇形的面积为______.
16．夏季为旅游旺季，青岛某酒店工作人员为了适时为游客准备食物，调整投入，减少浪费，他们统计了每个月的游客人数，发现每年各个月份的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：
①每年相同的月份，游客人数基本相同；
②游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约200人；
③2月份的游客约为60人，随后逐月递增直到8月份达到最多.
则用一个正弦型三角函数描述一年中游客人数与月份之间关系为__________；需准备不少于210人的食物的月份数为__________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．若函数对任意，恒有
（1）指出的奇偶性，并给予证明；
（2）如果时，，判断的单调性；
（3）在（2）的条件下，若对任意实数x，恒有．成立，求k的取值范围
18．如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中为中点.

（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值；
（3）线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值.
19．总书记指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山.”新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向.工业部表示，到年中国的汽车总销量将达到万辆，并希望新能源汽车至少占总销量的五分之一.江苏某新能源公司某年初购入一批新能源汽车充电桩，每台元，到第年年末每台设备的累计维修保养费用为元，每台充电桩每年可给公司收益元.（）
（1）每台充电桩第几年年末开始获利；
（2）每台充电桩在第几年年末时，年平均利润最大.
20．已知函数为奇函数，且
（1）求a和的值；
（2）若，求的值
21．已知，
（1）求的值；
（2）求的值
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】根据特称量词命题的否定是全称量词命题即可求解
【详解】因为特称量词命题的否定是全称量词命题，
所以命题“，是4的倍数”的否定为“，不是4的倍数”
故选：B
2、C
【解析】化，可知角的终边所在的象限.
【详解】,
将逆时针旋转即可得到，
角的终边在第三象限.
故选：C
【点睛】本题主要考查了象限角的概念，属于容易题.
3、A
【解析】根据条件可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称；根据函数的解析式及奇偶性，对称性可得出函数f(x)在的图象；令，画出其图象，进而得出函数的图象．根据函数图象及其对称性，中点坐标公式即可得出结论
【详解】因为定义在R上的偶函数f(x)满足，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，
当x∈[0，1]时，，可以得出函数f(x)在上的图象，进而得出函数f(x)
在的图象.画出函数，的图象；
令，可得周期T1，画出其图象，进而得出函数的图象
由图象可得：函数在区间上共有10个零点，即5对零点，每对零点的中点都为1，所以所有零点的和为.

故选：A
4、C
【解析】计算，代入函数，计算即得结果.
【详解】由，得.
故选：C.
5、D
【解析】由参变量分离法可得出，利用基本不等式可求得取值范围，即可得解.
【详解】由已知可得，可得，
因为，则，
因为
，
当且仅当时，等号成立，故.
故选：D.
6、B
【解析】因为，所以在第二或第四象限，且，所以在第二象限
考点：三角函数的符号
7、A
【解析】根据诱导公式以及倍角公式求解即可.
【详解】原式.
故选：A
8、A
【解析】根据奇函数的性质，当定义域中能取到零时，有，可求得答案.
【详解】函数为上的奇函数,
故，得，
当时，满足，
即此时为奇函数，
故，
故选：A
9、C
【解析】令，得到，画出和的图像，根据两个函数图像交点个数，求得函数零点个数.
【详解】令，得，画出和的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像有个交点，也即有个零点.
故选C.

【点睛】本小题主要考查函数零点个数的判断，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
10、D
【解析】根据二次函数，幂函数，指数函数，一次函数的单调性即可得出答案.
【详解】解：对于A，函数在区间上是增函数，故A不符合题意；
对于B，函数在区间上是增函数，故B不符合题意；
对于C，函数在区间上是增函数，故C不符合题意；
对于D，函数在区间上是减函数，故D符合题意.
故选：D.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、##
【解析】设出幂函数解析式，代入已知点坐标求解
【详解】设，由已知得，所以，
故答案为：
12、##0.75
【解析】根据条件求出，，再代入即可求解.
【详解】因为的图象过原点，所以，即．又因为的图象无限接近直线，但又不与该直线相交，所以，，
所以，
所以
故答案为：
13、1
【解析】利用几何概型中的长度比即可求解.
【详解】实数满足，解得，
，
解得，
故答案为：1
【点睛】本题考查了几何概率的应用，属于基础题.
14、
【解析】由两直线平行的充要条件可得：，
即：，解得：，
当时，直线为：，直线为：，两直线重合，不合题意，
当时，直线为：，直线为：，两直线不重合，
综上可得：.
15、2
【解析】首先由扇形的弧长与圆心角求出扇形的半径，再根据扇形的面积公式计算可得；
【详解】解：因为扇形的弧长为2cm，圆心角为1rad，所以扇形的半径cm，所以扇形的面积；
故答案为：
16、 ①. ②.5
【解析】设函数为，根据题意，即可求得函数的解析式，再根据题意得出不等式，即可求解.
【详解】设该函数为，
根据条件①，可知这个函数的周期是12；
由②可知，最小，最大，且，故该函数的振幅为100；
由③可知，在上单调递增，且，所以，
根据上述分析，可得，解得，且，解得，
又由当时，最小，当时，最大，
可得，且，
又因为，所以，
所以游客人数与月份之间的关系式为，
由条件可知，
化简得，可得,
解得，
因为，且，所以，
即只有五个月份要准备不少于210人的食物.
故答案为：；.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）奇函数，证明见解析；（2）在R上单调递减，证明见解析；（3）
【解析】（1）利用赋值法求出，根据函数奇偶性定义即可证明；
（2）根据函数单调性定义即判断函数的单调性；
（3）结合函数的奇偶性和单调性，将不等式进行等价转化，即可得到结论
【详解】（1）为奇函数；
证明：令，得，解得：
令，则，
所以函数为奇函数；
（2）在R上单调递减；
证明：任意取，且，则，
又，即
所以在R上单调递减；
（3）对任意实数x，恒有等价于成立
又在R上单调递减，
即对任意实数x，恒成立，
当时，即时，不恒成立；
当时，即时，则，解得：
所以实数k的取值范围为
【点睛】方法点睛：本题考查函数的单调性、奇偶性及含参不等式的解法，要设法把隐性转化为显性，方法是：
（1）把不等式转化为的模型；
（2）判断的单调性，再根据函数的单调性将“”脱掉，得到具体的不等式组来求解，但注意奇偶函数的区别.
18、（1）见解析；（2）；（3）存在，..
【解析】（1）根据线面垂直的判定定理可知，只需证直线PO垂直平面ABCD中的两条相交直线垂直即可；
（2）先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可；
（3）利用Vp-DQC=VQ-PCD，即可得出结论
试题解析：
（1）证明：在中为中点，所以.
又侧面底面，平面平面平面，
所以平面.
（2）解：连接，在直角梯形中，，有且，所以四边形是平行四边形，所以.
由（1）知为锐角，
所以是异面直线与所成的角，
因为，在中，，所以，
在中，因为，所以，
在中，，所以，
所以异面直线与所成的角的余弦值为.

（3）解：假设存在点，使得它到平面的距离为.
设，则，由（2）得，
在中，，
所以，
由得，所以存在点满足题意，此时.
19、（1）第年；
（2）第年.
【解析】（1）构造二次函数模型，由二次函数解得结果；
（2）由（1）知年平均利润，结合对勾函数单调性，验证可知，由此可得结果.
【小问1详解】
设每台充电桩在第年年末的利润为，
则，
令，解得：，又，，
，每台充电桩从第年年末开始获利；
【小问2详解】
设为每台充电桩在第年年末的年平均利润，
则；
在上单调递减，在上单调递增，
上单调递增，在上单调递减，
又，，，，，
每台充电桩在第年年末时，年平均利润最大.
20、（1）
（2）
【解析】（1）由可得答案；
（2）利用二倍角公式和诱导公式化简可得，由，可得、，再利用两角差的正弦公式可得答案.
【小问1详解】
得，解得，
经检验，为奇函数，
即.
【小问2详解】

所以，则
因为，所以，
所以
21、（1）；（2）.
【解析】（1）先根据的值和二者的平方关系联立求得的值，再把平方即可求出；
（2）结合（1）求，的值，最后利用商数关系求得的值，代入即可得解
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，,，
∴，
∴.
（2）由，，
解得，，
∴
∵，，
∴
【点睛】方法点睛：三角恒等常用的方法：三看（看角、看名、看式），三变（变角、变名、变式）.