2026届黑龙江省大庆第一中学数学高二第一学期期末经典模拟试题含解析.doc

2026届黑龙江省大庆第一中学数学高二第一学期期末经典模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．现有4本不同的书全部分给甲、乙、丙3人，每人至少一本，则不同的分法有（）
A.12种 B.24种
C.36种 D.48种
2．设双曲线的左、右顶点分别为、，左、右焦点分别为、，以为直径的圆与双曲线左支的一个交点为若以为直径的圆与直线相切，则的面积为（）

A. B.
C. D.
3．设，则
A.2 B.3
C.4 D.5
4．已知数列的通项公式为，且数列是递增数列，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
5．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用（万元）

4

2

3

5

销售额（万元）

49

26

39

54

根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为
A.63.6万元 B.65.5万元
C.67.7万元 D.72.0万元
6．若直线与圆相切，则（）
A. B.或2
C. D.或
7．曲线与曲线（）的（ ）
A.长轴长相等 B.短轴长相等
C.离心率相等 D.焦距相等
8．在中，内角所对的边为，若，，，则（）
A. B.
C. D.
9．已知函数，，若对于任意的，存在唯一的，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A （e，4） B.（e，4]
C.（e，4） D.（，4]
10．从某个角度观察篮球(如图1)，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，AB＝BC＝CD，则该双曲线的离心率为（ ）

A. B.
C. D.
11．已知实数，满足则的最大值为（ ）
A.-1 B.0
C.1 D.2
12．已知空间直角坐标系中的点，，，则点P到直线AB的距离为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知数列满足，，若，则_______
14．已知正三棱柱中，底面积为，一个侧面的周长为，则正三棱柱外接球的表面积为______.
15．已知5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回，在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为________.
16．设为等差数列的前n项和，若，，则______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）等差数列前n项和为，且
（1）求通项公式；
（2）记，求数列的前n项和
18．（12分）已知圆C经过，，三点，并且与y轴交于P，Q两点，求线段PQ的长度.
19．（12分）已知向量，
（1）求；
（2）求；
（3）若（），求的值
20．（12分）森林资源是全人类共有的宝贵财富，其在改善环境，保护生态可持续发展方面发挥着重要的作用.2020年12月12日，主席在全球气候峰会上通过视频发表题为《继往开来，开启全球应对气候变化的新征程》的重要讲话，宣布“到2030年，我国森林蓄积量将比2005年增加60亿立方米”.为了实现这一目标，某地林业管理部门着手制定本地的森林蓄积量规划.经统计，本地2020年底的森林蓄积量为120万立方米，森林每年以25%的增长率自然生长，而为了保证森林通风和发展经济的需要，每年冬天都要砍伐掉万立方米的森林.设为自2021年开始，第年末的森林蓄积量.
（1）请写出一个递推公式，表示二间的关系；
（2）将（1）中的递推公式表示成的形式，其中，为常数；
（3）为了实现本地森林蓄积量到2030年底翻两番的目标，每年的砍伐量最大为多少万立方米？（精确到1万立方米）（可能用到的数据：，，）
21．（12分）已知函数
（1）当时，求函数的极值；
（2）当时，若恒成立，求实数a的取值范围
22．（10分）已知数列的前项和
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】先把4本书按2，1，1分为3组，再全排列求解.
【详解】先把4本书按2，1，1分为3组，再全排列，
则有种分法，
故选：C
2、C
【解析】据三角形中位线可得；再由双曲线的定义求出，进而求出的面积
【详解】双曲线的方程为：，，
设以为直径的圆与直线相切与点，则，且，，∥.
又为的中点，，
又，，
的面积为：.
故选:C
3、B
【解析】利用复数的除法运算求出，进而可得到.
【详解】，则，故，选B.
【点睛】本题考查了复数的四则运算，考查了复数的模，属于基础题
4、C
【解析】利用递增数列的定义即可.
【详解】由，
∴，即是小于2n+1的最小值，∴，
故选：C
5、B
【解析】，
∵数据的样本中心点在线性回归直线上，
回归方程中的为9.4，
∴42=9．4×3．5+a，
∴=9．1，
∴线性回归方程是y=9．4x+9．1，
∴广告费用为6万元时销售额为9．4×6+9．1=65．5
考点：线性回归方程
6、D
【解析】根据圆心到直线的距离等于半径列方程即可求解.
【详解】由圆可得圆心，半径，
因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离，
整理可得：，所以或，
故选：D.
7、D
【解析】分别求出两椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距，即可判断.
【详解】曲线表示焦点在 轴上，长轴长为 ，短轴长为 ，离心率为 ，焦距为 ；
曲线表示焦点在轴上，长轴长为 ，短轴长为 ，离心率为 ，焦距为.
对照选项可知：焦距相等.
故选：D.
8、B
【解析】利用正弦定理角化边得到，再利用余弦定理构造方程求得结果.
【详解】，，
由余弦定理得：，，.
故选：B.
9、B
【解析】结合导数和二次函数的性质可求出和的值域，结合已知条件可得，，从而可求出实数a的取值范围.
【详解】解：g（x）=x2ex的导函数为g′（x）=2xex+x2ex=x（x+2）ex，当时，，
由时，，时，，可得g（x）在[–1，0]上单调递减，
在（0，1]上单调递增，故g（x）在[–1，1]上的最小值为g（0）=0，最大值为g（1）=e，
所以对于任意的，．因为开口向下，对称轴为轴，
又，所以当时，，当时，，
则函数在[，2]上的值域为[a–4，a]，且函数f（x）在，
图象关于轴对称，在（，2]上，函数单调递减．由题意，得，，
可得a–4≤0<e<，解得ea≤4
故选:B
【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，考查了二次函数的性质，属于中档题.本题的难点是这一条件的转化.
10、D
【解析】设出双曲线方程，通过做标准品和双曲线与圆O的交点将圆的周长八等分，且AB＝BC＝CD，推出点在双曲线上，然后求出离心率即可.
【详解】设双曲线的方程为，
则，因为AB＝BC＝CD，
所以，所以，
因为坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，
所以在双曲线上，
代入可得，解得，
所以双曲线的离心率为.
故选：D
11、D
【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数，即可得到结果
【详解】由约束条件画出可行域如图，

化目标函数为，由图可知当直线过点时，直线在轴上的截距最小，取得最大值2.
故选：D
12、D
【解析】由向量在向量上的投影及勾股定理即可求.
【详解】，0，，，1，，，
，，，
在上的投影为，
则点到直线的距离为.
故选：D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】由递推式，结合依次求出、即可.
【详解】由，可得：，
又，可得：.
故答案为：.
14、
【解析】首先由条件求出底面边长和高，然后设、分别为上、下底面的的中心，连接，设的中点为，则点为正三棱柱外接球的球心，然后求出的长度即可.
【详解】
如图所示，设底面边长为，则底面面积为，所以，因此等边三角形的高为：，
因为一个侧面的周长为，所以
设、分别为上、下底面的的中心，连接，设的中点为
则点为正三棱柱外接球的球心，连接、
则
在直角三角形中，
即外接球的半径为，所以外接球的表面积为，
故答案为：
【点睛】关键点睛：求几何体的外接球半径的关键是根据几何体的性质找出球心的位置.
15、.
【解析】设事件：第1次抽到代数题，事件：第2次抽到几何题，求得,结合条件概率的计算公式，即可求解.
【详解】由题意，从5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出不再放回，
设事件：第1次抽到代数题，事件：第2次抽到几何题，
则，，
所以在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为:
.
故答案为：.
16、36
【解析】利用等差数列前n项和的性质进行求解即可.
【详解】因为为等差数列的前n项和，
所以也成等差数列，即成等差数列，
所以，
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）.
【解析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件求，利用等差数列的通项公式可求得数列的通项公式.
（2）求得，利用裂项相消法即可求得.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，由，解得，
所以，故数列的通项公式；
【小问2详解】
由（1）得：，
所以，
所以.
18、
【解析】设圆的方程为，代入点的坐标，求出，，，令，即可得出结论
【详解】解：设圆的方程为，则，
，，，
，即,
令，可得，解得、，所以、，或、，
，
19、（1）
（2）
（3）
【解析】（1）根据向量数量积的坐标表示即可得解；
（2）求出，再根据空间向量的模的坐标表示即可得解；
（3）由，可得，再根据数量积的运算律即可得解.
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：因为，
所以，
即，
解得.
20、（1）；（2）.；（3）19万立方米.
【解析】（1）由题意得到；
（2）若递推公式写成，则，再与递推公式比较系数；
（3）若实现翻两番的目标，则，根据递推公式，计算的最大值.
【详解】解：（1）由题意，得，
并且.①
（2）将化成，②
比较①②的系数，得解得
所以（1）中的递推公式可以化为.
（3）因为，且，所以，由（2）可知，所以，即数列是以为首项，为公比的等比数列，
其通项公式：，
所以.
到2030年底的森林蓄积量为该数列的第10项，
即.
由题意，森林蓄积量到2030年底要达到翻两番的目标，
所以，即.
即.
解得.
所以每年的砍伐量最大为19万立方米.
【点睛】方法点睛：递推公式求通项公式，有以下几种方法：
型如：的数列的递推公式，采用累加法求通项；
形如：的数列的递推公式，采用累乘法求通项；
形如：的递推公式，通过构造转化为，构造数列是以为首项，为公比的等比数列，
形如：的递推公式，两边同时除以，转化为的形式求通项公式；
形如：，可通过取倒数转化为等差数列求通项公式.
21、（1）极大值；极小值
（2）
【解析】（1）利用导数来求得的极大值和极小值.
（2）由不等式分离常数，通过构造函数法，结合导数来求得的取值范围.
【小问1详解】
当时，，
，
令，可得或2
所以在区间递增；
在区间递减.
故当时．函数有极大值，
故当时，函数有极小值；
【小问2详解】
由，有，
可化为，
令，有，
令，有，
令，可得，可得函数的增区间为，减区间为，
有，
可知，有函数为减函数，
有，
故当时，若恒成立，则实数a的取值范围为
【点睛】求解不等式恒成立问题，可利用分离常数法，结合导数求最值来求解.在利用导数研究函数的过程中，如果一阶导数无法解决，可考虑利用二阶导数来进行求解.
22、（1）
（2）
【解析】（1）利用与的关系求数列的通项公式；
（2）利用错位相减法求和即可.
【小问1详解】
因为，故当时，，
两式相减得，
又由题设可得，
从而的通项公式为：；
【小问2详解】
因为，
，
两式相减得：
所以.