2026届广西壮族自治区桂林市第十八中学数学高一第一学期期末达标测试试题含解析.doc

2026届广西壮族自治区桂林市第十八中学数学高一第一学期期末达标测试试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若方程则其解得个数为（）
A.3 B.4
C.6 D.5
2．已知函数，若存在R，使得不等式成立，则实数的取值范围为（）
A. B.
C. D.
3．某同学用“五点法”画函数在一个周期内的简图时，列表如下：

0

x

y
0
2
0

0
则的解析式为（）
A. B.
C D.
4．已知集合A={0，1}，B={-1，0}，则A∩B=（　　）
A.0， B.
C. D.
5．我国东汉数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，在“赵爽弦图”中，若，，，则（）

A. B.
C. D.
6．点到直线的距离等于（ ）
A. B.
C.2 D.
7．，则（）
A.64 B.125
C.256 D.625
8．函数，则函数的零点个数为（ ）
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
9．已知U={2，3，4，5，6，7}，M={3，4，5，7}，N={2，4，5，6}，则（　　）
A. 4，6  B.
C  D.
10．植物研究者在研究某种植物1-5年内的植株高度时，将得到的数据用下图直观表示.现要根据这些数据用一个函数模型来描述这种植物在1-5年内的生长规律，下列函数模型中符合要求的是（ ）

A.(且 )
B.(，且 )
C.
D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若直线上存在满足以下条件的点:过点作圆的两条切线(切点分别为),四边形的面积等于，则实数的取值范围是_______
12．已知函数给出下列四个结论：
①存在实数，使函数为奇函数；
②对任意实数，函数既无最大值也无最小值；
③对任意实数和，函数总存在零点；
④对于任意给定的正实数，总存在实数，使函数在区间上单调递减.其中所有正确结论的序号是______________.
13．正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角C1－AB－C平面角等于________
14．已知向量，，则向量在方向上的投影为___________.
15．已知是R上的奇函数，且当时，，则的值为___________.
16．若函数与函数的最小正周期相同，则实数______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知
（1）若函数和函数的图象关于原点对称，求函数的解析式
（2）若在上是增函数，求实数的取值范围
18．计算或化简：
（1）；
（2）
19．已知数列的前n项和为
（1）求；
（2）若，求数列的前项的和
20．已知均为正数，且，证明：，并确定为何值时，等号成立.
21．已知函数满足下列3个条件：
①函数的周期为；②是函数的对称轴；③.
（1）请任选其中二个条件，并求出此时函数的解析式；
（2）若，求函数的最值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】分别画出和的图像，即可得出.
【详解】方程，即，
令，，易知它们都是偶函数，分别画出它们的图像，

由图可知它们有个交点.
故选：.
【点睛】本题主要考查的是函数零点，利用数型结合是解决本题的关键，同时考查偶函数的性质，是中档题.
2、D
【解析】利用函数的奇偶性与单调性把函数不等式变形，然后由分离参数法转化为求函数的最值
【详解】是奇函数，且在上是增函数，
因此不等式可化为，
所以，，
由得的最小值是2，所以
故选：D
3、D
【解析】由表格中的五点，由正弦型函数的性质可得、、求参数，即可写出的解析式.
【详解】由表中数据知：且，则，
∴，即，又，可得.
∴.
故选：D.
4、B
【解析】利用交集定义直接求解
【详解】解：∵集合A={0，1}，B={-1，0}，
∴A∩B={0}
故选B
【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义,是基础题
5、C
【解析】利用平面向量的线性运算及平面向量的基本定理求解即可
【详解】∵
∴
∵
∴＝
∴＝，
∴
故选：C
6、C
【解析】由点到直线的距离公式求解即可.
【详解】解：由点到直线的距离公式得，
点到直线的距离等于.
故选：C
【点睛】本题考查了点到直线的距离公式，属基础题.
7、D
【解析】根据对数的运算及性质化简求解即可.
【详解】，
，
，

故选：D
8、D
【解析】
函数h（x）=f（x）﹣log4x的零点个数⇔函数f（x）与函数y=log4x的图象交点个数．
画出函数f（x）与函数y=log4x的图象（如上图），其中=的图像可以看出来，
当x增加个单位，函数值变为原来的一半，即往右移个单位，函数值变为原来的一半；依次类推；根据图象可得函数f（x）与函数y=log4x的图象交点为5个
∴函数h（x）=f（x）﹣log4x的零点个数为5个．
故选D
9、B
【解析】利用交、并、补集运算，对答案项逐一验证即可
【详解】,A错误
={2，3，4，5，6，7}=，B正确
 {3，4，5，7}，C错误，
，D错误
故选：B
【点睛】本题考查集合的混合运算，较简单
10、B
【解析】由散点图直接选择即可.
【详解】解：由散点图可知，植物高度增长越来越缓慢，故选择对数模型，
即B符合.
故选：B.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】通过画出图形，可计算出圆心到直线的最短距离，建立不等式即可得到的取值范围.
【详解】作出图形，由题意可知，，此时，四边形即为,而，故，勾股定理可知，而要是得存在点P满足该条件，只需O到直线的距离不大于即可，即，所以，故的取值范围是.

【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，意在考查学生的转化能力，计算能力，分析能力，难度中等.
12、① ② ③ ④
【解析】分别作出，和的函数的图象，由图象即可判断① ② ③ ④的正确性，即可得正确答案.
【详解】
如上图分别为，和时函数的图象，
对于① ：当时，，
图象如图关于原点对称，所以存在使得函数为奇函数，故①正确；
对于② ：由三个图知当时，，当时，，所以函数既无最大值也无最小值；故② 正确；
对于③ ：如图和图中存在实数使得函数图象与没有交点，此时函数没有零点，所以对任意实数和，函数总存在零点不成立；故③ 不正确
对于④ ：如图，对于任意给定的正实数，取即可使函数在区间上单调递减，故④正确；
故答案为：① ② ④
【点睛】关键点点睛：本题解题关键点是分段函数图象，涉及二次函数的图象，要讨论，和即明确分段区间，作出函数图象，数形结合可研究分段函数的性质.
13、45°
【解析】
解：如图，设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（1，1，0），C1（0，1，1），∴=(0，1，0)，=(-1，1，1)，设面ABC1的法向量为=(x，y，z)，∵•=0，•=0，∴y=0，-x+y+z=0，∴=(1，0，1)，∵面ABC的法向量=(0，0，1)，设二面角C1-AB-C的平面角为θ，∴cosθ=|cos＜，＞|=，∴θ=45°，答案为45°
考点：二面角的平面角
点评：本题考查二面角的平面角及求法，是基础题．解题时要认真审题，注意向量法的合理运用
14、
【解析】直接利用投影的定义求在方向上的投影.
【详解】因为，，设与夹角为，，
则向量在方向上的投影为：
.
所以在方向上投影为
故答案为：.
15、
【解析】由已知函数解析式可求，然后结合奇函数定义可求.
【详解】因为是R上的奇函数，且当时，，
所以，所以
故答案为：
16、
【解析】求出两个函数的周期，利用周期相等，推出a的值
【详解】：函数的周期是；
函数的最小正周期是：；
因为周期相同，所以，解得
故答案为
【点睛】本题是基础题，考查三角函数的周期的求法，考查计算能力

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】(1)化简f(x)解析式，设函数的图象上任一点，，它关于原点的对称点为，其中，，利用点在函数的图象上，将其坐标代入的表达式即可得g(x)解析式；
(2)可令，将在转化为：，对的系数分类讨论，利用一次函数与二次函数的性质讨论解决即可
【小问1详解】

设函数的图象上任一点，关于原点的对称点为，
则，，
由点在函数的图象上，
，即，
函数的解析式为；
【小问2详解】
由，
设，由，且t在上单调递增，
根据复合函数单调性规则，要使h(x)在上为增函数，则在上为增函数，
①当时，在，上是增函数满足条件，；
②当时，m(t)对称轴方程为直线，
（i)当－(1＋λ)＞0时，，应有t＝，解得，
(ii当－(1＋λ)＜0时，，应有，解得；
综上所述，
18、（1）
（2）1
【解析】（1）根据指数幂的运算算出答案即可；
（2）根据对数的运算算出答案即可.
【小问1详解】

【小问2详解】

19、（1）；（2）.
【解析】（1）由条件求得数列是等差数列，由首项和公差求得.
（2）由（1）求得通项，代入求得，分组求和求得.
【详解】解：（1）因为，
所以是公差为2，首项为2的等差数列
所以
（2）由（1）可知，
因为，所以，
所以
20、证明见解析，时，等号成立.
【解析】根据重要不等式及均值不等式证明即可.
【详解】证明：因为均为正数，所以.
所以①
故，
而.②
所以原不等式成立.当且仅当①式和②式等号成立，
即当且仅当时，故当且仅当时，原不等式等号成立.
21、（1）答案见解析，；（2）最大值；最小值.
【解析】(1)由①知，由②知，由③知，结合即可求出的解析式.
(2)由可得，进而可求出函数最值.
【详解】解：（1）选①②，则，解得，
因为，所以，即；
选①③，，由得，
因，所以，即；
选②③，，由得，
因为，所以，即.
（2）由题意得，因为，所以.
所以当即时，有最大值，
所以当即时，有最小值.
【点睛】本题考查了三角函数的周期，考查了三角函数的对称轴，考查了三角函数的值域，考查了三角函数表达式的求解，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.