果洛市重点中学2025年高二上数学期末统考试题含解析.doc

果洛市重点中学2025年高二上数学期末统考试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设为等差数列的前项和，若，，则公差的值为（）
A. B.2
C.3 D.4
2．已知f(x)是定义在R上的函数，且f(2)=2, ，则f(x)＞x的解集是（ ）
A. B.
C. D.
3．已知、分别是椭圆的左、右焦点，A是椭圆上一动点，圆C与的延长线、的延长线以及线段相切，若为其中一个切点，则（）
A. B.
C. D.与2的大小关系不确定
4．2013年9月7日，总书记在哈萨克斯坦纳扎尔巴耶夫大学发表演讲在谈到环境保护问题时提出“绿水青山就是金山银山”这一科学论新．某市为了改善当地生态环境，2014年投入资金160万元，以后每年投入资金比上一年增加20万元，从2021年开始每年投入资金比上一年增加10%，到2024年底该市生态环境建设投资总额大约为（）（其中，，）
A.2559万元 B.2969万元
C.3005万元 D.3040万元
5．将一枚骰子先后抛掷两次，若先后出现的点数分别记为a，b，则直线到原点的距离不超过1的概率是（ ）
A. B.
C. D.
6．设函数，当自变量t由2变到2.5时，函数的平均变化率是（）
A.5.25 B.10.5
C.5.5 D.11
7．设实数x，y满足约束条件则的最小值（ ）
A.5 B.
C. D.8
8．倾斜角为45°，在y轴上的截距为2022的直线方程是（）
A. B.
C. D.
9．已知、是椭圆的两个焦点，P为椭圆C上一点，且，若的面积为9，则的值为（）
A.1 B.2
C.3 D.4
10．已知函数，若，，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
11．已知实数x，y满足约束条件，则的最大值为（）
A. B.0
C.3 D.5
12．已知是双曲线的左、右焦点，点P在C上，，则等于（ ）
A.2 B.4
C.6 D.8
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知存在正数使不等式成立，则的取值范围_____
14．已知，在直线上存在点P，使，则m的最大值是_______.
15．写出一个与椭圆有公共焦点的椭圆方程__________
16．沈阳市某高中有高一学生600人，高二学生500人，高三学生550人，现对学生关于消防安全知识了解情况进行分层抽样调查，若抽取了一个容量为n的样本，其中高三学生有11人，则n的值等于________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）双曲线的离心率为，虚轴的长为4.
（1）求的值及双曲线的渐近线方程；
（2）直线与双曲线相交于互异两点，求的取值范围.
18．（12分）新型冠状病毒的传染主要是人与人之间进行传播，感染人群年龄大多数是岁以上人群.该病毒进入人体后有潜伏期.潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间.潜伏期越长，感染到他人的可能性越高.现对个病例的潜伏期(单位：天)进行调查，统计发现潜伏期平均数为，方差为.如果认为超过天的潜伏期属于“长潜伏期”，按照年龄统计样本，得到下面的列联表：
年龄/人数
长期潜伏
非长期潜伏
50岁以上
60
220
50岁及50岁以下
40
80
（1）是否有的把握认为“长期潜伏”与年龄有关；
（2）假设潜伏期服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.
（i）现在很多省市对入境旅客一律要求隔离天，请用概率知识解释其合理性；
（ii）以题目中的样本频率估计概率，设个病例中恰有个属于“长期潜伏”的概率是，当为何值时，取得最大值.
附：

0.1
0.05
0.010

2.706
3.841
6.635
若，则，，.
19．（12分）已知椭圆的左，右焦点分别为，三个顶点（左、右顶点和上顶点）构成的三角形的面积为，离心率为方程的根.

（1）求椭圆方程；
（2）椭圆的一个内接平行四边形的一组对边分别过点和，如图，若这个平行四边形面积为，求平行四边形的四个顶点的纵坐标的乘积.
20．（12分）已知函数，记f（x）的导数为f′（x）．若曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为﹣3，且x＝2时y＝f（x）有极值，
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值
21．（12分）已知函数的图象在点P(0，f(0))处的切线方程是
（1）求a 、b的值；
（2）求函数的极值.
22．（10分）已知等比数列的公比，且，是的等差中项.数列的前n项和为，满足，.
（1）求和的通项公式；
（2）设，求的前2n项和.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】根据等差数列前项和公式进行求解即可.
【详解】，
故选：C
2、D
【解析】构造，结合已知有在R上递增且，原不等式等价于，利用单调性求解集.
【详解】令，由题设知：，即在R上递增，
又，所以f(x)＞x等价于，即.
故选：D
3、A
【解析】由题意知，圆C是的旁切圆，点是圆C与轴的切点，设圆C与直线的延长线、分别相切于点、，由切线的性质可知：，，，结合椭圆的定义，即可得出结果.
【详解】由题意知，圆C是的旁切圆，点是圆C与轴的切点，
设圆C与直线的延长线、分别相切于点、，
则由切线的性质可知：，，，
所以，
所以，
所以.
故选A

【点睛】本题主要考查圆与圆锥曲线的综合，熟记椭圆的定义，以及切线的性质即可，属于常考题型.
4、B
【解析】前7年投入资金可看成首项为160，公差为20的等差数列，后4年投入资金可看成首项为260，公比为1.1的等比数列，分别求和，即可求出所求
【详解】2014年投入资金160万元，以后每年投入资金比上一年增加20万元，成等差数列，
则2020年投入资金万元，
年共7年投资总额为，
从2021年开始每年投入资金比上一年增加，
则从2021年到2024年投入资金成首项为，公比为1.1，项数为4的等比数列，
故从2021年到2024年投入总资金为，
故到2024年底该市生态环境建设投资总额大约为万元
故选：
5、C
【解析】先由条件得出a，b满足，得出满足的基本事件数，再求出总的基本事件数，从而可得答案.
【详解】直线到原点的距离不超过1，则
所以
当时，可以为5，6
当时，可以为4，5，6
当时，可以为4，5，6
当时，可以为2，3，4，5，6
当时，可以为1，2，3，4，5，6
当时，可以为1，2，3，4，5，6
满足的共有25种结果.
将一枚骰子先后抛掷两次，若先后出现的点数分别记为a，b，共有种结果
所以满足条件的概率为
故选：C
6、B
【解析】利用平均变化率的公式即得.
【详解】∵，
∴.
故选：B.
7、B
【解析】做出，满足约束条件的可行域，结合图形可得答案.
【详解】做出，满足约束条件可行域如图，
化为，平移直线，
当直线经过点时有最小值，
由得，所以的最小值为.
故选：B.

8、A
【解析】根据直线斜率与倾斜角的关系，结合直线斜截式方程进行求解即可.
【详解】因为直线的倾斜角为45°，所以该直线的斜率为，又因为该直线在y轴上的截距为2022，所以该直线的方程为：，
故选：A
9、C
【解析】根据椭圆定义，和条件列式，再通过变形计算求解.
【详解】由条件可知，
，
即，解得：.
故选：C
【点睛】本题考查椭圆的定义，焦点三角形的性质，重点考查转化与变形，计算能力，属于基础题型.
10、A
【解析】函数，若，，可得，解得或，则实数的取值范围是，故选A.
11、D
【解析】先画出可行域，由，得，作出直线，向上平移过点A时，取得最大值，求出点A的坐标，代入可求得结果
【详解】不等式组表示的可行域，如图所示

由，得，作出直线，向上平移过点A时，取得最大值，
由，得，即，
所以的最大值为，
故选：D
12、D
【解析】根据双曲线定义写出，两边平方代入焦点三角形的余弦定理中即可求解
【详解】双曲线，，所以，根据双曲线的对称性，可假设在第一象限，设，则，
所以，，在中，根据余弦定理：，即，解得：，所以
故选：D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、（1，1）
【解析】存在性问题转化为最大值，运用均值不等式，求出的最大值，转化成解对数不等式，进而解出
【详解】解：∵，
由于，则，
∴，
当且仅当时，即：时，
∴有最大值，
又存在正数使不等式成立，
则，即，
∴，
即的取值范围为：.
故答案为：
【点睛】本题考查均值不等式的应用和对数不等式的解法，还涉及存在性问题，考查化简计算能力
14、11
【解析】设P点坐标，根据条件知，由向量的坐标运算可得P点位于圆上，再根据P存在于直线上，可知直线和圆有交点，因此列出相应的不等式，求得m范围，可得m的最大值.
【详解】设P（x,y）,则，
由题意可知 ,
所以，即，
即满足条件的点P在圆上，
又根据题意P点存在于直线上，
则直线与圆有交点，
故有圆心(1,0)到直线的距离小于等于圆的半径，
即，解得，
则m的最大值为11，
故答案为：11.
15、（答案不唯一）
【解析】根据椭圆的标准方程，以及分析即可
【详解】由题可知椭圆的形式应为（，且），可取
故答案为：（答案不唯一）
16、33
【解析】根据分层抽样的性质进行求解即可.
【详解】因为抽取了一个容量为n的样本，其中高三学生有11人，
所以有，
故答案为：33

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），，双曲线的渐近线方程为和；
（2）.
【解析】（1）根据双曲线的离心率公式，结合虚轴长的定义进行求解即可；
（2）将直线方程与双曲线方程联立，利用方程解的个数进行求解即可.
【小问1详解】
因为双曲线的离心率为，
所以有，
而该双曲线的虚轴的长为4，所以，所以，
因此双曲线的浙近线方程为：或；
【小问2详解】
由（1）可知：，，
所以该双曲线的标准方程为：，与直线联立得：
，因为直线与双曲线相交于互异两点，
所以有：且，
所以的取值范围为：.
18、（1）有；（2）（i）答案见解析；（ii）250.
【解析】（1）根据列联表中的数据，利用求得，与临界表值对比下结论；
（2）(ⅰ)根据，利用小概率事件判断； (ⅱ)易得一个患者属于“长潜伏期”的概率是，进而得到，然后判断其单调性求解.
【详解】（1）依题意有，
由于，故有的把握认为“长期潜伏”与年龄有关；
（2）(ⅰ)若潜伏期，
由，
得知潜伏期超过天的概率很低，因此隔离天是合理的；
(ⅱ)由于个病例中有个属于长潜伏期，
若以样本频率估计概率，一个患者属于“长潜伏期”的概率是，
于是，
则，
，
当时，；
当时，；
∴，.
故当时，取得最大值.
【点睛】方法点睛：利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式的三个条件：(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p；(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率
19、（1）；
（2）.
【解析】（1）由椭圆离心率的性质及一元二次方程的根可得，再由椭圆参数关系、已知三角形面积求椭圆参数，即可得椭圆方程.
（2）设直线，联立椭圆方程并结合韦达定理求，进而可得，再根据求参数t，可得，结合椭圆的对称性求，即可求结果.
【小问1详解】
由的根为，
所以椭圆的离心率，
依题意，，解得，
即椭圆的方程为；
【小问2详解】
设直线，
联立，消去得，
由韦达定理得：，
所以，
所以，
所以椭圆的内接平行四边形面积.
所以，解得或（舍去），
所以，根据椭圆的对称性知：，
故平行四边形的四个顶点的纵坐标的乘积为.
20、（Ⅰ）f（x）＝x3﹣3x2+1；（Ⅱ）最大值为1，最小值为﹣3
【解析】（Ⅰ）求导可得f′（x）的解析式，根据导数的几何意义，可得k=f′（1）=-3，又在x＝2处有极值，所以f′（2）＝0，即可求得a，b的值，即可得答案；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f′（x）的解析式，令f′（x）=0，解得x＝0或x＝2，讨论f（x）在﹣1＜x＜0，0＜x＜1上的单调性，即可求得f（x）的极值，检验边界值，即可得答案.
【详解】（Ⅰ）由题意得：f′（x）＝3x2+2ax+b，
所以k=f′（1）＝3+2a+b＝﹣3，f′（2）＝12+4a+b＝0，
解得a＝﹣3，b＝0，
所以f（x）＝x3﹣3x2+1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令f′（x）＝3x2﹣6x＝0，解得x＝0或x＝2，
当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣1，0）是增函数，
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）在（0，1）是减函数，
所以f（x）的极大值为f（0）＝1，又f（1）＝﹣1，f（﹣1）＝﹣3，
所以f（x）在[﹣1，1]上的最大值为1，最小值为﹣3
21、（1）；（2）答案见解析
【解析】（1）求出曲线的斜率，切点坐标，求出函数的导数，利用导函数值域斜率的关系，即可求出，
（2）求出导函数的符号，判断函数的单调性即可得到函数的极值
【详解】（1）因为函数的图象在点P(0，f(0))处的切线方程是，
所以切线斜率是，且，
求得，即点
又函数，则
所以依题意得
解得
（2）由（1）知
所以
令，解得或
当，或；当，
所以函数的单调递增区间是，，单调递减区间是
所以当变化时，和变化情况如下表：

0

极大值

极小值

所以，
22、（1），（）
（2）
【解析】（1）等差数列和等比数列的基本量的计算，根据条件列出方程，并解方程即可；
（2）数列根据的奇偶分段表示，奇数项通过乘公比错位相减法克求得前项和，偶数项则是通过裂项求和.
【小问1详解】
由得，.
又，，所以，即，
解得或（舍去）.所以（），当时，，
当时，，
经检验，时，适合上式，
故（）.
综上可得：，
【小问2详解】
由（1）可知，
当n为奇数时，，
当n为偶数时，，
由题意，有 ①
②
① - ② 得：
，
则有：.
.
故.