2025年湖北省孝感市文昌中学高二数学第一学期期末联考试题含解析.doc

2025年湖北省孝感市文昌中学高二数学第一学期期末联考试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知是双曲线的左、右焦点，点P在C上，，则等于（ ）
A.2 B.4
C.6 D.8
2．已知直线与直线垂直，则实数（）
A.10 B.
C.5 D.
3．已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为
A. B.
C. D.
4．函数y＝ln（1﹣x）的图象大致为（ ）
A. B.
C D.
5．已知空间向量，，且，则的值为（ ）
A. B.
C. D.
6．已知三棱锥，点分别为的中点，且，用表示，则等于( )

A. B.
C. D.
7．已知直线，椭圆．若直线l与椭圆C交于A，B两点，则线段AB的中点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
8．意大利数学家斐波那契，以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”，，，，，，，，…，在实际生活中很多花朵的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理化学等领域也有着广泛的应用.已知斐波那契数列满足：，，，若，则等于（）
A. B.
C. D.
9．设双曲线的左、右顶点分别为、，点在双曲线上第一象限内的点，若的三个内角分别为、、且，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
10．抛物线准线方程为 (　　)
A. B.
C. D.
11．已知椭圆C：（）的长轴的长为4，焦距为2，则C的方程为（）
A B.
C. D.
12．下列对动直线的四种表述不正确的是（）
A.与曲线C：可能相离，相切，相交
B.恒过定点
C.时，直线斜率是0
D.时，直线的倾斜角是135°
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．直线与直线的夹角大小等于_______
14．已知双曲线的渐近线上两点A，B的中点坐标为（2，2），则直线AB的斜率是 _________ .
15．某次实验得到如下7组数据，通过判断知道与具有线性相关性，其线性回归方程为，则______.（参考公式：）

1
2
3
4
5
6
7

6.0
6.2
6.3
6.4
6.4
6.7
6.8

16．已知椭圆的左、右焦点分别为、，关于原点对称的点A、B在椭圆上，且满足，若令且，则该椭圆离心率的取值范围为___________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.
（1）求角B的大小；
（2）若，，且，求a.
18．（12分）已知椭圆的上下两个焦点分别为，，过点与y轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，△的面积为，椭圆C的离心率为
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知O为坐标原点，直线与y轴交于点P，与椭圆C交于A，B两个不同的点，若存在实数，使得，求m的取值范围
19．（12分）定义：设是空间的一个基底，若向量，则称有序实数组为向量在基底下的坐标．已知是空间的单位正交基底， 是空间的另一个基底，若向量在基底下的坐标为
（1）求向量在基底下的坐标；
（2）求向量在基底下的模
20．（12分）已知圆，圆心在直线上
（1）求圆的标准方程；
（2）求直线被圆截得的弦的长
21．（12分）在2016珠海航展志愿服务开始前，团珠海市委调查了北京师范大学珠海分校某班50名志愿者参加志愿服务礼仪培训和赛会应急救援培训的情况，数据如下表：单位：人

参加志愿服务礼仪培训
未参加志愿服务礼仪培训
参加赛会应急救援培训
8
8
未参加赛会应急救援培训
4
30
（1）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个培训的概率；
（2）在既参加志愿服务礼仪培训又参加赛会应急救援培训的8名同学中，有5名男同学A，A，A，A，A名女同学B，B，B现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A被选中且B未被选中的概率.
22．（10分）在△中，已知、、分别是三内角、、所对应的边长,且
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，且△的面积为，求.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】根据双曲线定义写出，两边平方代入焦点三角形的余弦定理中即可求解
【详解】双曲线，，所以，根据双曲线的对称性，可假设在第一象限，设，则，
所以，，在中，根据余弦定理：，即，解得：，所以
故选：D
2、B
【解析】根据两直线垂直，列出方程，即可求解.
【详解】由题意，直线与直线垂直，
可得，解得.
故选：B.
3、B
【解析】由已知可设，则，得，在中求得，再在中，由余弦定理得，从而可求解.
【详解】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在中，由余弦定理推论得．在中，由余弦定理得，解得
所求椭圆方程为，故选B
法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有．在和中，由余弦定理得，又互补，，两式消去，得，解得．所求椭圆方程为，故选B

【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养
4、C
【解析】根据函数的定义域和特殊点，判断出正确选项.
【详解】由，解得，也即函数的定义域为，由此排除A,B选项.当时，，由此排除D选项.所以正确的为C选项.
故选：C
【点睛】本小题主要考查函数图像识别，属于基础题.
5、B
【解析】根据向量垂直得，即可求出的值.
【详解】.
故选：B.
6、D
【解析】连接，利用，化简即可得到答案.
【详解】连接，如下图

.
故选：D.
7、B
【解析】联立直线方程与椭圆方程，消y得到关于x的一元二次方程，根据韦达定理可得，进而得出中点的横坐标，代入直线方程求出中点的纵坐标即可.
【详解】由题意知，
，消去y，得，
则，，
所以A、B两点中点的横坐标为：，
所以中点的纵坐标为：，
即线段AB的中点的坐标为.
故选：B
8、A
【解析】利用可化简得，由此可得.
【详解】由得：
，
，即.
故选：A.
9、B
【解析】设点，其中，，求得，且有，，利用两角和的正切公式可求得的值，进而可求得的值，即可得出该双曲线的渐近线的方程.
【详解】易知点、，设点，其中，，且，
，且，
，，所以，，
，
因为，
所以，，则，
因此，该双曲线渐近线方程为.
故选：B.
10、D
【解析】由抛物线的准线方程即可求解
【详解】由抛物线方程得：．所以，
抛物线的准线方程为
故选D
【点睛】本题主要考查了抛物线的准线方程，属于基础题
11、D
【解析】由题设可得求出椭圆参数，即可得方程.
【详解】由题设，知：，可得，则，
∴C的方程为.
故选：D.
12、A
【解析】根据过定点的直线系求出恒过点可判断B，由点与圆的位置关系可判断A，由直线方程可判断CD.
【详解】直线可化为，
令，，解得，，
所以直线恒过定点，
而该定点在圆C：内部，
所以必与该圆相交
当时，直线方程为，故斜率为0，
当时，直线方程为，故斜率为，倾斜角为135°.
故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、##
【解析】根据直线的倾斜角可得答案.
【详解】直线是与轴平行的直线，
直线的斜率为1，即与轴的夹角为角，
故直线与直线的夹角大小等于.
故答案为：.
14、##
【解析】设出直线的方程，通过联立直线的方程和渐近线的方程，结合中点的坐标来求得直线的斜率.
【详解】双曲线，，渐近线方程为，
设直线的方程为，，
由，
由，
所以，
所以直线的斜率是.
故答案为：
15、9##
【解析】求得样本中心点的坐标，代入回归直线，即可求得.
详解】根据表格数据可得：

故，解得.
故答案为：.
16、
【解析】由得为矩形，则，故，结合正弦函数即可求得范围
【详解】由已知可得，且四边形为矩形

所以，
又因为，所以
得离心率
因为，所以，可得，
从而
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）.
【解析】（1）根据已知条件，运用余弦定理化简可求出；
（2）由可求出，利用诱导公式和两角和的正弦公式求出，再利用正弦定理即求.
【小问1详解】
）∵且，
∴，
∴，
∴，∵，
∴.
【小问2详解】
∵，
∴，∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，，，
∴.
18、（1）；
（2）或或.
【解析】（1）根据已知条件，求得的方程组，解得，即可求得椭圆的方程；
（2）对的取值进行分类讨论，当时，根据三点共线求得，联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理，结合直线交椭圆两点，代值计算即可求得结果.
【小问1详解】
对椭圆，令，故可得，则，
故，则，又，，
故可得，则椭圆的方程为：.
【小问2详解】
直线与y轴交于点P，故可得的坐标为，
当时，则，由椭圆的对称性可知：，故满足题意；
当时，因为三点共线，若存在实数，使得，
即，则，故可得.
又直线与椭圆交于两点，故联立直线方程，与椭圆方程，
可得：，则，即；
设坐标为，则，
又，即，
故可得：，即，也即，
代入韦达定理整理得：，即，
当时，上式不成立，故可得，又，
则，整理得：，解得，即或.
综上所述：的取值范围是或或.
【点睛】本题考察椭圆方程的求解，以及椭圆中范围问题的处理；解决本题的关键一是要求得的取值，二是充分利用韦达定理以及直线和曲线相交，则联立方程组后得到的一元二次方程的，属综合中档题.
19、（1）
（2）
【解析】（1）根据向量在基底下的坐标为，得出向量在基底下的坐标；
（2）根据向量在基底下的坐标直接计算模即可
【小问1详解】
因为向量在基底下坐标为，
则 ，
所以向量在基底下的坐标为.
【小问2详解】
因为向量在基底下的坐标为，
所以向量在基底下的模为.
20、（1）；（2）
【解析】（1）由圆的一般式方程求出圆心代入直线即可求出得值，即可求解；
（2）先计算圆心到直线的距离，利用即可求弦长.
【详解】（1）由圆，可得
所以圆心为，半径
又圆心在直线上，即，解得
所以圆的一般方程为，
故圆的标准方程为
（2）由（1）知，圆心，半径
圆心到直线的距离
则直线被圆截得的弦的长为

所以，直线被圆截得弦的长为
【点睛】方法点睛：圆的弦长的求法
（1）几何法，设圆的半径为，弦心距为，弦长为，则；
（2）代数法，设直线与圆相交于，，联立直线与圆的方程，消去得到一个关于的一元二次方程，从而可求出，，根据弦长公式，即可得出结果.
21、（1）；（2）.
【解析】（1）根据表中数据知未参加志愿服务礼仪培训又未参加赛会应急救援培训的有30人，故至少参加上述一个培训的共有人.从而求得概率；
（2）从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，列出其一切可能的结果，从而求得被选中且未被选中的概率.
【详解】解：由调查数据可知，既未参加志愿服务礼仪培训又未参加赛会应急救援培训的有30人，
故至少参加上述一个培训的共有人.
从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个培训的概率为；
从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：
，
，
，
共15个，
根据题意，这些基本事件的出现是等可能的，
事件“被选中且未被选中”所包含的基本事件有：，共2个，
被选中且未被选中的概率为.
22、（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）利用余弦定理和得到关于角A的关系式，求解A
（II）再结合正弦面积公式得到三角形的边长的求解
【详解】解：（Ⅰ）在△ABC中，

（Ⅱ）由，得