湖南省湘潭市名校2025年高二数学第一学期期末质量跟踪监视试题含解析.doc

湖南省湘潭市名校2025年高二数学第一学期期末质量跟踪监视试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．由于受疫情的影响，学校停课，同学们通过三种方式在家自主学习，现学校想了解同学们对假期学习方式的满意程度，收集如图1所示的数据；教务处通过分层抽样的方法抽取4%的同学进行满意度调查，得到的数据如图2.下列说法错误的是（ ）

A.样本容量为240
B.若，则本次自主学习学生的满意度不低于四成
C.总体中对方式二满意学生约为300人
D.样本中对方式一满意的学生为24人
2．在空间直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（）
A. B.
C. D.
3．已知长方体的底面ABCD是边长为8的正方形，长方体的高为，则与对角面夹角的正弦值等于（）
A. B.
C. D.
4．数列的一个通项公式为（ ）
A. B.
C. D.
5．已知圆，直线，则直线l被圆C所截得的弦长的最小值为（ ）
A.2 B.3
C.4 D.5
6． “”是“方程为双曲线方程”的（）
A充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
8．已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数n的值是（ ）
A. B.
C. D.
9．过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，，抛物线的准线与轴交于点，则的面积为（ ）
A. B.
C. D.
10．下列有关命题的表述中，正确的是（）
A.命题“若是偶数，则，都是偶数”的否命题是假命题
B.命题“若为正无理数，则也是无理数”的逆命题是真命题
C.命题“若，则”的逆否命题为“若，则”
D.若命题“”，“”均为假命题，则，均为假命题
11．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）种
A.54 B.72
C.96 D.120
12．已知数列是等差数列，为数列的前项和，，，则（）
A.54 B.71
C.81 D.80
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知直线与直线垂直，则实数的值为___________.
14．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图），给出下列三个结论：

①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3；
其中，所有正确结论的序号是________
15．已知，，且，则的最小值为______.
16．阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期的数学三巨匠．“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一：平面上动点P到两定点A，B的距离之比满足(且，t为常数)，则点的轨迹为圆．已知在平面直角坐标系中，，，动点P满足，则P点的轨迹为圆，该圆方程为_________；过点的直线交圆于两点，且，则_________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数
（Ⅰ）解关于的不等式；
（Ⅱ）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围
18．（12分）已知圆的圆心为，且经过点.
（1）求圆的标准方程；
（2）已知直线与圆相交于、两点，求.
19．（12分）已知公比的等比数列和等差数列满足：，，其中，且是和的等比中项
（1）求数列与的通项公式；
（2）记数列的前项和为，若当时，等式恒成立，求实数的取值范围
20．（12分）某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每件产品的非原料成本（元）与生产该产品的数量（千件）有关，经统计得到如下数据：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
y
56.5
31
22.75
17.8
15.95
14.5
13
12.5
根据以上数据绘制了散点图观察散点图，两个变量间关系考虑用反比例函数模型和指数函数模型分别对两个变量的关系进行拟合.已求得用指数函数模型拟合的回归方程为，与x的相关系数.

（1）用反比例函数模型求y关于x的回归方程；
（2）用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到0.001），并用其估计产量为10千件时每件产品非原料成本；
（3）根据企业长期研究表明，非原料成本y服从正态分布，用样本平均数作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值，若非原料成本y在之外，说明该成本异常，并称落在之外的成本为异样成本，此时需寻找出现异样成本的原因.利用估计值判断上述非原料成本数据是否需要寻找出现异样成本的原因？
参考数据（其中）：

0.34
0.115
1.53
184
5777.555
93.06
30.705
13.9
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，相关系数.
21．（12分）已知椭圆的上顶点在直线上，点在椭圆上.
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P，Q在椭圆C上，且，，点G为垂足，是否存在定圆恒经过A，G两点，若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由.
22．（10分）已知直线，圆.
（1）证明：直线l与圆C相交；
（2）设l与C的两个交点分别为A、B，弦AB的中点为M，求点M的轨迹方程；
（3）在（2）的条件下，设圆C在点A处的切线为，在点B处的切线为，与的交点为Q.试探究：当m变化时，点Q是否恒在一条定直线上？若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】利用扇形统计图和条形统计图可求出结果
【详解】选项A，样本容量为，该选项正确；
选项B，根据题意得自主学习的满意率，错误；
选项C，样本可以估计总体，但会有一定的误差，总体中对方式二满意人数约为，该选项正确；
选项D，样本中对方式一满意人数为，该选项正确.
故选：B
【点睛】本题主要考查了命题真假的判断，考查扇形统计图和条形统计图等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题
2、C
【解析】根据点关于原点对称的性质即可知答案.
【详解】由点关于原点对称，则对称点坐标为该点对应坐标的相反数，
所以.
故选：C
3、A
【解析】建立空间直角坐标系，结合空间向量的夹角坐标公式即可求出线面角的正弦值.
【详解】连接，建立如图所示的空间直角坐标系

∵底面是边长为8的正方形，，
∴，，，
因为,且，所以平面，
∴，平面的法向量，
∴与对角面所成角的正弦值为
故选：A.
4、A
【解析】根据规律，总结通项公式，即可得答案.
【详解】根据规律可知数列的前三项为，
所以该数列一个通项公式为
故选：A
5、C
【解析】直线l过定点D(1，1)，当时，弦长最短.
【详解】由，
圆心，半径，
，
由，故直线l过定点，
∵，故D在圆C内部，直线l始终与圆相交，
当时，直线l被圆截得的弦长最短，，弦长＝.
故选：C.
6、C
【解析】先求出方程表示双曲线时满足的条件，
然后根据“小推大”原则进行判断即可.
【详解】因为方程为双曲线方程，所以，
所以“”是“方程为双曲线方程”的充要条件.
故选：C.
7、D
【解析】求出函数的导数，问题转化为在有解，进而求函数的最值，即可求出的范围.
【详解】∵，
∴，
若在区间内存在单调递增区间，则有解，
故，
令，则在单调递增，
，
故.
故选：D.
8、C
【解析】首先根据抛物线焦半径公式得到，从而得到，再根据曲线的一条渐近线与直线AM平行，斜率相等求解即可.
【详解】由题知：，解得，抛物线.
双曲线的左顶点为，，
因为双曲线的一条渐近线与直线平行，
所以，解得.
故选：C
9、B
【解析】画出图形，利用已知条件结合抛物线的定义求解边长CF，BK，然后求解三角形的面积即可
【详解】如图，设拋物线的准线为，过作于，过作于，过作于，
设，则根据抛物线的定义可得，
，，
的面积为，
故选：.

10、C
【解析】对于选项A：根据偶数性质即可判断；对于选项B：通过举例即可判断，对于选项C：利用逆否命题的概念即可判断；对于选项D：根据且、或和非的关系即可判断.
【详解】选项A：原命题的否命题为：若不是偶数，则，不都是偶数，
若，都是偶数，则一定是偶数，从而原命题的否命题为真命题，故A错误；
选项B：原命题的逆命题：若是无理数，则也为正无理数，
当，即为无理数，但是有理数，故B错误；
选项C：由逆否命题的概念可知，C正确；
选项D：由为假命题可知，，至少有一个为假命题，
由为假命题可知，和均为假命题，故为假命题，为真命题，故D错误.
故选：C.
11、A
【解析】根据题意，分2种情况讨论：
①、甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，
②、甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，由加法原理计算可得答案
【详解】根据题意，甲乙都没有得到冠军，而乙不是最后一名，
分2种情况讨论：
①甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，即乙有3种情况，
剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况，
此时有种名次排列情况；
②甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，有种情况，
剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况，
此时有种名次排列情况；
则一共有种不同的名次情况，
故选：A
12、C
【解析】利用等差数列的前n项和公式求解.
【详解】∵是等差数列，，
∴，得，
∴.
故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】由直线垂直的充要条件列式计算即可得答案.
【详解】解：因为直线与直线垂直，
所以，解得
故答案为：
14、①②
【解析】先根据图像的对称性找出整点，再判断是否还有其他的整点在曲线上；找出曲线上离原点距离最大的点的区域，再由基本不等式得到最大值不超过；在心形区域内找到一个内接多边形，该多边形的面积等于3，从而判断出“心形”区域的面积大于3.
【详解】①:由于曲线，
当时，；
当时，；
当时，；
由于图形的对称性可知，没有其他的整点在曲线上，
故曲线恰好经过6个整点：

,,,,,,所以①正确；
②:由图知，到原点距离的最大值是在时，
由基本不等式，当时，，
所以即，所以②正确；
③:由①知长方形CDFE的面积为2，三角形BCE的面积为1，所以曲线C所围成的“心形”区域的面积大于3，故③错误；
故答案为：①②.
【点睛】找准图形的关键信息，比如对称性，整点，内接多边形是解决本题的关键.
15、4
【解析】利用“1”的妙用，运用基本不等式即可求解.
【详解】∵，即，
∴
又∵，，∴，当且仅当且，
即，时，等号成立，则的最小值为4.
故答案为：.
16、 ①. ②.
【解析】设，根据可得圆的方程，利用垂径定理可求.
【详解】设，则，整理得到，
即.
因为，故为的中点，过圆心作的垂线，垂足为，
则为的中点，则，故，
解得，
故答案为：，.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）用找零点法去绝对值，然后再解不等式.（Ⅱ）将原函数转化为分段函数，再结合函数图像求得其最小值．将恒成立转化为
试题解析：（Ⅰ）或或
或
所以原不等式解集为
（Ⅱ），
由函数图像可知，
所以要使恒成立，只需
考点：1绝对值不等式；2恒成立问题；3转化思想
18、（1）；
（2）.
【解析】（1）求出圆的半径长，结合圆心坐标可得出圆的标准方程；
（2）求出圆心到直线的距离，利用勾股定理可求得.
小问1详解】
解：圆的半径为，
因此，圆的标准方程为.
【小问2详解】
解：圆心到直线的距离为，
因此，.
19、（1），；（2）.
【解析】（1）根据已知条件可得出关于方程，解出的值，可求得的值，即可得出数列与的通项公式；
（2）求得，利用错位相减法可求得，分析可知数列为单调递增数列，对分奇数和偶数两种情况讨论，结合参变量分离法可得出实数的取值范围.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
因为，，，且是和的等比中项，
所以，整理可得，解得或.
若，则，可得，不合乎题意；
若，则，可得，合乎题意.
所以，;；
（2）因为，①
，②
②①得
因为，即对恒成立，
所以
当且，，故数列为单调递增数列，
当为偶数时，，所以；
当为奇数时，，所以，即.
综上可得
20、（1）
（2）反比例函数模型拟合效果更好，产量为10千件时每件产品的非原料成本约为11元，
（3）见解析
【解析】（1）令，则可转化为，求出样本中心，回归方程的斜率，转化求回归方程即可，
（2）求出与的相关系数，通过比较，可得用反比例函数模型拟合效果更好，然后将代入回归方程中可求结果
（3）利用已知数据求出样本标准差s，从而可得非原料成本y服从正态分布，再计算，然后各个数据是否在此范围内，从而可得结论
【小问1详解】
令，则可转化为，
因为，
所以，
所以，所以，
所以y关于x的回归方程为
【小问2详解】
与的相关系数为

因为，所以用反比例函数模型拟合效果更好，
把代入回归方程得（元），
所以产量为10千件时每件产品的非原料成本约为11元
【小问3详解】
因为，所以，
因为样本标准差为，
所以，
所以非原料成本y服从正态分布，
所以
因为在之外，所以需要此非原料成本数据寻找出现异样成本的原因
21、（1）；
（2）存在，定圆.
【解析】（1）由题可得，，即求；
（2）由题可设直线的方程，利用韦达定理及条件可得直线恒过定点，则以为直径的圆适合题意，即得.
【小问1详解】
由题设知，椭圆上顶点为，且在直线上
∴，即
又点在椭圆上，
∴解得，
∴椭圆C的方程为；
【小问2详解】
设，，当直线斜率存在，设直线为：
联立方程，化简得
∴，，
∵，∴
又∵，
∴

将，代入，
化简得，即
则或，
①当时，直线恒过定点与点重合，不符题意.
②当时，直线恒过定点，记为点，
∵，∴以为直径，其中点为圆心的圆恒经过两点，
则圆方程为：；
当直线斜率不存在，设方程为，，，且

，，
∴，
解得或（舍去），，取，以为直径作圆，
圆方程为：恒经过两点，
综上所述，存在定圆恒经过两点.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是证明直线恒过定点，结合条件可得以为直径的圆，适合题意即得.
22、（1）证明见解析；
（2）；
（3）点Q恒在直线上，理由见解析.
【解析】（1）求出直线过定点，得到在圆内部，故证明直线l与圆C相交；（2）设出点，利用垂直得到等量关系，整理后即为轨迹方程；（3）利用Q、A、B、C四点共圆，得到此圆方程，联立，求出相交弦的方程，即直线的方程，根据直线过的定点，得到，从而得到点Q恒在直线上.
【小问1详解】
证明：直线过定点，代入得：，故在圆内，故直线l与圆C相交；
【小问2详解】
圆的圆心为，设点，由垂径定理得：，即，化简得：，点M的轨迹方程为：
【小问3详解】
设点，由题意得：Q、A、B、C四点共圆，且圆的方程为：，即，与圆C的方程联立，消去二次项得：，即为直线的方程，因为直线过定点，所以，解得：，所以当m变化时，点Q恒在直线上.
【点睛】本题的第三问是稍有难度的，处理方法是根据四点共圆，直径的端点坐标，求出此圆的方程，与曲线联立后得到相交弦的方程，是处理此类问题的关键.