福建省福州市格致中学2026届数学高二上期末监测模拟试题含解析.doc

福建省福州市格致中学2026届数学高二上期末监测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知数列为等差数列，则下列数列一定为等比数列的是（ ）
A. B.
C. D.
2．已知，则（）
A. B.1
C. D.
3．已知函数在处取得极值，则的极大值为（）
A. B.
C. D.
4．在各项都为正数的等比数列中，首项，前3项和为21，则(　　)
A.84 B.72
C.33 D.189
5．已知等比数列满足，则（）
A.168 B.210
C.672 D.1050
6．在中，，，为所在平面上任意一点，则的最小值为（）
A.1 B.
C.－1 D.-2
7．定义在R上的函数与函数在上具有相同的单调性，则k的取值范围是（）
A. B.
C. D.
8．如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，，则下列数量积最大的是（）

A. B.
C. D.
9．过，两点的直线的一个方向向量为，则（）
A.2 B.2
C.1 D.1
10．某公司有320名员工，将这些员工编号为1，2，3，…，320，从这些员工中使用系统抽样的方法抽取20人进行“学习强国”的问卷调查，若54号被抽到，则下面被抽到的是（）
A.72号 B.150号
C.256号 D.300号
11．双曲线的左右焦点分别是，，直线与双曲线在第一象限的交点为，在轴上的投影恰好是，则双曲线的离心率是（）
A. B.
C. D.
12．函数区间上有（ ）
A.极大值为27，极小值为-5 B.无极大值，极小值为-5
C.极大值为27，无极小值 D.无极大值，无极小值
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知一组样本数据5、6、a、6、8的极差为5，若，则其方差为________.
14．已知是双曲线的左、右焦点，若为双曲线上一点，且，则__________.
15．已知正方体的棱长为2，E、F分别是棱、的中点，点P为底面ABCD内（包括边界）的一动点，若直线与平面BEF无公共点，则点P的轨迹长度为______.

16．古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点A，B的距离之比为常数的点的轨迹是—个圆心在直线上的圆.该圆被称为阿氏圆，如图，在长方体中，，点E在棱上，，动点P满足，若点P在平面内运动，则点P对应的轨迹的面积是___________；F为的中点，则三棱锥体积的最小值为___________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知动点M到点F（0，）的距离与它到直线的距离相等
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）过点P（，－1）作C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，求直线AB的方程
18．（12分）已知函数，为的导函数
（1）求的定义域和导函数；
（2）当时，求函数的单调区间；
（3）若对，都有成立，且存在，使成立，求实数a的取值范围
19．（12分）如图，在三棱锥中，已知△ABC和△PBC均为正三角形，D为BC的中点

（1）求证：平面；
（2）若，，求三棱锥的体积
20．（12分）已知函数
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若函数有两个不相等的零点，证明：
21．（12分）已知在平面直角坐标系中，圆A：的圆心为A，过点B(，0)任作直线l交圆A于点C、D，过点B作与AD平行的直线交AC于点E.
（1）求动点E的轨迹方程；
（2）设动点E的轨迹与y轴正半轴交于点P，过点P且斜率为k1，k2的两直线交动点E的轨迹于M、N两点(异于点P)，若，证明：直线MN过定点.
22．（10分）已知函数
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间及极值
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】根据等比数列的定义判断
【详解】设的公差是，即，
显然，且是常数，是等比数列，
若中一个为1，则，则不是等比数列，
只要，，都不可能是等比数列，如，，
故选：A
2、B
【解析】先根据共轭复数的定义可得，再根据复数的运算法则即可求出
【详解】因为，所以
故选：B
3、B
【解析】首先求出函数的导函数，依题意可得，即可求出参数的值，从而得到函数解析式，再根据导函数得到函数单调性，即可求出函数的极值点，从而求出函数的极大值；
【详解】解：因为，所以，依题意可得，即，解得，所以定义域为，且，令，解得或，令解得，即在和上单调递增，在上单调递减，即在处取得极大值，在处取得极小值，所以；
故选：B
4、A
【解析】分析：设等比数列的公比为，根据前三项的和为列方程，结合等比数列中，各项都为正数，解得，从而可以求出的值.
详解：设等比数列的公比为，
首项为3，前三项的和为，
，解之得或，
在等比数列中，各项都为正数，
公比为正数，舍去），
，故选A.
点睛：本题考查以一个特殊的等比数列为载体，通过求连续三项和的问题，着重考查了等比数列的通项，等比数列的性质和前项和等知识点，属于简单题.
5、C
【解析】根据等比数列的性质求得，再根据，即可求得结果.
【详解】等比数列满足,
设等比数列的公比为q,
所以,解得，
故，
故选：C
6、C
【解析】以为建立平面直角坐标系，设，把向量的数量积用坐标表示后可得最小值
【详解】如图，以为建立平面直角坐标系，则，设，
，，，，
∴，
∴当时，取得最小值
故选：C

【点睛】本题考查向量的数量积，解题方法是建立平面直角坐标系，把向量的数量积转化为坐标表示
7、B
【解析】判定函数单调性，再利用导数结合函数在的单调性列式计算作答.
【详解】由函数得：，当且仅当时取“=”，则在R上单调递减，
于是得函数在上单调递减，即，，即，
而在上单调递减，当时，，则，
所以k的取值范围是.
故选：B
8、B
【解析】设，根据线面垂直的性质得，，，，根据向量数量积的定义逐一计算，比较可得答案.
【详解】解：设，因为平面，所以，，，，
又底面是正方形，所以，，
对于A，；
对于B，

；
对于C，；
对于D，，
所以数量积最大的是，
故选：B.
9、C
【解析】应用向量的坐标表示求的坐标，由且列方程求y值.
【详解】由题设，，则且，
所以，即，可得.
故选：C
10、B
【解析】根据系统抽样分成20个小组，每组16人中抽一人，故抽到的序号相差16的整数倍，即可求解.
【详解】∵用系统抽样的方法从320名员工中抽取一个容量为20的样本
∴，即每隔16人抽取一人
∵54号被抽到
∴下面被抽到的是54+16×6=150号，而其他选项中的数字不满足与54相差16的整数倍，故答案为：B
故选：B
11、D
【解析】根据题意的到，，代入到双曲线方程，解得，即，则，即，即，求解方程即可得到结果.
【详解】设原点为，∵直线与双曲线在第一象限的交点在轴上的投影恰好是，
∴，且，∴，
将代入到双曲线方程，可得，解得，即，
则，即，即，解得（舍负），
故.
故选:D.
12、B
【解析】求出得出的单调区间，从而可得答案.
【详解】
当时，，单调递减.
当时，，单调递增.
所以当时，取得极小值，极小值为，无极大值.
故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、2
【解析】根据极差的定义可求得a的值，再根据方差公式可求得结果.
【详解】因为该组数据的极差为5，，
所以，解得.
因为，
所以该组数据的方差为
故答案为：.
14、17
【解析】根据双曲线的定义求解
【详解】由双曲线方程知，，，
又．，所以（1舍去）
故答案为：17
15、
【解析】取BC中点G，证明平面平面确定点P的轨迹，再计算作答.
【详解】在正方体中，取BC中点G，连接，如图，

因E、F分别是棱、的中点，则，而平面，平面，则有平面，
因，则，而，则有四边形为平行四边形，有，
又平面，平面，于是得平面，而，平面，
因此，平面平面，即线段AG是点P在底面ABCD内的轨迹，，
所以点P的轨迹长度为.
故答案为：
16、 ①. ②.
【解析】建立空间直角坐标系，根据，可得对应的轨迹方程；先求的面积，其是固定值，要使体积最小，只需求点到平面的距离的最小值即可.
【详解】分别以为轴建系，设，而,,，
,.

由,有，化简得对应的轨迹方程为.所以点P对应的轨迹的面积是.
易得的三个边
即是边长为为的等边三角形，其面积为，
，设平面的一个法向量为，
则有，可取平面的一个法向量为，
根据点的轨迹，可设，
，
所以点到平面的距离，
所以
故答案为：；

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）根据抛物线的定义或者直接列式化简即可求出；
（2）方法一：设切线的方程为：，与抛物线方程联立，由即可求出的值，从而得出点的坐标，即可求出直线方程
【小问1详解】
设M（x，y），则
解得．所以该抛物线的方程为
【小问2详解】
［方法一］：依题意，切线的斜率存在，设切线的方程为：，与抛物线方程联立，得，令，得或．从而或，解得或，
所以切点A（－1，），B（2，2），直线AB的斜率为，
所以直线AB的方程为，整理得．
［方法二］：由可得，所以，
设切点为（），则切线的斜率，又切线过点P（，－1），所以，整理得，解得或，所以切点的坐标为A（－1，），B（2，2），所以直线AB的斜率为，所以直线AB的方程为，整理得
18、（1），
（2）在单减，也单减，无增区间
（3）
【解析】（1）根据分母不等于0，对数的真数大于零即可求得函数的定义域，根据基本初等函数的求导公式及商的导数公式即可求出函数的导函数；
（2）求出函数的导函数，再根据导函数的符号即可得出答案；
（3）若对，都有成立，即，即，令，，只要即可，利用导数求出函数的最小值即可求出的范围，，，求出函数的值域，根据存在，使成立，则0在函数的值域中，从而可得出的范围，即可得解.
【小问1详解】
解：的定义域为，；
【小问2详解】
解：当时，，
恒成立，所以在和上递减；
【小问3详解】
解：若对，都有成立，
即，即，
令，，则，
对于函数，，
当时，，当时，，
所以函数在上递增，在上递减，
所以，
当时，，
所以，所以，
故恒成立，在为减函数，
所以，所以，
由（1）知，，所以，
记，
令，，则原式的值域为，
因为存在，使成立，
所以，，所以，
综上，
【点睛】本题考查了函数的定义域及导数的四则运算，考查了利用导数求函数的单调区间，考查了不等式恒成立问题，考查了计算能力及数据分析能力，对不等式恒成立合理变形转化为求最值是解题关键.
19、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】【小问1详解】
因为△ABC和△PBC为正三角形，D为BC的中点，
所以,
又,
所以平面
【小问2详解】
因为△ABC和△PBC为正三角形，且，
所以,
又，
所以正三角形的面积为，
所以.
20、（1）单调递增区间是(4,+∞)，单调递减区间是(0,4)；
（2）证明见解析.
【解析】（1）求的导函数，结合定义域及导数的符号确定单调区间；
（2）法一：讨论、时的零点情况，即可得，构造，利用导数研究在(0,2a)恒成立，结合单调性证明不等式；法二：设，由零点可得，进而应用分析法将结论转化为证明，综合换元法、导数证明结论即可.
【小问1详解】
函数的定义域为(0,+∞)，
当a=2时，，则
令得，x>4；令得，0<x<4；
所以,单调递增区间是(4,+∞)；单调递减区间是(0,4).
【小问2详解】
法一：
当a≤0时，>0 在(0,+∞)上恒成立，故函数不可能有两个不相等的零点，
当a>0时，函数在(2a,+∞)上单调递增，在(0,2a)上单调递减，
因为函数有两个不相等的零点，则，
不妨设，
设，（0<x<2a），则，
所以，
由a>0知：在(0,2a)恒成立，
所以在(0,2a)上单调递减，即>=0，
所以，即，又，故，
因为，所以，
因为函数在(2a,+∞)上单调递增，
所以，即
法二：不妨设，
由题意得，，得，即，
要证，只需证，即证：，即，
令，，则，
所以在区间(1,+∞)单调递减，故<=0，即恒成立
因此，所以.
【点睛】关键点点睛：第二问，法一：应用极值点偏移方法构造，将问题转化为在(0,2a)恒成立，法二：根据零点可得，再由分析法将问题化为证明，构造函数，综合运用换元法、导数证明结论.
21、（1）
（2）证明见解析
【解析】(1)作出图象，易知|EB|＋|EA|为定值，根据椭圆定义即可判断点E的轨迹，从而写出其轨迹方程；
(2)设，当直线MN斜率存在时，设直线MN的方程为：，联立MN方程和E的轨迹方程得根与系数的关系，根据解出k与m的关系即可以判断MN过定点；最后再考虑MN斜率不存在时是否也过该定点即可.
【小问1详解】

由圆A：可得(，
∴圆心A(－，0)，圆的半径r＝8，
，
，可得，
，
，
由椭圆的定义可得：点E的轨迹是以A(，0)、B(，0)为焦点，2a＝8的椭圆，
即a＝4，c＝，∴＝16－7＝9，
∴动点E的轨迹方程为；
【小问2详解】
由(1)知，P(0，3)，设，当直线MN的斜率存在时，
设直线MN的方程为：，
由，可得，
∴，，
∵，
∴，
即，
整理可得：，
∴k＝m＋3或m＝3，
当m＝3时，直线MN的方程为：，
此时过点P(0，3)不符合题意，
∴k＝m＋3，∴直线MN的方程为：
此时直线MN过点(－1，－3)，
当直线MN的斜率不存在时，，
，解得，
此时直线MN的方程为：，过点(－1，－3)，
综上所述：直线MN过定点(－1，－3).

22、（1）+1；（2）单调增区间，单调减区间是和，极大值为，极小值为
【解析】（1）根据导数的几何意义可求出切线斜率，求出后利用点斜式即可得解；
（2）求出函数导数后，解一元二次不等式分别求出、时的取值范围即可得解.
【详解】（1）因为，所以，

∴切线方程为，即+1；
（2），所以当或时，，
当时，，所以函数单调增区间是，单调减区间是和，极大值为，极小值为