北京市通州区2025-2026学年数学高二第一学期期末达标检测试题含解析.doc

北京市通州区2025-2026学年数学高二第一学期期末达标检测试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．定义在R上的偶函数在上单调递增，且，则满足的x的取值范围是（）
A. B.
C. D.
2．已知椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离是，则点到另一个焦点的距离为（）
A.2 B.3
C.4 D.5
3．在棱长为1的正方体中，点，分别是，的中点，点是棱上的点且满足，则两异面直线，所成角的余弦值是（）
A. B.
C. D.
4． “中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年英国来华传教士伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2021这2020个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为（）
A. B.
C. D.
5．已知倾斜角为的直线与双曲线，相交于，两点，是弦的中点，则双曲线的渐近线的斜率是（）
A. B.
C. D.
6．函数的图象大致是（）
A. B.
C. D.
7．设双曲线C： 的左、右焦点分别为，点P在双曲线C上，若线段的中点在y轴上，且为等腰三角形，则双曲线C的离心率为（ ）
A. B.2
C. D.
8．如图，双曲线的左，右焦点分别为，，过作直线与C及其渐近线分别交于Q，P两点，且Q为的中点．若等腰三角形的底边的长等于C的半焦距．则C的离心率为（ ）

A. B.
C. D.
9．椭圆上一点到一个焦点的距离为，则到另一个焦点的距离是（）
A. B.
C. D.
10．已知，分别是圆和圆上的动点，点在直线上，则的最小值是（）
A. B.
C. D.
11．观察，，，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足，记为的导函数，则=
A. B.
C. D.
12．若抛物线的焦点与椭圆的左焦点重合，则m的值为（）
A.4 B.-4
C.2 D.-2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知实数x，y满足方程，则的最大值为_________
14．数学中，多数方程不存在求根公式.因此求精确根非常困难，甚至不可能.从而寻找方程的近似根就显得特别重要.例如牛顿迭代法就是求方程近似根的重要方法之一，其原理如下：假设是方程的根，选取作为的初始近似值，在点处作曲线的切线，则与轴交点的横坐标称为的一次近似值，在点处作曲线的切线.则与轴交点的横坐标称为的二次近似值.重复上述过程，用逐步逼近.若给定方程，取，则__________.
15．已知的展开式中项的系数是，则正整数______________.
16．银行一年定期的存款的利率为p，如果将a元存入银行一年定期，到期后将本利再存一年定期，到期后再存一年定期……，则10年后到期本利共________元
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知O为坐标原点，点P在抛物线C：上，点F为抛物线C的焦点，记P到直线的距离为d，且.
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）若过点的直线l与抛物线C相切，求直线l的方程.
18．（12分）已知双曲线及直线
（1）若与有两个不同的交点，求实数的取值范围
（2）若与交于，两点，且线段中点的横坐标为，求线段的长
19．（12分）已知抛物线上的点到其焦点F的距离为5.
（1）求C的方程；
（2）过点的直线l交C于A，B两点，且N为线段的中点，求直线l的方程.
20．（12分）甲、乙两人独立地对某一目标射击，已知甲、乙能击中的概率分别为，求：
（1）甲、乙恰好有一人击中的概率；
（2）目标被击中的概率
21．（12分）圆经过两点，且圆心在直线上.
（1）求圆的方程；
（2）求圆与圆的公共弦的长.
22．（10分）已知椭圆M：的离心率为，左顶点A到左焦点F的距离为1，椭圆M上一点B位于第一象限，点B与点C关于原点对称，直线CF与椭圆M的另一交点为D

（1）求椭圆M的标准方程；
（2）设直线AD的斜率为，直线AB的斜率为．求证：为定值
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】，再根据函数的奇偶性和单调性可得或，解之即可得解.
【详解】解：，
由题意可得或
即或，解得或
故选：B.
2、C
【解析】根据椭圆的定义，结合题意，即可求得结果.
【详解】设椭圆的两个焦点分别为，故可得，
又到椭圆一个焦点的距离是，故点到另一个焦点的距离为.
故选：.
3、A
【解析】建立空间直角坐标系，写出点、、、和向量的、坐标，运用求异面直线余弦值的公式即可求出.
【详解】解：以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标第,

则，，，，
故,,
，
故两异面直线，所成角的余弦值是.
故选：A.
【点睛】本题考查求异面直线所成角的余弦值，属于中档题.
4、C
【解析】由题设且，应用不等式求的范围，即可确定项数.
【详解】由题设，且，
所以，可得且.
所以此数列的项数为.
故选：C
5、A
【解析】依据点差法即可求得的关系，进而即可得到双曲线的渐近线的斜率.
【详解】设，则
由，可得
则，即，则
则双曲线的渐近线的斜率为
故选：A
6、A
【解析】根据函数的定义域及零点的情况即可得到答案.
【详解】函数的定义域为，
则排除选项、,
当时，，
则在上单调递减，且，，
由零点存在定理可知在上存在一个零点，则排除，
故选：.
7、A
【解析】根据是等腰直角三角形，再表示出的长，利用三角形的几何性质即可求得答案.
【详解】线段的中点在y轴上,设的中点为M，

因为O为的中点，所以,
而,则，
为等腰三角形，故，
由，得，
又为等腰直角三角形，故，
即 ，解得 ，即，
故选：A.
8、C
【解析】先根据等腰三角形的性质得，再根据双曲线定义以及勾股定理列方程，解得离心率.
【详解】
连接，由为等腰三角形且Q为的中点，得，由知．由双曲线的定义知，在中，， （负值舍去）
故选：C
【点睛】本题考查双曲线的定义、双曲线的离心率，考查基本分析求解能力，属基础题.
9、B
【解析】利用椭圆的定义可得结果.
【详解】在椭圆中，，由椭圆的定义可知，到另一个焦点的距离是.
故选：B.
10、B
【解析】由已知可得，，求得关于直线的对称点为，则，计算即可得出结果.
【详解】由题意可知圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径
设关于直线的对称点为，则解得，
则
因为，分别在圆和圆上，所以，，
则
因为，所以
故选：B.
11、D
【解析】由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为是偶函数，则是奇函数，所以，应选答案D
12、B
【解析】根据抛物线和椭圆焦点与其各自标准方程的关系即可求解.
【详解】由题可知抛物线焦点为，椭圆左焦点为，
∴.
故选：B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、##
【解析】设，根据直线与圆的位置关系即可求出
【详解】由于，设，所以点既在直线上，又在圆上，即直线与圆有交点，所以， ，即
故答案为：
14、
【解析】根据牛顿迭代法的知识求得.
【详解】构造函数，，
切线的方程为，与轴交点的横坐标为.
，
所以切线的方程为，与轴交点的横坐标为.
故答案为：
15、4
【解析】由已知二项式可得展开式通项为，根据已知条件有，即可求出值.
详解】由题设，，
∴，则且为正整数，解得.
故答案为：4.
16、
【解析】根据题意求出每年底的本利和，归纳即可.
【详解】由题意知，
第一年本利和为：元，
第二年本利和为：元，
第三年本利和为：元，
以此类推，
第十年本利和为：元，
故答案：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）或.
【解析】（1）根据抛物线的定义进行求解即可；
（2）根据直线l是否存在斜率分类讨论，结合一元二次方程根的判别式进行求解即可.
【小问1详解】
因为，所以P到直线的距离等于，
所以抛物线C的准线为，
所以，，
所以抛物线C的标准方程为；
【小问2详解】
当直线l的斜率不存在时，方程为，此时直线l恰与抛物线C相切
当直线l的斜率存在时，设其方程为，
联立方程，得
若，显然不合题意；
若，则，解得
此时直线l的方程为
综上，直线l与抛物线C相切时，l的方程为或.
18、（1）且；（2）
【解析】（1）联立直线与双曲线方程，利用方程组与两个交点，求出k的范围
（2）设交点A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理以及弦长公式求解即可
【详解】（1）联立y=2可得
∵与有两个不同的交点，

且，
且
（2）设，
由（1）可知，
又中点的横坐标为
，
，
或
又由（1）可知，为与有两个不同交点时，

19、（1）
（2）
【解析】（1）根据抛物线的定义可得，求得，即可得出答案；
（2）设，利用点差法求出直线l的斜率，再利用直线的点斜式方程即可得出答案.
【小问1详解】
解：由抛物线定义可知：，
解得：，
∴C的方程为；
【小问2详解】
解：设，
则，两式作差得，
∴直线l的斜率，
∵为的中点，
∴，∴，
∴直线l的方程为，
即（经检验，所求直线符合条件）.
20、（1）；
（2）.
【解析】（1）分为甲击中且乙没有击中，和乙击中且甲没有击中两种情况，进而根据独立事件概率公式求得答案；
（2）先考虑甲乙都没有击中，进而根据对立事件概率公式和独立事件概率公式求得答案.
【小问1详解】
设甲、乙分别击中目标为事件，，易知，相互独立且，，甲、乙恰好有一人击中的概率为.
【小问2详解】
目标被击中的概率为.
21、（1）
（2）
【解析】（1）设圆的方程为，代入所过的点后可求，从而可求圆的方程.
（2）利用两圆的方程可求公共弦的方程，利用垂径定理可求公共弦的弦长.
【小问1详解】
设圆的方程为，
，
，
所以圆的方程为；
【小问2详解】
由圆的方程和圆的方程可得公共弦的方程为：
，
整理得到：，
到公共弦距离为，
故公共弦的弦长为：.
22、（1）
（2）证明见解析
【解析】（1）根据椭圆离心率公式，结合椭圆的性质进行求解即可；
（2）设出直线CF的方程与椭圆方程联立，根据斜率公式，结合一元二次方程根与系数关系进行求解即可.
【小问1详解】
（1），，∴，，，
∴；
【小问2详解】
设，，则，CF：
联立
∴，∴

【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键.