广东汕头潮阳区2025年高二数学第一学期期末监测试题含解析.doc

广东汕头潮阳区2025年高二数学第一学期期末监测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知定义在上的函数的导函数为，且恒有，则下列不等式一定成立的是（）
A. B.
C. D.
2．函数y＝ln（1﹣x）的图象大致为（ ）
A. B.
C D.
3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中学生中抽取容量为50的样本，则应从高三年级抽取的学生数为（）
A.10 B.15
C.20 D.30
4．不等式的解集为（）
A. B.
C.或 D.或
5．在各项均为正数的等比数列中，若，则（ ）
A.6 B.12
C.56 D.78
6．直线，若的倾斜角为60°，则的斜率为（）
A. B.
C. D.
7．已知等比数列的公比为，则“”是“是递增数列”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8．已知曲线，则“”是“C为双曲线”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
9．某研究所为了研究近几年中国留学生回国人数的情况，对2014至2018年留学生回国人数进行了统计，数据如下表：
年份
2014
2015
2016
2017
2018
年份代码
1
2
3
4
5
留学生回国人数/万
36.5
40.9
43.3
48.1
51.9
根据上述统计数据求得留学生回国人数（单位：万）与年份代码满足的线性回归方程为，利用回归方程预测年留学生回国人数为（ ）
A.63.14万 B.64.72万
C.66.81万 D.66.94万
10．若抛物线上一点到焦点的距离为5，则点的坐标为（）
A. B.
C. D.
11．设，直线，，则“”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
12．如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，，交其准线于点，准线与对称轴交于点，若，且，则此抛物线的方程为（ ）

A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．一支车队有10辆车，某天下午依次出发执行运输任务．第一辆车于14时出发，以后每间隔10分钟发出一辆车．假设所有的司机都连续开车，并都在18时停下来休息．截止到18时，最后一辆车行驶了____小时，如果每辆车行驶的速度都是60km/h，这个车队各辆车行驶路程之和为______千米
14．已知等差数列的公差不为零，若，，成等比数列，则______.
15．已知双曲线：，斜率为的直线与E的左右两支分别交于A，B两点，点P的坐标为，直线AP交E于另一点C，直线BP交E于另一点D．若直线CD的斜率为，则E的离心率为___________

16．同时掷两枚骰子，则点数和为7的概率是__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）同时抛掷两颗骰子，观察向上点数.
（1）试表示 “出现两个1点”这个事件相应的样本空间的子集；
（2）求出现两个1点”的概率；
（3）求“点数之和为7”的概率.
18．（12分）甲乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响
（1）求甲乙各投球一次，比赛结束的概率；
（2）求甲获胜的概率
19．（12分）已知椭圆的下焦点为、上焦点为，其离心率．过焦点且与x轴不垂直的直线l交椭圆于A、B两点
（1）求实数m的值；
（2）求△ABO(O为原点)面积的最大值
20．（12分）已知数列的前n项和为，当时，；数列中，.直线经过点
（1）求数列的通项公式和；
（2）设，求数列的前n项和，并求的最大整数n
21．（12分）新疆长绒棉品质优良，纤维柔长，被世人誉为“棉中极品”，产于我国新疆的吐鲁番盆地、塔里木盆地的阿克苏、喀什等地.棉花的纤维长度是评价棉花质量的重要指标之一，在新疆某地区成熟的长绒棉中随机抽测了一批棉花的纤维长度（单位：mm），将样本数据制成频率分布直方图如下：

（1）求的值；
（2）估计该样本数据的平均数（同一组中的数据用该组数据区间的中点值为代表）；
（3）根据棉花纤维长度将棉花等级划分如下：
纤维长度
小于30mm
大于等于30mm，小于40mm
大于等于40mm
等级
二等品
一等品
特等品
从该地区成熟的棉花中随机抽测两根棉花的纤维长度，用样本的频率估计概率，求至少有一根棉花纤维长度达到特等品的概率.
22．（10分）已知椭圆的左、右顶点坐标分别是，，短轴长等于焦距.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆相交于两点，线段的中点为，求.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】构造函数，用导数判断函数单调性，即可求解.
【详解】根据题意，令，其中，则，
∵，∴，
∴在上为单调递减函数，
∴，即，，则错误；
，即，则错误；
，即，则错误；
，即，则正确；
故选：.
2、C
【解析】根据函数的定义域和特殊点，判断出正确选项.
【详解】由，解得，也即函数的定义域为，由此排除A,B选项.当时，，由此排除D选项.所以正确的为C选项.
故选：C
【点睛】本小题主要考查函数图像识别，属于基础题.
3、C
【解析】根据抽取比例乘以即可求解.
【详解】由题意可得应从高三年级抽取的学生数为，
故选：C.
4、A
【解析】先将分式不等式转化为一元二次不等式，然后求解即可
【详解】由，得，
解得，
所以原不等式的解集为，
故选：A
5、D
【解析】由等比数列的性质直接求得.
【详解】在等比数列中，由等比数列的性质可得：
由，解得：；
由可得：，
所以.
故选：D
6、D
【解析】直线,斜率乘积为，斜线斜率等于倾斜角的正切值.
【详解】,，所以.
故选：D.
7、B
【解析】先分析充分性：假设特殊等比数列即可判断；
再分析充分性，由条件得恒成立，再对和进行分类讨论即可判断.
【详解】先分析充分性：在等比数列中，，所以假设，，
所以，等比数列为递减数列，故充分性不成立；
分析必要性：若等比数列的公比为，且是递增数列，
所以恒成立，即恒成立，
当，时，成立，
当，时，不成立，
当，时，不成立，
当，时，不成立，
当，时，成立，
当，时，不成立，
当，时，不恒成立，
当，时，不恒成立，
所以能使恒成立的只有：，和
，，易知此时成立，所以必要性成立.
故选：B.
8、A
【解析】根据充分必要条件的定义，以及双曲线的标准方程进行判断可得选项
【详解】解：当时，表示双曲线，
当表示双曲线时，则，
所以“”是“C为双曲线”的充分不必要条件.
故选A
9、D
【解析】先求出样本点的中心，代入线性回归方程即可求出，再将代入线性回归方程即可得到结果
【详解】由题意知：，，
所以样本点的中心为，所以，解得：，
可得线性回归方程为，
年对应的年份代码为，令， 则，
所以预测2022年留学生回国人数为66.94万，
故选：D.
10、C
【解析】设，由抛物线的方程可得准线方程为，由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离，求出，解出纵坐标，进而求出
【详解】由题意可得，
解得，
代入抛物线的方程，解得，
所以的坐标，
故选：C.
11、A
【解析】由可求得实数的值，再利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】若，则，解得或，
因此，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
12、B
【解析】根据抛物线定义，结合三角形相似以及已知条件，求得，则问题得解.
【详解】根据题意，过作垂直于准线，垂足为，过作垂直于准线，垂足为，如下所示：

因为，又//，，
则，
故可得，又△△，
则，即，解得，
故抛物线方程为：.
故选：.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、 ①.2.5#### ②.1950
【解析】通过分析，求出最后一辆车的出发时间，从而求出最后一辆车的行驶时间，这10辆车的行驶路程可以看作等差数列，利用等差数列求和公式进行求解.
【详解】因为，所以最后一辆车出发时间为15时30分，则最后一辆车行驶时间为18-15.5=2.5小时，第一辆车行程为km，且从第二辆车开始，每辆车都比前一辆少走km，这10辆车的行驶路程可以看作首项为240，公差为-10的等差数列，则10辆车的行程路程之和为（km）.
故答案为：2.5,1950
14、0
【解析】设等差数列的公差为，，根据，，成等比数列，得到，再根据等差数列的通项公式可得结果.
【详解】设等差数列的公差为，，
因为，，成等比数列，所以，
所以，整理得，
因为，所以，
所以.
故答案为：0.
【点睛】本题考查了等比中项，考查了等差数列通项公式基本量运算，属于基础题.
15、
【解析】分别设线段的中点，线段的中点，再利用点差法可表示出，由平行关系易知三点共线，从而利用斜率相等的关系构造方程，代入整理可得到关系，利用双曲线得到关于的齐次方程，进而求得离心率.
【详解】设，，线段的中点
，两式相减得：
…①
设，，线段的中点
同理可得：…②
，易知三点共线
，将①②代入得：，所以，即，由题意可得
，故 .∴，即

故答案为：
16、
【解析】利用古典概型的概率计算公式即得.
【详解】依题意，记抛掷两颗骰子向上的点数分别为，，则可得到数组共有组，
其中满足的组数共有6组，分别为，，，，，，
因此所求的概率等于.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
（3）
【解析】（1）由题意直接写出基本事件即可得出答案.
（2）样本空间一共有个基本事件,由（1）可得答案.
（3）列出“点数之和为7”的基本事件，从而可得答案.
【小问1详解】
“同时抛掷两颗骰子”的样本空间是{1，2，…，6；1，2，…，6}，其中i、j分别是抛掷第一颗与第二颗骰子所得的点数.
将“出现两个1点”这个事件用A表示，则事件A就是子集.
【小问2详解】
样本空间一共有个基本事件，它们是等可能的，从而“出现两个1点”的概率为.
小问3详解】
将“点数之和为7”这个事件用B表示，则{，，，，，}，事件B共有6个基本事件，
从而“点数之和为7”的概率为.
18、（1）
（2）
【解析】（1）设事件“甲在第次投篮投中”，设事件“乙在第次投篮投中”， 记“甲乙各投球一次，比赛结束”为事件，则，利用独立事件和互斥事件的概率公式，即得解
（2）记“甲获胜”为事件，由题意，根据概率的加法公式和独立事件的概率公式，即得解
【小问1详解】
设事件“甲在第次投篮投中”，其中
设事件“乙在第次投篮投中”，其中
则，，其中
记“甲乙各投球一次，比赛结束”为事件，
，事件与事件相互独立
根据事件独立性定义得：

甲乙各投球一次，比赛结束的概率为
【小问2详解】
记“甲获胜”为事件，

事件、事件、事件彼此互斥
根据概率加法公式和事件独立性定义得：

甲获胜的概率为
19、（1）2；（2）﹒
【解析】(1)根据已知条件得，，结合离心率，即可解得答案
(2)设直线的方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式以及三角形的面积公式，基本不等式即可得出答案
【小问1详解】
由题意可得，，，
∵离心率，
∴，
∵，
∴，解得
【小问2详解】
由(1)知，椭圆，上焦点，
设，，，，直线的方程为：，
联立，得，
∴，，
∴，
∴，
∴
，
当且仅当，即时等号成立，
∴为原点)面积的最大值为
20、（1），
（2），7
【解析】（1）根据之间的递推关系，可写出。，采用和相减得方法，可求得，由题意可推得为等差数列，利用等差数列的通项公式可求得答案；
（2）写出的表达式，利用错位相减法可求得数列的前n项和，进而利用数列的单调性求的最大整数n
【小问1详解】
∵，∴，则，
∴，即，得
又，∴，即，
可得数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，则 ；
∵点在直线上，∴，
∴，即数列是等差数列，
又，∴；
【小问2详解】
∵，∴，
∴，
∴，
两式相减可得：
，∴,
设，
则，
故，是单调递增的
故当时，单调递增的，
当时，；当时，，
故满足的最大整数
21、（1）
（2）
（3）
【解析】（1）由频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1，可求出答案.
（2）根据平均数的公式可得到答案.
（3）先求出一根棉花纤维长度达到特等品的概率，然后分恰好有一根和两根棉花
小问1详解】
由解得
【小问2详解】
该样本数据的平均数为：

【小问3详解】
由题意一根棉花纤维长度达到特等品的概率为：
两根棉花中至少有一根棉花纤维长度达到特等品的概率

22、（1）；（2）.
【解析】（1）由椭圆顶点可知，又短轴长等于焦距可知，求出，即可写出椭圆方程（2）根据“点差法”可求直线的斜率，写出直线方程，联立椭圆方程可得，，代入弦长公式即可求解.
【详解】（1）依题意，解得.
故椭圆方程为.
（2）设的坐标分别为，，直线的斜率显然存在，设斜率为，
则，两式相减得，整理得.
因为线段的中点为，所以，
所以直线的方程为，联立，得，
则，，
故.
【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及简单几何性质，“点差法”，弦长公式，属于中档题.