2025-2026学年山东省蒙阴县第一中学高二数学第一学期期末教学质量检测试题含解析.doc

2025-2026学年山东省蒙阴县第一中学高二数学第一学期期末教学质量检测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线，过原点作一条倾斜角为的直线分别交双曲线左、右两支于、两点，以线段为直径的圆过右焦点，则双曲线的离心率为（）.
A. B.
C. D.
2．已知数列满足，若.则的值是（）
A. B.
C. D.
3．设实数，满足，则的最小值为（）
A.5 B.6
C.7 D.8
4．气象台正南方向的一台风中心，正向北偏东30°方向移动，移动速度为，距台风中心以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地受到台风影响持续时间大约是（ ）
A. B.
C. D.
5．已知等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为，前项和为．若，则（）
A. B.
C. D.
6．若点是函数图象上的动点（其中的自然对数的底数），则到直线的距离最小值为（ ）
A. B.
C. D.
7．若等比数列满足，，则数列的公比为（）
A. B.
C. D.
8．函数，若实数是函数的零点，且，则（）
A. B.
C. D.无法确定
9．如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为（ ）

A.y2＝9x B.y2＝6x
C.y2＝3x D.y2＝x
10．设函数在上可导，则等于（ ）
A. B.
C. D.以上都不对
11．已知抛物线y2= 2px（p> 0）的焦点为F，准线为l，M是抛物线上一点，过点M作MN⊥l于N.若△MNF是边长为2的正三角形，则p=（　　）
A. B.
C.1 D.2
12．已知抛物线，则抛物线的焦点到其准线的距离为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．命题“若，则二元一次不等式表示直线的右上方区域（包含边界）”的条件：_________，结论:_____________，它是_________命题（填“真”或“假”）.
14．已知从某班学生中任选两人参加农场劳动，选中两人都是男生的概率是，选中两人都是女生的概率是，则选中两人中恰有一人是女生的概率为______
15．已知抛物线的准线方程为，则________
16．容积为V圆柱形密封金属饮料罐，它的高与底面半径比值为___________时用料最省.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图四棱锥P - ABCD中，面PDC⊥面ABCD，∠ABC = ∠DCB = ，CD = 2AB = 2BC = 2，△PDC是等边三角形.

（1）设面PAB面PDC = l，证明:l//平面ABCD；
（2）线段PC内是否存在一点E，使面ADE与面ABCD所成角的余弦值为，如果存在，求λ = 的值，如果不存在，请说明理由.
18．（12分）命题p：直线l：与圆C：有公共点，命题q：双曲线的离心率
（1）若p，q均为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若为真，为假，求实数m的取值范围
19．（12分）如图，在正方体中，，分别为棱，的中点

（1）求证：直线平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值
20．（12分）已知数列的前n项和为，满足，
（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）设，为数列的前n项和，
①求；
②若不等式对任意的正整数n恒成立，求实数的取值范围
21．（12分）已知椭圆的一个焦点是，且离心率.

（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的直线交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，求的取值范围.
22．（10分）如图，四棱锥的底面为正方形，底面，设平面与平面的交线为.

（1）证明：；
（2）已知，为直线上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】设双曲线的左焦点为，连接、，求得、，利用双曲线的定义可得出关于、的等式，即可求得双曲线的离心率.
【详解】设双曲线的左焦点为，连接、，如下图所示：

由题意可知，点为的中点，也为的中点，且，
则四边形为矩形，故，由已知可知，
由直角三角形的性质可得，故为等边三角形，故，
所以，，
由双曲线的定义可得，所以，.
故选：A.
2、D
【解析】由，转化为，再由求解.
【详解】因为数列满足，
所以，即，
因为，
所以，
所以，
故选：D
3、A
【解析】作出不等式组的可行域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合的思想求解即可.
【详解】画出约束条件的平面区域，如下图所示：
目标函数可以化为，
函数可以看成由函数平移得到，当直线经过点时，直线的截距最小，
则，
故选：

4、D
【解析】利用余弦定理进行求解即可.
【详解】如图所示：设台风中心为，，小时后到达点处，即，

当时，气象台所在地受到台风影响，
由余弦定理可知：
，于是有：，
解得：，
所以气象台所在地受到台风影响持续时间大约是，
故选：D
5、D
【解析】用基本量表示可得基本量的关系式，从而可得，故可得正确的选项.
【详解】若，则，而，
此时，这与题设不合，
故，故，
故
，
而
，
故，此时不确定，
故选：D.
6、A
【解析】设，，设与平行且与相切的直线与切于，由导数的几何意义可求出点的坐标，则到直线的距离最小值为点到直线的距离，再求解即可.
【详解】解：设，，
设与平行且与相切的直线与切于
所以
所以
则到直线的距离为，
即到直线的距离最小值为，
故选：A
7、D
【解析】设等比数列的公比为，然后由已知条件列方程组求解即可
【详解】设等比数列的公比为，
因为，，
所以，
所以，解得，
故选：D
8、A
【解析】利用函数在递减求解.
【详解】因为函数在递减，
又实数是函数的零点，即，
又因为，
所以，
故选：A
9、C
【解析】过点A，B分别作准线的垂线，交准线于点E，D，设|BF|＝a，利用抛物线的定义和平行线的性质、直角三角形求解
【详解】如图，过点A，B分别作准线的垂线，交准线于点E，D，设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，由抛物线定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因为|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，2|AE|＝|AC|，所以3＋3a＝6，从而得a＝1，|FC|＝3a＝3，所以p＝|FG|＝|FC|＝，因此抛物线的方程为y2＝3x，
故选：C.

10、C
【解析】根据目标式，结合导数的定义即可得结果.
【详解】.
故选：C
11、C
【解析】根据正三角形的性质，结合抛物线的性质进行求解即可.
【详解】如图所示：准线l与横轴的交点为，由抛物线的性质可知：，
因为若△MNF是边长为2的正三角形，所以，，
显然，在直角三角形中，
，
故选：C

12、D
【解析】将抛物线方程化为标准方程，由此确定的值即可.
【详解】由可得抛物线标准方程为：，，
抛物线的焦点到其准线的距离为.
故选：D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、 ①. ②.二元一次不等式表示直线的右上方区域（包含边界） ③.真
【解析】由二元一次不等式的意义可解答问题.
【详解】因为，二元一次不等式所表示的区域如下图所示：

所以在的条件下，二元一次不等式表示直线的右上方区域（包含边界），此命题是真命题.
故答案为：；二元一次不等式表示直线的右上方区域（包含边界）；真
14、
【解析】记“选中两人都是男生”为事件，“选中两人都是女生”为事件，“选中两人中恰有一人是女生”为事件，根据为互斥事件，与为对立事件，从而可求出答案.
【详解】记“选中两人都是男生”为事件，“选中两人都是女生”为事件，“选中两人中恰有一人是女生”为事件，易知为互斥事件，与为对立事件，
又，
所以.
故答案为：.
15、【解析】由准线方程的表达式构建方程，求得答案.
【详解】因为准线方程为，所以
故答案为：4
【点睛】本题考查抛物线中准线的方程表示，属于基础题.
16、
【解析】设圆柱的底面半径为，高为，容积为，由，得到，进而求得表面积，结合不等式，即可求解.
【详解】设圆柱的底面半径为，高为，容积为，则，即有，
可得圆柱的表面积为
，
当且仅当时，即时最小，即用料最省，
此时，可得.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析
（2）存在
【解析】（1）由已知可得∥，再由线面平行的判定可得∥平面，再由线面平行的性质可得∥，再由线面平行的判定可得结论，
（2）由已知条件可证得两两垂直，所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解
【小问1详解】
证明：因为,
所以，所以∥，
因为平面，平面，
所以∥平面，
因为平面，且平面面，
所以∥，
因为平面，平面，
所以∥平面，
【小问2详解】
设的中点为，
因为△PDC是等边三角形，所以，
因为平面PDC⊥平面ABCD，且平面面，
所以平面，
因为平面，
所以，
所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，所以，
假设存在这样的点，由已知得，则，
所以，
因为平面，所以平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，则
，令，则，则
所以，
整理得，解得（舍去），或，
所以

18、（1），；
（2）.
【解析】(1)求出，成立的等价条件，即可求实数的取值范围；
(2)若“”为假命题，“”为真命题，则、一真一假，当真假时，求出的取值范围，当假真时，求出的取值范围，然后取并集即可得答案
【小问1详解】
若命题为真命题，则，解得：，
若命题为真命题，则且，，解得，
∴，均为真命题，实数的取值范围是，；
【小问2详解】
若为真，为假，则、一真一假；
①当真假时，即“”且“或”，则此时的取值范围是；
当假真时，即“或”且“”，则此时的取值范围是；
综上,的取值范围是
19、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】（1）证明，则，可证明，由平面，可得，再由线面垂直的判定定理即可求证；
（2）连结，可知，所以或其补角即为异面直线与所成的角，在中由余弦定理计算的值即可求解.
【小问1详解】
在正方形中，，分别为棱，的中点，
则，，，
所以，则，
所以，
即，
又因为平面，面，所以，
因为，所以平面
【小问2详解】
连结，，可知，
所以或其补角即为异面直线与所成的角，
令，则，，，
在中，由余弦定理可得：，
故异面直线与所成角的余弦值为.

20、（1）证明见解析，
（2）①；②
【解析】（1）由得到，即可得到，从而得证，即可求出的通项公式，从而得到的通项公式；
（2）①由（1）可得，再利用错位相减法求和即可；
②利用作差法证明的单调性，即可得到，即可得到，再解一元二次不等式即可；
【小问1详解】
证明：由，，当时，可得，解得，
当时，，
又，两式相减得，
所以，所以，即，
则数列是首项为，公比为的等比数列；
所以，所以
【小问2详解】
解：①由（1）可得，所以，所以，所以，所以
整理得
②由①知，所以，即单调递增，所以，因为不等式对任意的正整数n恒成立，所以，即，解得或，即
21、（1）
（2）
【解析】（1）由条件可得，，然后可得答案；
（2）设直线的方程为，，联立直线与椭圆的方程消元，然后算出中点的坐标，然后可得线段的垂直平分线方程，然后可得，然后可求出答案.
【小问1详解】
因为椭圆的一个焦点是，且离心率
所以，，所以
所以椭圆的方程为
【小问2详解】
显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，
联立可得，所以
所以中点的纵坐标为，横坐标为
所以线段的垂直平分线方程为
令，可得
当时，
当时，，因为，所以
综上：
22、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）由可证得平面，根据线面平行的性质可证得结论；
（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，利用线面角的向量求法可表示出，分别在、和三种情况下，结合基本不等式求得所求最大值.
【小问1详解】
四边形为正方形，，又平面，平面，
平面，又平面，平面平面，
.
【小问2详解】
以为坐标原点，为轴可建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，
由（1）知：，则可设，，，，
设平面的法向量，
则，令，则，，，
设直线与平面所成角为，
；
当时，；
当时，（当且仅当，即时取等号）；
当时，；
综上所述：直线与平面所成角正弦值的最大值为.