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-,*,-,3.2,.,2,抛物线简单性质,1/31,2/31,抛物线简单性质,3/31,4/31,【做一做,1,】,抛物线,y=,4,x,2,焦点到准线距离是,(,),答案,:,C,【做一做,2,】,等腰直角三角形,ABO,内接于抛物线,y,2,=,2,px,(,p,0),O,为抛物线顶点,OA,OB,则,ABO,面积是,(,),A,.,8,p,2,B,.,4,p,2,C,.,2,p,2,D,.p,2,答案,:,B,5/31,思索辨析,判断以下说法是否正确,正确在后面括号内打,“,”,错误打,“,”,.,(1),抛物线既是轴对称图形也是中心对称图形,.,(,),(2),抛物线顶点一定在过焦点且与准线垂直直线上,.,(,),(3),直线与抛物线相交时,直线与抛物线不一定有两个公共点,.,(,),6/31,探究一,探究二,探究三,思维辨析,直线与抛物线位置关系,【例,1,】,已知抛物线方程为,y,2,=,4,x,直线,l,过定点,P,(,-,2,1),斜率为,k.,当,k,为何值时,直线,l,与抛物线,:,只有一个公共点,;,有两个公共点,;,没有公共点,?,思维点拨,:,用解析法处理这个问题,只要讨论直线,l,方程与抛物线方程组成方程组解情况,由方程组解情况判断直线,l,与抛物线位置关系,.,解,:,由题意,设直线,l,方程为,y-,1,=k,(,x+,2),.,得,ky,2,-,4,y+,4(2,k+,1),=,0,.,7/31,探究一,探究二,探究三,思维辨析,(2),当,k,0,时,方程,判别式为,=-,16(2,k,2,+k-,1),.,1,由,=,0,即,2,k,2,+k-,1,=,0,从而方程组,(,*,),只有一个解,.,这时,直线,l,与抛物线只有一个公共点,.,8/31,探究一,探究二,探究三,思维辨析,于是,当,k,时,方程,没有实数解,从而方程组,(,*,),没有解,.,这时,直线,l,与抛物线没有公共点,.,综上,我们可得,反思感悟,处理直线与圆锥曲线交点问题时,主要方法是构建一元二次方程,判断其解个数,确定斜率或直线倾斜角时,应尤其注意斜率为,0,和斜率不存在两种情形,还应注意在抛物线中,直线和曲线有一个公共点并不一定相切,.,9/31,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练,1,如图,已知抛物线,y,2,=-x,与直线,y=k,(,x+,1)(,k,0),相交于,A,B,两点,且直线与,x,轴交于点,N.,(1),求证,:,OA,OB,;,(2),当,OAB,面积等于,时,求,k,值,.,思维点拨,:,利用根与系数关系、弦长公式或应用向量解题,.,10/31,探究一,探究二,探究三,思维辨析,11/31,探究一,探究二,探究三,思维辨析,求抛物线方程,【例,2,】,已知抛物线顶点在坐标原点,对称轴为,x,轴,且与圆,x,2,+y,2,=,4,相交公共弦长等于,2 ,求这条抛物线方程,.,思维点拨,:,因为圆和抛物线都关于,x,轴对称,所以它们交点也关于,x,轴对称,即公共弦被,x,轴垂直平分,于是由弦长等于,2 ,可知交点纵坐标为,.,12/31,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解,:,设所求抛物线方程为,y,2,=,2,px,或,y,2,=-,2,px,p,0,.,设交点,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,)(,y,1,0,y,2,0),则经过焦点且倾斜角为,135,直线方程为,y=-x+p.,设直线交抛物线于点,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),则由抛物线定义,又点,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),是抛物线和直线交点,14/31,探究一,探究二,探究三,思维辨析,x,1,+x,2,=,3,p.,将其代入,得,p=,2,.,所求抛物线方程为,y,2,=,4,x.,当抛物线方程设为,y,2,=-,2,px,时,同理可求得抛物线方程为,y,2,=-,4,x.,15/31,探究一,探究二,探究三,思维辨析,与抛物线相关最值问题,【例,3,】,如图所表示,已知直线,l,:,y=,2,x-,4,交抛物线,y,2,=,4,x,于,A,B,两点,试在抛物线,AOB,这段曲线上求一点,P,使,PAB,面积最大,并求出这个最大面积,.,思维点拨,:,经过联立方程组求得,A,B,坐标,从而可得,|AB|,大小,;,设出,P,点坐标,利用点到直线距离公式表示出,AB,边上高,从而表示出,PAB,面积,;,考虑,P,点坐标变量范围求得目标函数最大值即可,.,16/31,探究一,探究二,探究三,思维辨析,设,P,(,x,0,y,0,),为抛物线,AOB,这段曲线上一点,d,为,P,点到直线,AB,距离,17/31,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟,处理本题关键是弦,AB,为定值,将点,P,到直线,AB,距离最值转化为二次函数问题求解,.,在应用配方法求最值时,一定要注意自变量取值范围,.,18/31,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练,3,在抛物线,y,2,=,2,x,上求一点,P,使,P,到直线,x-y+,3,=,0,距离最短,并求出距离最小值,.,解,:,(,方法一,),设,P,(,x,0,y,0,),是,y,2,=,2,x,上任一点,19/31,探究一,探究二,探究三,思维辨析,(,方法二,),设与抛物线相切且与直线,x-y+,3,=,0,平行直线方程为,x-y+m=,0,20/31,探究一,探究二,探究三,思维辨析,因忽略斜率不存在及二次项系数而致误,【典例】,求过点,P,(0,1),且与抛物线,y,2,=,2,x,只有一个公共点直线方程,.,易错分析,:,当直线与抛物线对称轴平行时,直线与抛物线只有一个公共点,.,另外,设直线方程时要讨论斜率是否存在,.,解,:,(1),若直线斜率不存在,则过点,P,(0,1),直线方程为,x=,0,.,直线,x=,0,与抛物线只有一个公共点,.,21/31,探究一,探究二,探究三,思维辨析,(2),若直线斜率存在,设为,k,则过点,P,直线方程为,y=kx+,1,.,22/31,探究一,探究二,探究三,思维辨析,纠错心得,错误之一是遗漏直线斜率不存在情况,仅考虑斜率存在直线,.,错误之二是方程组消元后方程,k,2,x,2,+,2(,k-,1),x+,1,=,0,被认定为二次方程,因而由直线与抛物线只有一个公共点,得出,=,0,.,实际上方程二次项系数为含字母,k,2,方程不一定是二次方程,.,当,k=,0,时,方程是一次方程,-,2,x+,1,=,0,此时方程组只有一解,.,23/31,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练,设抛物线,y,2,=,8,x,准线与,x,轴交于点,Q,若过点,Q,直线,l,与抛物线有公共点,则直线,l,斜率取值范围是,(,),解析,:,设直线方程为,y=k,(,x+,2),与抛物线联立方程组整理得,ky,2,-,8,y+,16,k=,0,.,当,k=,0,时,直线与抛物线有一个交点,;,当,k,0,时,由,=,64,-,64,k,2,0,解得,-,1,k,1,所以,-,1,k,1,.,答案,:,C,24/31,1 2 3 4 5,1,.,抛物线顶点在原点,焦点在,x,轴上,其通径两端与顶点连成三角形面积为,4,则此抛物线方程是,(,),答案,:,B,25/31,1 2 3 4 5,2,.,已知,A,B,是抛物线,y,2,=,2,px,(,p,0),上两点,O,为原点,若,|OA|=|OB|,且,AOB,垂心恰是此抛物线焦点,则,A,B,两点所在直线方程为,(,),解析,:,因为,|OA|=|OB|,所以,A,B,两点关于,x,轴对称,设,A,B,两点坐标分别为,(,x,0,y,0,),(,x,0,-y,0,)(,x,0,0),.,因为,AOB,垂心是焦点,焦点坐标为,答案,:,D,26/31,1 2 3 4 5,3,.,已知抛物线,y,2,=,2,px,(,p,0),过其焦点且斜率为,1,直线交抛物线于,A,B,两点,若线段,AB,中点纵坐标为,2,则该抛物线准线方程为,.,由线段,AB,中点纵坐标为,2,得,y,1,+y,2,=,2,p=,4,.,所以,p=,2,故准线方程为,x=-,1,.,答案,:,x=-,1,27/31,1 2 3 4 5,4,.,如图所表示,过抛物线,y,2,=,4,x,焦点,F,作倾斜角为,60,直线与抛物线交于,A,B,两点,设,AB,中点为,M,则,|FM|=,.,28/31,1 2 3 4 5,29/31,1 2 3 4 5,5,.,求抛物线,y=-x,2,上点到直线,4,x+,3,y-,8,=,0,最小距离,.,解,:,(,方法一,),设,A,(,t,-t,2,),为抛物线上点,30/31,1 2 3 4 5,(,方法二,),如图,设与直线,4,x+,3,y-,8,=,0,平行抛物线切线方程为,31/31,
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