资源描述
2024 学年第一学期学业水平抽测八年级数学（试卷）
2024 年 10 月
本试卷共三大题 25 小题，共 6 页，满分 120 分．考试时间 120 分钟，不能使用计算器．
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．）
1. 新能源、绿色能源将成为产业发展的新趋势，下列新能源环保图标中，图案是轴对称图形的是（ ）
A B.
C. D.
2. 在下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ）
第 6页，共 7页
A. 1cm，2cm，4cm
C. 3cm，5cm，8cm
B. 2cm，3cm，4cm
D. 8cm，4cm，4cm
3. 已知△ABC≌△DCB ，若 BC = 10 ， AB = 6 ， AC = 7 ，则CD = （ ）
A. 6 B. 7 C. 10 D. 无法确定
4. 如图，小明做了一个长方形框架，发现很容易变形，请你帮他选择一个最好的加固方案( )
A. B. C. D.
5. 一副含30° 角和 45°角的直角三角板如图摆放，则Ð1 的度数为（ ）
A. 60° B. 65° C. 75° D. 70°
6. 如图，在VABC 和VABC 中，已知ÐCAB = ÐDAB ，要使VABC≌VABD ，添加下列的一个选项后， 仍然不能证明是（ ）
A. BC = BD
B. AC = AD
C. ÐC = ÐD
D. ÐCBE = ÐDBE
7. 如图， BO 平分ÐABC ， CO 平分ÐACB ， MN ∥ BC ， MB = 7 ， NC = 9 ，则 MN 的长为（ ）
A. 2 B. 7 C. 9 D. 16
8. 如图，在V ABC 中， AB = AC ，点 D 在 AC 上，且 BD = BC = AD ，则ÐDBC 的度数是（ ）
A. 30° B. 36° C. 45° D. 54°
9. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB 于点 E，S△ABC=10，DE=2，AB=4， 则 AC 长是
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
10. 如图，△ABC 和△ADE 是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，BD，CE 交于点 F，连接 AF．则下列结论不正确的是（ ）
A. BD＝CE B. BD⊥CE C. AF 平分∠CAD D. ∠AFE＝45°
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．）
11. 在平面直角坐标系中，点 P (2, 4) 关于 x 轴的对称点的坐标是 ．
12. 下图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中 AB 、CD 分别表示一楼、二楼地面的水平线，
ÐABC = 150° ， BC 的长是8m ，则乘电梯时点 B 到点C 上升的高度h 是 m．
13. 等腰三角形的一个外角是110° ，则它的顶角的度数是 ．
14. 如图，将三角形纸片 ABC 沿直线 DE 折叠后，使得点 B 与点 A 重合，折痕分别交 BC ， AB 于点 D， E．如果 AC = 5cm ， △ADC 的周长为17cm ，那么 BC 的长为 cm ．
15. 如图，在V ABC 中， ÐBAC = 45° ，高 AD ， CE 交于点 H．若 AB = 19 ， CE = 12 ，则CH = ．
16. 如图，在长方形 ABCD 的对角线 AC 上有一动点 E ，连接 DE ，过点 E 作 EF ^ DE 交射线 BC 于点 F ，
ÐACB = 30° ，当VEFC 为等腰三角形时， ÐEDC 的度数是 ．
三、解答题（本大题共 9 题，共 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 一个多边形的内角和比它的外角和的 3 倍少180° ，求这个多边形的边数．
18. 如图，正方形网格的每个小正方形的边长为 1． V ABC 的三个顶点均在格点上．
（1） 画出V ABC 关于直线 MN 对称的△A1B1C1 ；
（2） 在直线 MN 上找一点 P ，使 PA + PC 的值最小．
19. 如图，点A 、 D 、C 、 B 在同一条直线上， AD = BC ， AE = BF ， AE ∥ BF ，求证： CE = DF ．
20. 如图， Rt△ABC 中， ÐACB = 90°, CD ^ AB 于 D．
（1） 尺规作图：作ÐCAB 的角平分线，交CD 于点 P，交 BC 于点 Q（保留作图痕迹，不写做法）；
（2） 若ÐABC = 54°，求ÐCPQ 的度数．
21. 如图，在等边V ABC 中，点 D 在边 BC 上，过点 D 作 DE ∥ AB 交 AC 于点 E，过点 E 作 EF ^ DE ， 交 BC 的延长线于点 F．
（1） 求ÐF 的度数；
（2） 求证： DC = CF ．
22. 如图，在V ABC 中， CA = CB ， ÐACB = 90° ，直线l 过顶点C ，过 A、B 分别作直线l 的垂线，垂足分别为 E、F ．
（1） 求证： EF = BF - AE ；
（2） 若 BF = 3AE ， EF = 4 ，直接写出△BFC 的面积．
23. 已知：如图，ÐBAC 的角平分线与 BC 的垂直平分线 DG 交于点 D ， DE ^AB ， DF ^AC ，垂足 分别为 E ， F ．
（1） 求证： BE = CF ；
（2） 若 AF = 8 ， BC = 10 ，求V ABC 的周长．
24. 问题提出：
(1) 我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．如图 1， V ABC 中， AC = 7 ， BC = 9 ，
AB = 10 ，P 为 AC 上一点，当 AP = 时， V ABP 与VCBP 是偏等积三角形；
问题探究：
(2) 如图 2，△ABD 与V ACD 是偏等积三角形， AB = 2 ， AC = 6 ，且线段 AD 的长度为正整数，则 AD 的长度为 ；
问题解决：
(3) 如图 3，四边形 ABED 是一片绿色花园， CA = CB ， CD = CE ，
ÐACB = ÐDCE = 90°(0° < ÐBCE < 90°) ． V ACD 与VBCE 是偏等积三角形吗？请说明理由． 问题拓展：
(4) 如图 4，将V ABC 分别以 AB ， BC ， AC 为边向外作正方形 ABDE ，正方形 BCFG ，正方形 ACMN ， 连接 DG ， FM ， NE ，则图中有 组偏等积三角形．
25. 如图，CN 是等边V ABC 的外角ÐACM 内部的一条射线，点A 关于CN 的对称点为 D ，连接 AD ，BD ，
CD ，其中 AD ， BD 分别交射线CN 于点 E 、 P ．
（1） 依题意补全图形；
（2） 若ÐACN = a ，求ÐBDC 的大小（用含 a 的式子表示）；
（3） 用等式表示线段 PB ， PC 与 PE 之间的数量关系，并证明．
2024 学年第一学期学业水平抽测八年级数学（试卷）
2024 年 10 月
本试卷共三大题 25 小题，共 6 页，满分 120 分．考试时间 120 分钟，不能使用计算器．
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．）
1. 新能源、绿色能源将成为产业发展的新趋势，下列新能源环保图标中，图案是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用轴对称图形的定义进行判断．如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互 相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解： A、C、D 选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B 选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿该条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选∶B．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念，熟记轴对称图形的定义是解题的关键．
2. 在下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ）
第 16页，共 26页
A. 1cm，2cm，4cm
C. 3cm，5cm，8cm
【答案】B
【解析】
B. 2cm，3cm，4cm
D. 8cm，4cm，4cm
【分析】根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，逐个判断即可．
【详解】解： A ．1+ 2 < 4 ，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
B ． 2 + 3 > 4 ，能组成三角形，故此选项符合题意；
C ． 3 + 5 = 8 ，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
D ． 4 + 4 = 8 ，不能组成三角形，故此选项不符合题意； 故选： B ．
【点睛】本题主要考查三角形三边关系，理解并掌握三角形三边的关系是解题的关键．
3. 已知△ABC≌△DCB ，若 BC = 10 ， AB = 6 ， AC = 7 ，则CD = （ ）
A. 6 B. 7 C. 10 D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等解答即可．
【详解】解：∵△ABC≌△DCB ， AB = 6 ，
∴ CD = AB = 6 ． 故选：A．
4. 如图，小明做了一个长方形框架，发现很容易变形，请你帮他选择一个最好的加固方案( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形具有稳定性，可在框架里加根木条，构成三角形的形状．
【详解】因为三角形具有稳定性，只有 B 构成了三角形的结构． 故选 B．
【点睛】本题考查三角形的稳定性在实际生活中的应用问题．
5. 一副含30° 角和 45°角的直角三角板如图摆放，则Ð1 的度数为（ ）
A. 60° B. 65° C. 75° D. 70°
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质．根据三角形外角的性质，可得Ð4 + Ð3 = 30° + 45° = 75°即可．
【详解】解：如图，
根据题意得： Ð4 = 30°， Ð3 = Ð2 = 45° ，
∴ Ð4 + Ð3 = 30° + 45° = 75°． 故选：C
6. 如图，在VABC 和VABC 中，已知ÐCAB = ÐDAB ，要使VABC≌VABD ，添加下列的一个选项后，
仍然不能证明是（ ）
A. BC = BD
【答案】A
B. AC = AD
C. ÐC = ÐD
D. ÐCBE = ÐDBE
【解析】
【分析】此题考查了全等三角形的判定，添加 BC = BD ，不能判定两三角形全等；添加 AC = AD ，利用SAS 即可得到两三角形全等；添加ÐC = ÐD ，利用 AAS 即可得到两三角形全等，添加ÐCBE = ÐDBE ， 利用ASA 即可得到两三角形全等．
【详解】解： ÐCAB = ÐDAB, AB = AB ，
A、添加 BC = BD ， SSA 不能判定两三角形全等，故此选项符合题意；
B、添加 AC = AD ，利用SAS 即可得到两三角形全等，故此选项不符合题意；
C、添加ÐC = ÐD ，利用AAS 即可得到两三角形全等，故此选项不符合题意；
D、添加ÐCBE = ÐDBE 可以得到ÐCBA = ÐDBA ，利用ASA 即可得到两三角形全等，故此选项不符合题意．
故选：A．
7. 如图， BO 平分ÐABC ， CO 平分ÐACB ， MN ∥ BC ， MB = 7 ， NC = 9 ，则 MN 的长为（ ）
A. 2 B. 7 C. 9 D. 16
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定以及平行线的性质，角平分线的性质，掌握平行线的性质以及等腰 三角形的判定是解题的关键．
根据 BO 平分ÐABC ，CO 平分ÐACB ，可得ÐMBO = ÐOBC ，ÐNCO = BCO ，进而得到 MO = MB ，
NO = NC ，即可求解；
【详解】解：Q BO 平分ÐABC ，
\ÐMBO = ÐOBC ，
Q MN P BC ，
\ÐMOB = ÐOBC ，
\ÐMBO = ÐMOB ，
\ MO = MB = 7 ，
Q CO 平分ÐACB ，
\ÐNCO = BCO ，
Q MN P BC ，
ÐNOC = ÐOCB ，
\ÐNOC = ÐNCO ，
\ NO = NC = 9 ，
\ MN = MO + NO = 7 + 9 = 16 ．
8. 如图，在V ABC 中， AB = AC ，点 D 在 AC 上，且 BD = BC
= AD ，则ÐDBC 的度数是（ ）
A. 30° B. 36° C. 45° D. 54°
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了等腰三角形的性质，由已知条件开始，通过线段相等，得到角相等，再由三角形内角 和求出各个角的大小．
【详解】解：设ÐA = x° ．
Q BD = AD ，
\ÐA = ÐABD = x° ，
ÐBDC = ÐA + ÐABD = 2x° ，
Q BD = BC ，
\ÐBDC = ÐBCD = 2x°，
Q AB = AC ，
\ÐABC = ÐBCD = 2x° ，
在V ABC 中 x + 2x + 2x = 180 ， 解得： x = 36 ，
\ÐC = ÐBDC = 72°，
\ÐDBC = 36° ， 故选：B．
9. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB 于点 E，S△ABC=10，DE=2，AB=4， 则 AC 长是
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】根据角平分线性质求出 DF ，根据三角形面积公式求出DABD 的面积，求出DADC 面积，即可求出答案．
【详解】解：过 D 作 DF ^AC 于 F ，
Q AD 是DABC 的角平分线， DE ^AB ，
\ DE = DF = 2 ，
Q SDADB
= 1 AB ´ DE = 1 ´ 4´ 2 = 4 ，
2 2
QDABC 的面积为 10，
\DADC 的面积为10 - 4 = 6 ，
\ 1 AC ´ DF = 6 ，
2
\ 1 AC ´ 2 = 6 ，
2
\ AC = 6
故选：D．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，解题的关键是熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
10. 如图，△ABC 和△ADE 是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，BD，CE 交于点 F，连接 AF．则下列结论不正确的是（ ）
A. BD＝CE B. BD⊥CE C. AF 平分∠CAD D. ∠AFE＝45°
【答案】C
【解析】
【分析】作 AM⊥BD 于 M，AN⊥EC 于 N，设 AD 交 EF 于 O．证明△BAD≌△CAE，利用全等三角形的性质一一判断即可．
【详解】解：如图，作 AM⊥BD 于 M，AN⊥EC 于 N，设 AD 交 EF 于 O．
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD 与△CAE 中，
ì AB = AC
í
ïÐBAD = ÐCAE ，
î
ï AD = AE
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴EC＝BD，∠BDA＝∠AEC，故 A 正确，
∵∠DOF＝∠AOE，
∴∠DFO＝∠EAO＝90°，
∴BD⊥EC，故 B 正确，
∵△BAD≌△CAE，AM⊥BD，AN⊥EC，
∴AM＝AN，
∴FA 平分∠EFB，
∴∠AFE＝45°，故 D 正确，
若 C 成立，则∠EAF＝∠BAF，
∵∠AFE＝∠AFB，
∴∠AEF＝∠ABD＝∠ADB，推出 AB＝AD，由题意知，AB 不一定等于 AD， 所以 AF 不一定平分∠CAD，故 C 错误，
故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学 知识解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．）
11. 在平面直角坐标系中，点 P (2, 4) 关于 x 轴的对称点的坐标是 ．
【答案】(2, -4)
【解析】
【分析】此题主要考查了关于 x 轴对称的点的坐标规律，解题的关键是熟记规律的变化特点． 根据关于 x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求解．
【详解】解：点 P (2, 4) 关于 x 轴对称点的坐标是(2, -4) ，
故答案为： (2, -4) ．
12. 下图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中 AB 、CD 分别表示一楼、二楼地面的水平线，
ÐABC = 150° ， BC 的长是8m ，则乘电梯时点 B 到点C 上升的高度h 是 m．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了含30° 角的直角三角形的性质．作CE ^AB 交 AB 的延长线于 E ，则ÐCEB = 90° ， 求出ÐCBE = 180° - ÐABC = 30° ，再由含30° 角的直角三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：如图，作CE ^AB 交 AB 的延长线于 E ，则ÐCEB = 90° ，
，
∵ ÐABC = 150° ，
∴ ÐCBE = 180° - ÐABC = 30° ，
∵ BC 的长是8m ，
1
∴ CE =
BC = 4m ，即 h = 4m ，
2
故答案为：4．
13. 等腰三角形的一个外角是110° ，则它的顶角的度数是 ．
【答案】70° 或40°
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形，分两种情况：顶角的外角是110° 和底角的外角是110° ，利用外角的定义、等腰三角形的定义及三角形内角和定理分别计算即可．
【详解】解：分两种情况：
（1）当顶角的外角是110° 时，顶角的度数为：180° -110° = 70°；
（2）当底角的外角是110° 时，底角的度数为：180° -110° = 70°， 顶角的度数是：180° - 2 ´ 70° = 40° ，
故答案为： 70° 或 40°．
14. 如图，将三角形纸片 ABC 沿直线 DE 折叠后，使得点 B 与点 A 重合，折痕分别交 BC ， AB 于点 D， E．如果 AC = 5cm ， △ADC 的周长为17cm ，那么 BC 的长为 cm ．
【答案】12
【解析】
【分析】本题考查了翻折变换的性质，根据题意得出 AD = BD 是解题的关键．利用翻折变换的性质得出
AD = BD ，进而利用 AD + CD = BC 得出即可．
【详解】解：∵将V ABC 沿直线 DE 折叠后，使得点 B 与点 A 重合，
∴ AD = BD ．
∵ AC = 5cm ， △ADC 的周长为17cm ，
∴ AD + CD = BC = 17 - 5 = 12(cm) ． 故答案为 12．
15. 如图，在V ABC 中， ÐBAC = 45° ，高 AD ， CE 交于点 H．若 AB = 19 ， CE = 12 ，则CH = ．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定、全等三角形对应边相等的性质．先由已知得到CE = AE ，即可证明VBCE≌VHAE ，即可求得 BE = EH 继而可得答案．解决本题的根据是证明VBCE≌VHAE ．
【详解】解：QÐBAC = 45°， CE ^AB ，
\CE = AE = 12 ，
Q ÐBCE + ÐCHD = 90° ， ÐEAH + ÐAHF = 90° ， ÐAHE = ÐCHD ，
\ÐBCE = ÐEAH ，
在VBCE 和△HAE 中，
ìÐBCE = ÐHAE
ï
íCE = AE ，
î
ïÐCEB = ÐAEH
\△BCE≌△HAE(ASA) ，
\ BE = EH ，
Q BE + AE = AB = 19 ，
\ BE = EH = AB - AE = 7 ，
\ CH = CE - HE = 12 - 7 = 5 ， 故答案为：5．
16. 如图，在长方形 ABCD 的对角线 AC 上有一动点 E ，连接 DE ，过点 E 作 EF ^ DE 交射线 BC 于点 F ，
ÐACB = 30° ，当VEFC 为等腰三角形时， ÐEDC 的度数是 ．
第 18页，共 26页
【答案】15° 或60°
【解析】
【分析】根据题意，找到临界状态，在临界状态上下，分两种情况讨论：① VCDE 是等边三角形，
ÐEDC = 60° ；② VCDE 是一般， ÐEDC = 15° ；从而得到答案．
【详解】解：根据题意，若 DE ^AC ，如图所示：
此时C 与 F 重合， VEFC 不存在，以此为临界状态，分两种情况讨论：
①如图所示：
Q VEFC 为等腰三角形， ÐACB = 30° ，
\ÐFEC = ÐABC = 30°，
在长方形 ABCD 中， ÐBCD = 90°， ÐACB = 30° ，则ÐACD = 60° ，
Q EF ^ DE ， ÐFEC = 30° ，
\ÐDEC = 60° ，
\VCDE 是等边三角形，即ÐEDC = 60° ；
②如图所示：
Q VEFC 为等腰三角形，
\ÐCEF = ÐCFE ，
Q ÐACB = 30° ，是VEFC 的一个外角，
\ÐABC = 30° = 2ÐFEC ，即ÐFEC = 15° ，
在长方形 ABCD 中， ÐBCD =90Ð，°ACB =30 °，则ÐACD =60 °，
QEF ^DE ， ÐFEC =15 °，
Ð\DEC =105°，
在VCDE 中，利用三角形内角和定理可知：
ÐEDC =180Ð - °DEC Ð -DCE
=180- °105 - °60°
=180- °165°
=15°；
综上所述， ÐEDC 的度数是15 °或60°， 故答案为：15°或60 °．
【点睛】本题考查矩形中求角度问题，涉及等腰三角形性质、长方形性质、等边三角形的判定与性质、三角 形外角性质、三角形内角和定理等，读懂题意，找到临界状态，作出图形，分类讨论是解决问题的关键． 三、解答题（本大题共 9 题，共 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 一个多边形的内角和比它的外角和的 3 倍少180 °，求这个多边形的边数．
【答案】7
【解析】
【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是360 °，与边数无关．多边形的外角和是360 °，根据多边形的内角和比它的外角和的 3 倍少180 °，即可得到多边形的内角和的度数．根据多边形的内角和定理即可求得多边形的边数．
【详解】解：设这个多边形的边数是 n，依题意得,
(n -2´)180 = °3´360- °180 °，
n =7 ．
∴这个多边形的边数是 7．
18. 如图，正方形网格的每个小正方形的边长为 1． V ABC 的三个顶点均在格点上．
第 12页，共 26页
（1） 画出V ABC 关于直线 MN 对称的△A1B1C1 ；
（2） 在直线 MN 上找一点 P ，使 PA + PC 的值最小．
【答案】（1）画图见解析
（2）画图见解析
【解析】
【分析】本题考查的是画轴对称图形，轴对称的性质的应用，熟练的画图是解本题的关键；
（1） 分别确定 A, B,C 关于 MN 的对称点 A1 , B1 , C1 ，再顺次连接即可；
（2） 连接 A1C 交 MN 于 P ，则 P 即为所求；
【小问 1 详解】
解：如图， △A1B1C1 即为所求；
【小问 2 详解】
解：如图，连接 A1C 交 MN 于 P ，则 P 即为所求；
第 26页，共 26页
19. 如图，点A 、 D 、C 、 B 在同一条直线上， AD = BC ， AE = BF ， AE ∥ BF ，求证： CE = DF ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是
解题的关键；
根 据 AD + DC = BC + DC
， 可 得 AC = BD ， 根 据 AE ∥ BF
， 得 出 ÐB = ÐA
， 即 可 证 明
△AEC ≌△BFD ，进而得出CE = DF ．
【详解】证明：Q AD = BC ，
\ AD + DC = BC + DC ，
\ AC = BD
Q AE ∥ BF ，
\ÐB = ÐA ，
Q AE = BF ，
\△AEC≌△BFD (SAS) ，
\CE = DF ．
20. 如图， Rt△ABC 中， ÐACB = 90°, CD ^ AB 于 D．
（1） 尺规作图：作ÐCAB 的角平分线，交CD 于点 P，交 BC 于点 Q（保留作图痕迹，不写做法）；
（2） 若ÐABC = 54°，求ÐCPQ 的度数．
【答案】（1）见解析 （2）72°
【解析】
【分析】（1）以点 A 为圆心，适当长为半径画弧，交 AC、AB 于一点，然后再以这两点为圆心，大于这两点距离的一半为半径画弧，交于一点，进而连接这个点和 A 点，交 CD 于点 P，BC 于点 Q，则问题可求解；
（2）由题意易得ÐCAB = 36° ， ÐCAQ = 1 ÐCAB = 18° ，然后可得ÐACD = 54°，进而问题可求解．
2
【小问 1 详解】解：如图
【小问 2 详解】
解：QÐACB = 90° ÐABC = 54° ，
\ÐCAB = 36° ，
又Q AQ 平分ÐCAB ，
\ÐCAQ = 1 ÐCAB = 18° ，
2
又QCD ^ AB ，
\ÐADC = 90° ，
\ÐACD = 54° ，
\ÐCPQ = ÐCAQ + ÐACD = 72° ．
【点睛】本题主要考查直角三角形的性质及角平分线的尺规作图，熟练掌握直角三角形的性质及角平分线 的尺规作图是解题的关键．
21. 如图，在等边V ABC 中，点 D 在边 BC 上，过点 D 作 DE ∥ AB 交 AC 于点 E，过点 E 作 EF ^ DE ，
交 BC 的延长线于点 F．
（1） 求ÐF 的度数；
（2） 求证： DC = CF ．
【答案】（1） 30° ；
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关 键是熟练掌握基本知识：
（1） 由平行线的性质求出ÐEDC ，再由三角形的内角和定理解决问题即可.
（2） 证VDEC 是等边三角形，得CE = CD ，再证ÐCEF = ÐF = 30° ，得 EC = CF ，即可得出结论.
【小问 1 详解】
解：∵V ABC 是等边三角形，
∴ÐB=60°，
∵ DE ∥ AB ，
∴ ÐB = ÐEDC = 60° ，
∵ DE ^ EF ，
∴ ÐDEF = 90° ，
∴ ÐF = 90° - ÐEDF = 90° - 60° = 30°；
【小问 2 详解】
证明：∵V ABC 是等边三角形，
∴ ÐB = ÐACB = 60° ，
∵ DE ∥ AB ，
∴ ÐB = ÐEDC = 60° ，
∴ ÐEDC = ÐECD = ÐDEC = 60° ，
∴ VDEC 是等边三角形，
∴ CE = CD ，
∵ � ECD � F
行CEF，
F = 30 ，
∴ ÐCEF = ÐF = 30° ，
∴ EC = CF ，
∴ CD = CF ．
22. 如图，在V ABC 中， CA = CB ， ÐACB = 90° ，直线l 过顶点C ，过 A、B 分别作直线l 的垂线，垂足分别为 E、F ．
（1） 求证： EF = BF - AE ；
（2） 若 BF = 3AE ， EF = 4 ，直接写出△BFC 的面积．
【答案】（1）证明过程见详解
（2） VBFC 的面积为6
【解析】
【分析】本题主要考查垂直的性质，全等三角形的判定和性质，
（1） 根据垂直的性质可得ÐACE = ÐCBF ，由此可证VACE≌VCBF ( AAS ) ，可得 AE = CF，CE = BF ，由 EF = CE - CF 即可求证；
（2） 由（1）的结论代入计算可得 AE = 2 = CF，BF = 3AE = 6 ，根据三角形的面积计算公式即可求解．
【小问 1 详解】
证明：∵ ÐACB = 90° ，
∴ ÐACE + ÐBCF = 90°，
∵ BF ^ l ， AE ^ l ，
∴ ÐBFC = ÐAEC = 90° ，
∴ ÐBCF + ÐCBF = 90° ，
∴ ÐACE = ÐCBF ， 在VACE，VCBF 中，
ìÐACE = ÐCBF
í
ïÐAEC = ÐCFB = 90° ，
î
ïCA = BC
∴ VACE≌VCBF ( AAS ) ，
∴ AE = CF，CE = BF ，
∵ EF = CE - CF ，
∴ EF = BF - AE ；
【小问 2 详解】
解：由（1）可得， EF = BF - AE ，且 BF = 3AE ， EF = 4 ，
∴ 4 = 3AE - AE ，
解得， AE = 2 = CF ，
∴ BF = 3AE = 6 ，
∴ SV BFC
= 1 CF·BF = 1 ´ 2 ´ 6 = 6 ，
2 2
∴ VBFC 的面积为6 ．
23. 已知：如图，ÐBAC 的角平分线与 BC 的垂直平分线 DG 交于点 D ， DE ^AB ， DF ^AC ，垂足分别为 E ， F ．
（1） 求证： BE = CF ；
（2） 若 AF = 8 ， BC = 10 ，求V ABC 的周长．
【答案】（1）见解析 （2） 26
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质；
（ 1 ） 连结 CD ， 根据线段垂直平分线的性质和角平分线性质得出 BD = CD ， DE = DF ， 证明
Rt△BDE ≌ Rt△CDF (HL) ，即可得出结论；
（2）证明V AED ≌V AFD (AAS) ，可得 AE = AF = 8 ，然后求出V ABC 的周长为 AF + AE + BC ，计算即可．
【小问 1 详解】
证明：连接CD ，
∵D 在 BC 的中垂线上，
∴ BD = CD ，
∵ DE ^AB ， DF ^AC ， AD 平分ÐBAC ，
∴ DE = DF ， ÐBED = ÐCFD = 90° ，
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF (HL) ，
∴ BE = CF ；
【小问 2 详解】
∵ AD 平分ÐBAC ，
∴∠EAD = ∠FAD ，
∵ DE ^AB ， DF ^AC ，
∴ ÐAED = ÐAFD = 90°， 又∵ AD = AD ，
∴ V AED ≌V AFD (AAS)，
∴ AE = AF = 8 ，
由（1）可知 BE = CF ，
∴V ABC 的周长为： AC + AB + BC = AF - CF + AE + BE + BC = AF + AE + BC = 8 + 8 +10 = 26 ．
24. 问题提出：
(1) 我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．如图 1， V ABC 中， AC = 7 ， BC = 9 ，
AB = 10 ，P 为 AC 上一点，当 AP = 时， V ABP 与VCBP 是偏等积三角形；
问题探究：
(2) 如图 2，△ABD 与V ACD 是偏等积三角形， AB = 2 ， AC = 6 ，且线段 AD 的长度为正整数，则 AD 的长度为 ；
问题解决：
(3) 如图 3，四边形 ABED 是一片绿色花园， CA = CB ， CD = CE ，
ÐACB = ÐDCE = 90°(0° < ÐBCE < 90°) ． V ACD 与VBCE 是偏等积三角形吗？请说明理由． 问题拓展：
(4) 如图 4，将V ABC 分别以 AB ， BC ， AC 为边向外作正方形 ABDE ，正方形 BCFG ，正方形 ACMN ， 连接 DG ， FM ， NE ，则图中有 组偏等积三角形．
7
【答案】（1） ；（2）3；（3） V ACD 与VBCE 是偏等积三角形，理由见解析；（4）6
2
【解析】
【分析】（1）连接 BP ，由V ABP 与VCBP 在 AP 、CP 边上的高相等，可知当点 P 为 AC 中点时，V ABP 与VCBP 的面积相等，且V ABP 与VCBP 不全等，即可求解；
（2） 过 C 作CE ∥ AB 交 AD 的延长线于 E，根据△ABD 与V ACD 是偏等积三角形，且△ABD 与V ACD
在 BD 、CD 边上的高相等，则有 BD = CD ，再证明△ECD≌△ABD ，得 ED = AD，EC = AB = 2 ， 再根据三角形的三边关系可知 AC - EC < AE < AC + EC ，进而可求解；
（3） 先证明ÐACD ¹ ÐBCE ，再由CA = CB ，CD = CE ，说明V ACD 与VBCE 不全等，作 BF ^ CE 于点 F，AG ^ DC 交CD 的延长线于点 G，可证明V ACG ≌VBCF 得 AG = BF ，即可证明V ACD 与VBCE
面积相等，即可解答；
（4） 过 N 作 AE 于 P，过点 C 作CQ ^ AB 于点 Q，证明V ANP≌V ACQ ，得出 NP = CQ ，即可证明△AEN
和V ABC 面积相等，然后说明△AEN 和V ABC 不全等，即可判断△AEN 和V ABC 是偏等
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